I. KHÁI NIỆM TẬP HỢP
1. Tập hợp và phần tử
Tập hợp [còn gọi là tập] là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa.
Giả sử đã cho tập hợp\[A\]. Để chỉ\[a\]là một phần tử của tập hợp\[A\], ta viết\[a\in A\][đọc là\[a\]thuộc\[A\]]. Để chỉ\[a\]không phải là một phần tử của tập hợp\[A\], ta viết\[a\notin A\][đọc là\[a\]không thuộc\[A\]].
Ví dụ:
+] Để chỉ\[5\]là một số tự nhiên, ta viết:\[5\in N\];
+] Để chỉ\[\sqrt{2}\]không phải là một số hữu tỉ, ta viết:\[\sqrt{2}\notin Q\];
+] Để chỉ\[4\]là một ướccủa\[20\], ta viết:\[4\inƯ\left[20\right]\].
2. Cách xác định tập hợp
Ta có thể xác định một tập hợp bằng một trong hai cách:
a] Liệt kê các phần tử của nó ;
b] Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó.
Ví dụ 1: Tập hợp\[A\]bao gồm các số tự nhiên nhỏ hơn\[10\]và chia hết cho\[5\]. Ta có thể biểu diễn tập hợp\[A\]như sau:
+] Cách 1: Liệt kê các phần tử của\[A\]:\[A=\left\{0;5;10\right\}\];
+] Cách 2: Chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử của\[A\]:\[A=\left\{x\in N|x< 10;x5\right\}\]
Ví dụ 2: Tập hợp\[B\]bao gồm các phần tử là nghiệm của phương trình\[x^2-3x+2=0\]. Ta thấy phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là\[x=1,x=2\]. Ta có thể biểu diễn tập hợp\[B\]như sau:
+] Cách 1:\[B=\left\{1;2\right\}\];
+] Cách 2:\[B=\left\{x\in R|x^2-3x+2=0\right\}\].
Ngoài ra, người ta còn có thể biểu diễn tập hợp bằng một hình phẳng được bao quanh bởi một đường kín, gọi là biểu đồ Ven, như sau:
3. Tập hợp rỗng
Tập hợp rỗng, kí hiệu là\[\varnothing\], là tập hợp không chứa phần tử nào.
Ví dụ: Tập hợp\[A\]bao gồm các phần tử là nghiệm của phương trình\[x^2+x+1=0\].
Ta thấy:\[x^2+x+1\]là mộtbình phương thiếu\[\Rightarrow\]\[x^2+x+1>0,\forall x\]
Nên phương trình\[x^2+x+1=0\]là phương trình vô nghiệm.
Do đó tập hợp\[A\]không có phần tử nào.
Ta gọi\[A\]là một tập hợp rỗng, kí hiệu là\[A=\varnothing\].
Nếu\[A\]không phải là tập hợp rỗng thì\[A\]chứa ít nhất một phần tử.
\[A\ne\varnothing\Leftrightarrow\exists x:x\in A\]
II. TẬP HỢP CON
Nếu mọi phần tử của tập hợp\[A\]đều là phần tử của tập hợp\[B\]thì ta nói\[A\]là một tập hợp con của\[B\]và được kí hiệu là\[A\subset B\][đọc là\[A\]chứa trong\[B\]].
Thay cho\[A\subset B\], ta cũng có thể viết\[B\supset A\][đọc là\[B\]chứa\[A\]hay\[B\]bao hàm\[A\]].
Như vậy\[A\subset B\Leftrightarrow\left[\forall x:x\in A\Rightarrow x\in B\right]\].
Ví dụ 1: Xét tập số nguyên\[Z\]và tập số hữu tỉ\[Q\].
Ta nhận thấy tất cả các số nguyên đều là số hữu tỉ, do đó mọi phần tử của tập hợp\[Z\]đều là phần tử của tập hợp\[Q\].
Ta nói\[Z\]là tập hợp con của\[Q\]và kí hiệu là\[Z\subset Q\].
Ta cũng có thể biểu diễn bằng biểu đồ Ven như sau:
Ví dụ 2: Xét tập hợp\[X=\left\{1;2;3\right\}\]và tập hợp\[Y=\left\{1;2;3;4;5\right\}\]
Ta nói:\[X\subset Y\]hay\[Y\supset X\].
Biểu đồ Ven:
Ví dụ 3: Xét tập hợp\[M=\left\{x\in N|x^2-1=0\right\}\]và tập hợp\[N=\left\{x\in Z|x^2-8x+7=0\right\}\]
Ta có thể biểu diễn hai tập hợp trên bằng cách liệt kê các phần tử của chúng như sau:
\[M=\left\{1\right\}\]
\[N=\left\{1;7\right\}\]
Ta nói\[M\subset N\][\[M\]là tập hợp con của \[N\]] hay\[N\supset M\][\[N\]bao hàm\[M\]].
Nếu\[A\]không phải là tập hợp con của\[B\], ta viết
Ta có tính chất:
a]\[A\subset A\]với mọi tập hợp\[A\];
b] Nếu\[A\subset B\]và\[B\subset C\]thì\[A\subset C\];
c]\[\varnothing\subset A\]với mọi tập hợp\[A\].
III. TẬP HỢP BẰNG NHAU
Khi\[A\subset B\]và\[B\subset A\]ta nói tập hợp\[A\]bằng tập hợp\[B\]và kí hiệu là\[A=B\].
Như vậy:\[A=B\Leftrightarrow\left[\forall x:x\in A\Leftrightarrow x\in B\right]\].
Ví dụ: Xét 2 tập hợp:
\[A=\left\{x\in N|x< 10;x3\right\}\]
\[B=\left\{0;3;6;9\right\}\]
Ta có thể viết tập hợp\[A=\left\{0;3;6;9\right\}\]
Từ đó suy ra\[A=B\].