Cách về điểm nằm chính giữa cung

Các bài liên quan

• Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn [O]. Điểm M chuyển đồng trên đường tròn [O]. Gọi D, E theo thứ tự là hình chiếu của điểm M trên các đường thẳng AB, AC. Tìm vị trí của điểm M sao cho DE có độ dài lớn nhất.
  
• Cho tam giác ABC. Điểm M di chuyển trên cạnh BC. Vẽ đường tròn \[[O_1]\] đi qua M tiếp xúc với AB tại B. Vẽ đường tròn \[[O_2]\] đi qua M tiếp xúc với AC tại C. Gọi N là giao điểm thứ hai của hai đường tròn.
  a] Chứng minh rằng điểm N thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
  b] Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
  c] Tìm vị trí của điểm M để đoạn thẳng \[O_1O_2\] có độ dài nhỏ nhất.
  
• Cho điểm I nằm trên đường thẳng AB [IA < IB]. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ đường tròn đường kính AB và các tiếp tuyến Ax, By. Điểm M di chuyển trên nửa đường tròn đó. Đường vuông góc với IM tại M cắt Ax, By theo thứ tự tại D, E.
  a] Chứng minh rằng tích \[AD.BE\] có giá trị không đổi.
  b] Tìm vị trí của điểm M để hình thang ABED có diện tích nhỏ nhất.
  
• Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn [O]. Tìm điểm M thuộc cung BC sao cho nếu gọi H, I, K theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB, BC, AC thì tổng
  \[MA+MB+MC+MH+MI+MK\] có giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.
  
• Cho đường tròn [O; R] và một điểm I nằm bên trong đường tròn. Gọi AB và CD là hai dây bất kì cùng đi qua I và vuông góc với nhau. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD.
  a] Chứng minh rằng khi các dây AB, CD thay đổi thì các tổng sau không đổi: \[OM^2+ON^2, AB^2+CD^2, AC^2+BD^2\].
  b] Xác định vị trí của AB, CD để hình chữ nhật OMIN có diện tích lớn nhất, có chu vi lớn nhất.
  c] Xác định vị trí của AB, CD để tổng AB + CD lớn nhất, nhỏ nhất.
  d] Xác định vị trí của AB, CD để tứ giác ABCD có diện tích lớn nhất; nhỏ nhất.
  
• Cho đường tròn tâm O đường kính BC, A là một điểm thuộc đường tròn. H là hình chiếu của A trên BC. Vẽ đường tròn [I] có đường kính AH, cắt AB và AC theo thứ tự ở M và N.
  a] Chứng minh rằng OA vuông góc với MN.
  b] Vẽ đường kính AOK của đường tròn [O]. Gọi E là trung điểm của HK. Chứng minh rằng E là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC.
  c] Cho BC cố định. Xác định vị trí của điểm A để bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC lớn nhất.
  
• Cho đường tròn [O] và dây BC không đi qua O. Điểm A di chuyển trên đường tròn [O] sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Tìm vị trí của điểm A để tổng \[HA+HB+HC\] có giá trị lớn nhất.
  
• Cho tam giác ABC. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên các tia BA, CA sao cho \[BD=CE\].
  a] Vẽ hình bình hành BDEM. Tìm quỹ tích các điểm M.
  b] Tìm vị trí của các điểm D, E sao cho độ dài DE nhỏ nhất.
  
• Cho góc xOy, đường tròn [I] tiếp xúc với hai cạnh của góc tại A và B.
  Dựng tiếp tuyến với cung nhỏ AB của đường tròn [I] cắt hai cạnh của góc tại C và D sao cho :
  a] CD có độ dài nhỏ nhất ;
  b] Tam giác OCD có diện tích lớn nhất.