Bài viết hướng dẫn phương pháp tìm tập xác định của hàm số, đây là dạng toán cơ bản trong chương trình Đại số 10 chương 2, nội dung bài viết gồm 3 phần: lý thuyết cần nắm vững, ví dụ minh họa và các bài tập tự luyện.
1. KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG
Tập xác định của hàm số $y=f\left[ x \right]$ là tập hợp tất cả các số thực $x$ sao cho biểu thức $f\left[ x \right]$ có nghĩa.
Nếu $P[x]$ là một đa thức thì:
• $\frac{1}{P[x]}$ có nghĩa $\Leftrightarrow P[x]\ne 0.$
• $\sqrt{P[x]}$ có nghĩa $\Leftrightarrow P[x]\ge 0.$
• $\frac{1}{\sqrt{P[x]}}$ có nghĩa $\Leftrightarrow P[x]>0.$
2. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a] $y=\frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}+3x-4}.$
b] $y=\frac{x+1}{\left[ x+1 \right]\left[ {{x}^{2}}+3x+4 \right]}.$
c] $y=\frac{2{{x}^{2}}+x+1}{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-5x-2}.$
d] $y=\frac{x}{{{\left[ {{x}^{2}}-1 \right]}^{2}}-2{{x}^{2}}}.$
a] Điều kiện xác định: ${{x}^{2}}+3x-4\ne 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x\ne 1 \\ x\ne -4 \\ \end{matrix} \right.$ Suy ra tập xác định của hàm số là $\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1;-4 \right\}.$ b] Điều kiện xác định: $\left[ x+1 \right]\left[ {{x}^{2}}+3x+4 \right]\ne 0$ $\Leftrightarrow x\ne -1.$ Suy ra tập xác định của hàm số là $\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}.$ c] Điều kiện xác định: ${{x}^{3}}+{{x}^{2}}-5x-2\ne 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x\ne 2 \\ x\ne \frac{-3\pm \sqrt{5}}{2} \\ \end{matrix} \right.$ Suy ra tập xác định của hàm số là $\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ 2;\frac{-3-\sqrt{5}}{2};\frac{-3+\sqrt{5}}{2} \right\}.$ d] Điều kiện xác định: ${{\left[ {{x}^{2}}-1 \right]}^{2}}-2{{x}^{2}}\ne 0$ $\Leftrightarrow \left[ {{x}^{2}}-\sqrt{2}x-1 \right]\left[ {{x}^{2}}+\sqrt{2}x-1 \right]\ne 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{x}^{2}}-\sqrt{2}x-1\ne 0 \\ {{x}^{2}}+\sqrt{2}x-1\ne 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x\ne \frac{\sqrt{2}\pm \sqrt{7}}{2} \\ x\ne \frac{-\sqrt{2}\pm \sqrt{7}}{2} \\ \end{matrix} \right.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\sqrt{2}-\sqrt{7}}{2};\frac{\sqrt{2}+\sqrt{7}}{2};\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{7}}{2};\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{7}}{2} \right\}.$
Ví dụ 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau: a] $y=\frac{x+1}{[x-3]\sqrt{2x-1}}.$ b] $y=\frac{\sqrt{x+2}}{x\sqrt{{{x}^{2}}-4x+4}}.$ c] $y=\frac{\sqrt{5-3\left| x \right|}}{{{x}^{2}}+4x+3}.$
d] $y=\frac{x+4}{\sqrt{{{x}^{2}}-16}}.$
a] Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix} x\ne 3 \\ 2x-1>0 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x\ne 3 \\ x>\frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right.$ Suy ra tập xác định của hàm số là: $\text{D}=\left[ \frac{1}{2};+\infty \right]\backslash \left\{ 3 \right\}.$ b] Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix} x\ne 0 \\ \begin{align} & {{x}^{2}}-4x+4>0 \\ & x+2\ge 0 \\ \end{align} \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x\ne 0 \\ \begin{align} & {{\left[ x-2 \right]}^{2}}>0 \\ & x\ge -2 \\ \end{align} \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x\ne 0 \\ \begin{align} & x\ne 2 \\ & x\ge -2 \\ \end{align} \\ \end{matrix} \right.$ Suy ra tập xác định của hàm số là: $\text{D}=\left[ -2;+\infty \right]\backslash \left\{ 0;2 \right\}.$ c] Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix} 5-3\left| x \right|\ge 0 \\ {{x}^{2}}+4x+3\ne 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left| x \right|\le \frac{5}{3} \\ \left\{ \begin{matrix} x\ne -1 \\ x\ne -3 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & -\frac{5}{3}\le x\le \frac{5}{3} \\ & x\ne -1 \\ & x\ne -3 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & -\frac{5}{3}\le x\le \frac{5}{3} \\ & x\ne -1 \\ \end{align} \right.$ Suy ra tập xác định của hàm số là: $\text{D}=\left[ -\frac{5}{3};\frac{5}{3} \right]\backslash \left\{ -1 \right\}.$ d] Điều kiện xác định: ${{x}^{2}}-16>0$ $\Leftrightarrow \left| x \right|>4$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x>4 \\ x0$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Nếu $m\le 0$ thì $\left\{ \begin{matrix} x\ge 0 \\ x\ge m \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow x\ge 0$, suy ra tập xác định của hàm số là $D=\left[ 0;+\infty \right].$
Vậy $m\le 0$ là giá trị cần tìm.
Bài toán 4. a] $m\ge 2.$ b] $m\in \left[ 0;1 \right].$
c] $m\in \left[ 1;3 \right].$
- Kiến thức Hàm số bậc nhất và bậc hai