- LG a
- LG b
Cho dãy số \[\left[ {{u_n}} \right]:\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 0\\{u_{n + 1}} = \dfrac{{2{u_n} + 3}}{{{u_n} + 4}}{\rm{ voi }}n \ge 1.\end{array} \right.\]
LG a
Lập dãy số \[\left[ {{x_n}} \right]\] với \[{x_n} = \dfrac{{{u_n} - 1}}{{{u_n} + 3}}.\] Chứng minh dãy số \[\left[ {{x_n}} \right]\] là cấp số nhân.
Phương pháp giải:
Xét tỉ số \[\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}}\] và chứng minh \[\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}} = q\] không đổi.
Lời giải chi tiết:
Từ giả thiết có
\[{u_{n + 1}}\left[ {{u_n} + 4} \right] = 2{u_n} + 3\] hay \[{u_{n + 1}}.{u_n} + 4{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 3{\rm{ }}\left[ 1 \right]\]
Lập tỉ số \[\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}} = \dfrac{{{u_{n + 1}} - 1}}{{{u_{n + 1}} + 3}}.\dfrac{{{u_n} + 3}}{{{u_n} - 1}}\] \[ = \dfrac{{{u_{n + 1}}{u_n} + 3{u_{n + 1}} - {u_n} - 3}}{{{u_{n + 1}}{u_n} - {u_{n + 1}} + 3{u_n} - 3}}{\rm{ }}\left[ 2 \right]\]
Từ [1] suy ra \[{u_{n + 1}}.{u_n} = 2{u_n} + 3 - 4{u_{n + 1,}}\] thay vào [2] ta được
\[\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}}\]\[ = \dfrac{{2{u_n} + 3 - 4{u_{n + 1}} + 3{u_{n + 1}} - {u_n} - 3}}{{2{u_n} + 3 - 4{u_{n + 1}} - {u_{n + 1}} + 3{u_n} - 3}}\] \[ = \dfrac{{{u_n} - {u_{n + 1}}}}{{5\left[ {{u_n} - {u_{n + 1}}} \right]}} = \dfrac{1}{5}.\]
Vậy \[{x_{n + 1}} = \dfrac{1}{5}{x_n},\] ta có cấp số nhân \[\left[ {{x_n}} \right]\] với \[q = \dfrac{1}{5}\] và \[{x_1} = - \dfrac{1}{3}.\]
LG b
Tìm công thức tính \[{x_n},{u_n}\] theon.
Phương pháp giải:
Từ đó suy ra công thức của số hạng tổng quát \[{x_n}\] và suy ra \[{u_n}\].
Lời giải chi tiết:
Ta có \[{x_n} = - \dfrac{1}{3}{\left[ {\dfrac{1}{5}} \right]^{n - 1}}.\]
Lại có:
\[\begin{array}{l}
{x_n} = \frac{{{u_n} - 1}}{{{u_n} + 3}}\\
\Rightarrow {u_n} - 1 = {x_n}\left[ {{u_n} + 3} \right]\\
\Leftrightarrow - 1 - 3{x_n} = {u_n}\left[ {{x_n} - 1} \right]\\
\Rightarrow {u_n} = \frac{{ - 1 - 3{x_n}}}{{{x_n} - 1}} = \frac{{3{x_n} + 1}}{{1 - {x_n}}}\\
= \frac{{3.\left[ { - \frac{1}{3}{{\left[ {\frac{1}{5}} \right]}^{n - 1}}} \right] + 1}}{{1 - \left[ { - \frac{1}{3}{{\left[ {\frac{1}{5}} \right]}^{n - 1}}} \right]}}\\
= \frac{{ - {{\left[ {\frac{1}{5}} \right]}^{n - 1}} + 1}}{{1 + \frac{1}{3}{{\left[ {\frac{1}{5}} \right]}^{n - 1}}}}
\end{array}\]