Th.s Hà Ngọc Toàn- Chuyên đề hình học không gian sử dụng casio HÌNH HỌC KHÔNG GIAN SỬ DỤNG CASIOI. Phương pháp giải toánViệc BGD ra đề thi trắc nghiệm đối với môn Toán đa phần đối với học sinh làrất mới nhất là tốc độ để giải quyết các bài toán về hình học không gian. Đểgiúp các em có cách nhanh nhất giải các bài toán trắc nghiệm thầy biên soạnchuyên đề sử dụng casio trong hình học không gian, mặc dù ở phần này casiochỉ hỗ trợ chúng ta một phần rất nhỏ nhưng nó cũng giảm bớt được thời gianchọn đáp án, các em chú ý rằng phương pháp này không phải là toàn năng vànhanh nhất để giải toán, có những bài sử dụng phương pháp truyền thống giảinhanh hơn rất nhiều. Vì thế các em coi phương pháp này là để tham khảo vàhọc hỏi thêm.Phương pháp tọa độ hóa trong không gian ta cần phải thực hiện được các yêucầu sauBước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp [ chú ý đến vị trí của gốc O],chọn hệ trục sao cho có 3 đường thẳng đôi một vuông góc với nhauBước 2. Xác định tọa độ các điểm có liên quan ví dụ đề bài yêu cầu tính thểtích của khối chop SABC thì chúng ta chỉ cần tìm tọa độ các điểm S;A;B;C vàkhi xác định tọa độ các điểm ta có thể dựa vào những yếu tố sau:- Ý nghĩa hình học của tọa độ điểm khi các điẻm nằm trên cá trục tọa độ,mặt phẳng tọa độ ví dụ điểm A nằm trên truc Ox khi đó A[ a;0;0] hay điểm Anằm trên mặt phẳng oxy khi đó A[ a;b;0] , chú ý việc xác định tọa độ điểm làquan trọng nhất nên rất cẩn trọng, và việc xác định tọa độ điểm để tìm raA[x;y;z] thì từ điểm đó ta phải kẻ vuông góc vào các hệ trục tọa độ đã chọn.- Dựa vào các quan hệ hình học bằng nhau, vuông góc, song song, cùngphương, thẳng hàng, điểm chia đoạn thẳng để tìm tọa độ.- Xem điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng, mặt phẳng.- Dựa vào các quan hệ về góc của đường thẳng, mặt phẳng.- Bước 3. Sử dụng kiến thức về tọa độ để giải quyết bài toán [ các em cóthể xem trong tài liệu tuyển tập casio của thầy em nào đăng kí mua thì đăng kí Group: Thủ thuật casio khối A | HÌNH HỌC KHÔNG GIAN SỬ DỤNG CASIO 1
Th.s Hà Ngọc Toàn- Chuyên đề hình học không gian sử dụng casiotại đây//docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfnskdQNwwY8knBCp0Lg70OxFV3z0S7qgsdCWKcQgAmL64afQ/viewformhoặc tham gia group Thủ thuật caiso khối A tại đây//www.facebook.com/groups/1613922545604453/ để tìm hiểu thêm- Độ dài đoạn thẳng- Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, đường thẳng- Khoảng cách giữa hai đường thẳng- Góc giữa hai đường thẳng, hai mặt phẳng, đường thẳng và mặt phẳng- Thể tích khối đa diện- Diện tích các hình- Quan hệ song song, vuông giócII. Boå sung kieán thöùc :1. Cho khoái choùp S.ABC. Treân ba ñöôøng thaúng SA, SB, SC laáy ba ñieåmA', B', C' khaùc vôùi S. Ta luoân coù: VS.A'B'C' SA' . SB ' . SC ' VS.ABC SA SB SC2. Xác định tọa độ một điểm trong không gianTọa độ hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng Oxy và H[a;b] ta tính đượcAH=c, thì kho đó A có tọa độ A[a;b;c] với giả sử rằng các thành phần tọa độ Ađều nằm trong phần dương Group: Thủ thuật casio khối A | HÌNH HỌC KHÔNG GIAN SỬ DỤNG CASIO 2
Th.s Hà Ngọc Toàn- Chuyên đề hình học không gian sử dụng casio3. Phương trình tổng quát của mp có dạng: Ax + By + Cz + D = 0 Với A2 B2 C2 0 ; trong đó A; B;C là VTPT của mp nChú ýGiả sử mp có cặp VTCP là a1; a2 ; a3 là: a b b1;b2;b3 Nên có VTPT a, b a2a3 ; a3a1 ; a1a2 n b2b3 b3b1 b1b2 Phương trình các mặt phẳng toạ độ: [Oxy] : z = 0 ; [Ozy] : x = 0 [Oxz] : y = 0Phương trình mặt phẳng có VTPT A; B; C và điểm đi qua M0 x0; y0; z0 n A x x0 B y y0 C z z0 0Để viết phương trình mặt phẳng ta cần tìm 1 VTPT hoặc 2 VTCP và đi quamột điểm5. Khoảng cácha. Khoảng cách giữa hai điểm AB. AB xB xA 2 yB yA 2 zB zA 2b. Khoảng cách từ điểm M0[x0 ; y0 ; z0] đến mp : Ax + By + Cz + D = 0 d Ax0 By0 Cz0 D M0, A2 B2 C2c. Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng dLấy M0 dTìm VTCP của đường thẳng d là u d M1,d M0M1, u ud. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và /Gọi và lần lượt là VTCP của và / u u/ đi qua điểm M0 , M / / 0 Group: Thủ thuật casio khối A | HÌNH HỌC KHÔNG GIAN SỬ DỤNG CASIO 3
Th.s Hà Ngọc Toàn- Chuyên đề hình học không gian sử dụng casio u, uu/,.uM/ 0 / d M 0, / 4. Chọn hệ trục tọa độPhần quan trọng của phương pháp này là cách chọn hệ trục tọa độ, không cóphương pháp tổng quát để lựa chọn hệ trục chúng ta chỉ cần tìm 3 cạnh đôimột vuông góc với nhau, có những bài toán có thể lựa chọn được nhiều hệtrục tọa độ thì chúng ta chọn hệ trục tọa độ sao cho việc tìm tọa độ các điểmlà dễ dàng nhất và nhiều số 0 là tốt nhất, có những bài toán việc tạo được hệtrục tọa độ phức tạp hơn dẫn đến việc đi tính tọa độ của chúng gặp khó khănchúng ta phải đi theo hướng giải quyết theo phương pháp truyền thống. Tómlại chúng ta cần chú ý Hệ trục tọa độ nằm trên 3 đường thẳng đôi một vuông góc. Gốc tọa độ thường là chân đường cao của hình chóp, lăng trụ có đáy làhình vuông, hình chữ nhật, tam giác vuông hoặc có thể là trung điểm củacạch nào đó, hoặc theo giả thiết của bài toán Một số cách chọn hệ trục tọa độTứ diệnHình chóp đáy là tứ giác lồiGroup: Thủ thuật casio khối A | HÌNH HỌC KHÔNG GIAN SỬ DỤNG CASIO 4
Th.s Hà Ngọc Toàn- Chuyên đề hình học không gian sử dụng casioHình lăng trụ xiên, lăng trụ đứng tương tự như hình chóp, riêng hình hộp thìcó nhiều cách lựa chọn hệ trục tọa độII. Bài tập minh họaCác bài tập được qui ước với a=1 nếu không nói gì thêmCâu 1. Đề minh họa BGD 2017Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB,AC,AD đôi một vuông góc với nhauAB=6a, AC=7a, AD=4a. Gọi M,N,P tương ứng là trung điểm các cạnh BC,CD, DB. Tính thể tích V của tứ diện AMNP làA. 7 a3 B. 14a3 C. 28 a3 D. 7a3 2 3Group: Thủ thuật casio khối A | HÌNH HỌC KHÔNG GIAN SỬ DỤNG CASIO 5
Th.s Hà Ngọc Toàn- Chuyên đề hình học không gian sử dụng casioDo AB;AC; AD đôi một vuông góc với nhau chọn hệ trục tọa độ Oxyz theohình vẽ khi đó ta cần tính thể tích tứ diện AMNP ta cần tìm tọa độ A;M;N;P,do M; N;P là trung điểm lần lượt của BC; CD; BD ta có tọa độ các đỉnh nhưsau A[0;0;0]; M [7 ;3;0]; N[7 ;0; 2]; P[0;3; 2] 22Sử dụng công thức tính thể tích chóp tam giác V 1 x1 x2 x3 hoặc 6 y1 y2 y3 z1 z2 z3V 1 x1 y1 z1 6 x2 y2 z2 với [xi; yi; zi ],i 1, 2,3 là tọa độ của AM ; AN; AP nhưng ta sẽ x3 y3 z3không phải tính trực tiếp mà nhập ngay vào máy tính ví dụ tính khi đó AMnhập lần lượt là 7 0;3 0;0 0 ở ví dụ này các điểm là tương đối dễ tính 2nhẩm có thể các em tính nhẩm ngay, nhưng đối với các ví dụ khác để tránhnhầm lần thì ta nên nhập như vậy.Trước tiên ta vào chế độ matrận w6Chọn 1;2;3 vì chế độ lưu được 3 ma trận, có các ma trận mxn tức là m dòng,n cột ở đây ta quan tâm đến 3 dòng, 3 cột tức là chọn 1 là 3x3 như ở hìnhtrên, ở mỗi ô ta nhập phép thực hiện ngọn- gốc của vectơ , có thể theoGroup: Thủ thuật casio khối A | HÌNH HỌC KHÔNG GIAN SỬ DỤNG CASIO 6
Th.s Hà Ngọc Toàn- Chuyên đề hình học không gian sử dụng casiohàng ngang và hàng dọc đều được, sau đó thoát ra khỏi màn hình bằng lệnhCTiếp đó ta nhập lệnh q47Tiếp tục nhập lệnh q43 [ vì ta đã nhớ vào ma trận A, có thể là 4,5nếu chúng ta nhớ vào ma trận B, C như ở bước ban đầu ] lệnh = được kếtquả [ lấy giá trị dương] làVậy thể tích là 42 7 đáp án D. 6Câu 2. Đề minh họa BGD 2017Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a . Tamgiác SAD cân tại S và mặt bên [SAD] vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thểtích khối chóp S.ABCD bằng 4 a3 . Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng 3[SCD]A. 2 a B. 4 a C. 8 a D. 3 a 3 3 3 4Group: Thủ thuật casio khối A | HÌNH HỌC KHÔNG GIAN SỬ DỤNG CASIO 7
Th.s Hà Ngọc Toàn- Chuyên đề hình học không gian sử dụng casioDo [SAD] vuông góc với đáy, tam giác SAD cân tại S nên gọi O là trungđiểm của AD, SO vuông góc với đáy khi đó chọn hệ trục tọa độ oxyz nhưhình vẽ khi đó ta có V 4 1 SO.2 SO 2 ,yêu cầu tính khoảng cách từ B 33đến [SCD] ta có tạo độ các đỉnh như sauO[0;0;0]; S[0;0;2]; C[ 2; 1 ;0]; D[0; 1 ;0];B[ 2; 1 ;0] 22 2Ta viết phương trình mặt phẳng [SCD] qua 3 điểm S;C;D có dạngax+by+cz+d=0 Trong đó [a;b;c] u1;u2 là hai vtcp của mặt phẳng ta sử dụng lệnh w8Chọn vec tơ A hoặc B,C tùy ý ở đây chọn A và trong không gian 3 chiềuchọn 1Ta nhập vec tơ chỉ phương của mặt phẳng vào ở đây ta lấy khi đó ta SC; SDnhập ngọn- gốc của vectơ ta đượcTương tự như vậy ta nhập vào vectơ B bằng lệnh q5121Group: Thủ thuật casio khối A | HÌNH HỌC KHÔNG GIAN SỬ DỤNG CASIO 8
Th.s Hà Ngọc Toàn- Chuyên đề hình học không gian sử dụng casioTa đượcTiếp theo ta đi tính tích có hướng của hai vectơ A và B bằng lệnh q5Vậy mp có dạng 2,83y+z+d=0 -> d=2,83y-z nhập màn hình rồi sử dụng lệnh r cho đi qua 1 điểm, ở đây cho qua điểm S[0;0;2] khi đó y=0, z=2 ta được d=-2 Khi đó phương trình mặt phẳng [SCD] là 2,83y+z-2=0Ta tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng [SCD] từ công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng.Đáp án BCâu 3. Đề minh họa BGD 2017Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnhbên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 2a . Tính thể tích của khốichóp S.ABCDA. 2a3 B. 2a3 C. 2a3 D. 2a3 6 4 3Group: Thủ thuật casio khối A | HÌNH HỌC KHÔNG GIAN SỬ DỤNG CASIO 9
Th.s Hà Ngọc Toàn- Chuyên đề hình học không gian sử dụng casioỞ bài này các em để ý rằng nếu sử dụng phương pháp tọa độ hóa là sai lầmvì nó còn lâu hơn việc sử dụng phương pháp truyền thống sở dĩ thầy đưa rađể cho các em thấy được rằng đừng có thần thánh một phương pháp nào hếtphải kết hợp nhuần nhuyễn và sử dụng linh hoạt các phương pháp sao chophù hợpTa có S=1 nên V 1 2 đáp án D. 3Câu 4. Đề minh họa BGD 2017Tính thể tích V của khối lập phương ABCDABCD biết AC ' a 3A. V a3 B. V 3 6a3 C. V 3 3a3 D. V 1 a3 4 3Tương tự câu 3, câu này cũng vậy ta gọi hình vuông cạnh là x khi đó ta cóGroup: Thủ thuật casio khối A | HÌNH HỌC KHÔNG GIAN SỬ DỤNG CASIO 10
Th.s Hà Ngọc Toàn- Chuyên đề hình học không gian sử dụng casioA'C x 2 AC '2 AA'2 A'C '2 3a2 x2 2x2 Đáp án A x 1V 1Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuônggóc với đáy, SC tạo với đáy một góc 450. Khoảng cách từ điểm B đến mặtphẳng [SCD]A. a 2 B. a 2 C. a D. a 3 3 3 3 3Do SA vuông góc đáy , SC tạo đáy 1 góc 450 nên góc SCA =600, doAC 2 SA AC tan 450 AC 2Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, yêu cầu tính khoảng cách từ B đến [SCD]ta chỉ cần tọa độ của các đỉnh S,B,C,D ta cóA[0;0;0], B[1;0;0], C[1;1;0], D[0;1;0], S[0;0; 2]Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng [SCD],Mặt phẳng [SCD] có hai vtcp là , đi qua điểm S khi đó ta nhớ chúng SC; SDvào các vectơ A,B,C với véc tơ C là tọa độ điểm SGroup: Thủ thuật casio khối A | HÌNH HỌC KHÔNG GIAN SỬ DỤNG CASIO 11
Th.s Hà Ngọc Toàn- Chuyên đề hình học không gian sử dụng casioHệ số -d trong phương trình mặt phẳng [SCD] là d=ax+by+czChú ý dấu . trong phép tính tích vô hướng là từ lệnh q57Khi đó ta có phương trình mặt phẳng [ đã làm tròn số ] là1,41y+z-1,41=0 khi đó khoảng cách từ B[1;0;0] đến [SCD] làSo sánh với đáp án của bài toán ta được đáp án A.Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SAvuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SC và mặt phẳng [ABCD] là450.Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC làA. 1 B. 1 C. 5 D. 10 10 5 10 5Group: Thủ thuật casio khối A | HÌNH HỌC KHÔNG GIAN SỬ DỤNG CASIO 12
Th.s Hà Ngọc Toàn- Chuyên đề hình học không gian sử dụng casioTương tự do SA vuông góc với đáy nên góc giữa SC và mặt phẳng đáy làgóc SAC =450 nên SA 2 . Ta chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, yêu cầu tínhkhoảng các giữa SB và AC ta có tọa độ các điểm như sauA[0;0;0], B[1;0;0], C[1;1;0], D[0;1;0], S[0;0; 2]Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d | [u1,u2].M1M 2 | | [u1, u2 ] |với là vtcp của hai đường thẳng u1, u2M1; M2 là hai điểm đi qua hai đường thẳngHay ta sẽ sử dụng công thức x1 x2 x3 y1 y2 y3 d z1 z2 z3 |[u1, u2 ] | x1 x2 x3 Trước tiên tính y1 y2 y3 như trên hướng dẫn với các vec tơ SB; AC; AB [ z1 z2 z3vtcp và véc tơ đi qua hai điểm A và B của mỗi đường thẳng] và nhớ vào phímATương tự tính |[SB, AC] |So sánh với đáp án của bài toán đáp án D.Câu 7.Cho hình lăng trụ ABCABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếuvuông góc của A trên mặt phẳng [ABC] là trung điểm cạnh AB, góc giữaGroup: Thủ thuật casio khối A | HÌNH HỌC KHÔNG GIAN SỬ DỤNG CASIO 13
Th.s Hà Ngọc Toàn- Chuyên đề hình học không gian sử dụng casiođường thẳng AC và mặt phẳng đáy là 600. Tính theo a khoảng cách từ điểmB đến mặt phẳng [ACCA]. A. a B. 13a C. 3a D. a 13 13 13 3 13Ta có AH vuông góc với đáy nên góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳngđáy là góc ACH=600Ta có CH 3 A' H 3 Ta chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ 22Khi đó tọa độ các đỉnh là H[0;0;0] , B[1 ;0;0];C[0; 3 ;0].A'[0;0; 3];A[ 1 ;0;0] 2 2 22Có vtcp của [ACCA] là vtpt AA'; AC [ AA ', AC ]Ta d trong phương trình mặt phẳng ax+by+cz=-d cho mặt phẳng qua điểmA khi đó ta nhập điểm A như vec tơ C và tích vô hướng với véc tơ vừa tínhra được dGroup: Thủ thuật casio khối A | HÌNH HỌC KHÔNG GIAN SỬ DỤNG CASIO 14
Th.s Hà Ngọc Toàn- Chuyên đề hình học không gian sử dụng casioVậy phương trình mặt phẳng kết quả được làm tròn là-1,3x+0,75y+0,43z-0,65=0Ta tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng nàySo sánh với đáp án được đáp án C.Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD cáo đáy ABCD là tam giác vuông tại B,AC=2a, ACB 300 . Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt đáy là trungđiểm cạnh AC và SH a 2 . Khoảng cách từ C đến mặt phẳng [SAB] làA. 66a B. 2 66a C. 3 66a D. 4 66a 11 11 11 11Trong tam giác vuông ABC ta có AC=2a,ACB 300 AB AC sin ACB 2.sin 300 1, BC cos300.AC 3Do SH [ABCD] và tam giác ABC vuông tại B nên từ B ta kẻ song song vớiSH và chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, yêu cầu tính khoảng cách từ điểm Cđến [SAB] khi đó ta có tọa độ các điểm làGroup: Thủ thuật casio khối A | HÌNH HỌC KHÔNG GIAN SỬ DỤNG CASIO 15
Th.s Hà Ngọc Toàn- Chuyên đề hình học không gian sử dụng casioB[0;0;0], A[1;0;0], C[0; 3;0];S[1; 3 ; 2] 2Viết phương trình mặt phẳng [SAB] tương tự các câu trước ta được véc tơpháp tuyến và hệ số -d của mặt phẳng làKhi đó phương trình mặt phẳng [SAB] là -1,414y+0,866z=0 và khoảng cáchtừ C đến mặt phẳng [SAB] làĐối chiếu với đáp án ta được đáp án BSử dụng đề bài chung cho cả hai câuCho lăng trụ đứng ABCABC có đáy ABC vuông tại B, AB=a, AA=2a,AC=3a. Gọi M là trung điểm của AC, I là giao điểm của AM và ACCâu 9. Thể tích khối tứ diện IABC làA. 4a3 B. 4a3 C. a3 D. a3 9 3 9 3Do hình lăng trụ đứng và tam giác ABC vuông tại B nên ta chọn hệ trục tọađộ nhưng hình vẽ, sở dĩ không để hệ trục tọa độ ở đáy là vì ta cần tính thểtích của hình chóp IABC nên việc ta chọn hệ trục sao cho việc tìm các tọa độdễ dàng và được nhiều tọa độ 0 nhất.Group: Thủ thuật casio khối A | HÌNH HỌC KHÔNG GIAN SỬ DỤNG CASIO 16
Th.s Hà Ngọc Toàn- Chuyên đề hình học không gian sử dụng casioAB 1, AA ' 2, A'C 3 AC2 A'C2 -AA'2 5 AC 5BC AC2 AB2 2Khi đó ta có tọa độ các điểm B[0;0;0]; C[2;0;0], A[0;1;0], A[0; 1;-2]Tìm tọa độ điểm I, ở đây thay vì tìm trực tiếp ta dễ thấy I là trọng tâm củatam giác AAC vì thế ta có 2 1 A'I A'C A'C ta có A'C[2; 1;2] 32 3 xI 0 2 2 3 3 1 1 2 tức là I [2 ; 2 ; 4]Khi đó yI 3 3 33 3 4 zI 2 2 3 3Tính thể tích theo công thức ở trên, trước tiên tính ma trận cấp 3x3 của 3 véctơ sở dĩ chọn điểm B làm gốc vì điểm B[ 0;0;0] khi đó tọa độ của BC; BI; BAvéc tơ trùng với tọa độ điểm, sử dụng công thức tính thể tích ở trên ta tínhđược thể tích của IABC làSo với đáp án là đáp án A.Group: Thủ thuật casio khối A | HÌNH HỌC KHÔNG GIAN SỬ DỤNG CASIO 17
Th.s Hà Ngọc Toàn- Chuyên đề hình học không gian sử dụng casioCâu 10. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng [IBC] làA. a B. 2a C. 3a D. a 5 5 5 25Ta sẽ viết phương trình mặt phẳng [IBC] trước hết tính vec tơ phát tuyến củamặt phẳng có hai vec tơ chỉ phương là qua điểm B[0;0;0] nên hệ số BI; BCd=0Phương trình mặt phẳng [IBC] là 2,66 y+1,33z=0 khi đó khoảng cách từđiểm A đến [IBC] làSo sánh với đáp án được đáp án đúng là B.Giải bằng phương pháp tọa độ việc khó khăn nhất là tính được tọa độ nhữngđiểm liên hệ đối với yêu cầu bài toán. Đôi khi việc kết hợp sự trợ giúp củahình học cổ đỉnh ta sẽ dẫn đến được kết quả nhanh hơn và đỡ phức tạp hơn.Một khi tọa độ tính được thì việc còn lại chỉ là sử dụng công thức là khôngcần kĩ năng suy nghĩa khéo léo và chọn lọc như khi giải hình không gian. Tuynhiên cái gì cũng có nhược điểm của nó thầy nhắc lại nó không phải là toànnăng nên đừng quá coi trọng phương pháp này mà bỏ rơi phương pháp kia,qua các câu hỏi thầy cũng đã nhấn mạnh ưu điểm và nhược điểm của nó.Thầyhi vọng với chuyên đề này các em sẽ có cái nhìn bao quát hơn thêm vốn hiểubiết của mình về hình học không gian, do thời gian có hạn nên việc tính toán,hay trình bày còn nhiều thiếu sót mong được sự góp ý của các em và thầy cô.Chúc các em học tập tốt đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới Hà Nam 08/12/2017 Th.s Hà Ngọc ToànGroup: Thủ thuật casio khối A | HÌNH HỌC KHÔNG GIAN SỬ DỤNG CASIO 18
Th.s Hà Ngọc Toàn- Chuyên đề hình học không gian sử dụng casioGroup: Thủ thuật casio khối A | HÌNH HỌC KHÔNG GIAN SỬ DỤNG CASIO 19