Cách lập bảng xét dấu nhanh

Ví dụ 1. Lập bảng xét dấu các biểu thức sau:
a] $-2x+3.$
b] $4x-12.$
c] ${{x}^{2}}-4.$
d] $-2{{x}^{2}}+5x-2.$

a] Ta có $-2x+3=0$ $ \Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$, $a=-20.$
Bảng xét dấu:

c] Ta có:
${{x}^{2}}-4=\left[ x-2 \right]\left[ x+2 \right].$
$x-2=0$ $ \Leftrightarrow x=2.$
$x+2=0$ $\Leftrightarrow x=-2.$
Bảng xét dấu:

d] Ta có: $-2{{x}^{2}}+5x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=2 \\
x=\frac{1}{2} \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra $-2{{x}^{2}}+5x-2$ $=-2\left[ x-2 \right]\left[ x-\frac{1}{2} \right]$ $=\left[ x-2 \right]\left[ 1-2x \right].$
Bảng xét dấu:

Ví dụ 2. Lập bảng xét dấu các biểu thức sau:
a] $\frac{-2x+3}{x-2}.$
b] $\frac{4x-12}{{{x}^{2}}-4x}.$
c] $x\left[ 4-{{x}^{2}} \right][x+2].$
d] $1-\frac{4{{x}^{2}}}{{{\left[ x+1 \right]}^{2}}}.$

a] Bảng xét dấu:

b] Ta có: $\frac{{4x 12}}{{{x^2} 4x}}$ $ = \frac{{4x 12}}{{x\left[ {x 4} \right]}}.$
Bảng xét dấu:

c] Ta có: $x\left[ {4 {x^2}} \right][x + 2]$ $ = x\left[ {2 x} \right]{\left[ {x + 2} \right]^2}.$
Bảng xét dấu:

d] Ta có: $1 \frac{{4{x^2}}}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}$ $ = \frac{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2} 4{x^2}}}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}$ $ = \frac{{\left[ {3x + 1} \right]\left[ {1 x} \right]}}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}.$
Bảng xét dấu:

Ví dụ 3. Tùy vào $m$ xét dấu các biểu thức sau $\frac{-2x+m}{x-2}.$

a] Ta có:
$x-2=0$ $\Leftrightarrow x=2.$
$-2x+m=0$ $\Leftrightarrow x=\frac{m}{2}.$
Trường hợp 1: $\frac{m}{2}>2$ $\Leftrightarrow m>4.$
Bảng xét dấu:

Suy ra $\frac{-2x+m}{x-2}>0$ $\Leftrightarrow x\in \left[ 2;\frac{m}{2} \right]$ và $\frac{-2x+m}{x-2}