§4. CẤP SỐ NHÂN A. KIẾN THỨC CĂN BẢN ĐỊNH NGHĨA Cấp số nhân là một dãy số [hữu hạn hoặc vô hạr.], trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q. un+i=un.qvớineN* Số q được gọi là công bội của cấp số nhân. Nếu [un] là cấp số nhân công bội q thì II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT Định lí 1 Nếu cấp số nhân có số hạng đầu Ui và công bội q thì số hạng tổng quát Un được xác định bởi công thức: un = u, ,qn_1 với n > 2. TÍNH CHẤT CÁC số HẠNG CỦA CẤP số NHÂN Định lí 2 Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng [trừ sô' hạng đầu và cuối] đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là Ufc = Uk_i.uk+1 với k > 2 [hay I uk I = 7uk_^+1 ]. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA MỘT CAP số NHÂN Định lí 3 Cho cấp sô' nhân [un] với công bội q * 1. Đặt sn = u, + u2 + ... + un. Khi đó Sn = ——- ■ 1-q B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Chứng minh [un] là cấp sô' nhân. Ta chứng minh = q không phụ thuộc vào n. un Xác định sô' hạng tổng quát của cấp sô' nhân un = Uiqn_l. là các cấp số nhân. Chứng minh các dãy số ^.2" ị ^“2] éịiải Lập tỉ sô' Un+Ĩ , ta có: un a] H^- = ^|.211+1^|.2nj=2 => Un+1 = 2.un Vne N* => [un] là cấp sô' nhân có công bộ q = 2 Giải BT Dại số & Giải tích 11-59 bạ+l _ 5 5 _! Vne un 2n+1 : 2n - 2 u„+l í 1?+1 a 1 T=l 72J 2 b] c] 2 8 b] Biết q = I , u4 = ~ Tìm U,. b] Ta có u4 - u2 = 25 Ug - Uj = 50 iqq - iqq = 25 u4q2 - Uj = 50 iqq [o2-l] 25 Ul [q2 - 1] = 50 [1] [2] [un] là cap sô' nhân có công bộ q = 1Ỵ 1 , 1 = --? Vne N => [un] là câp sô nhân công bộ q = - 4- Cho cấp số nhãn [Un] với công bội q a] Biết Ui = 2, u6 = 486. Tìm q. Biết Ui = 3, q = -2. Hỏi số 192 là số hạng thứ mấy? Ố]lĂì Áp dụng: un = q,.qn_1. Ta có: u« = Uj.q5 => q5 = — = = 243 q = 3 UL 2 , , „ 3 _ u4 _ 8 f3f _ 9 Ta có u4 = utq => Ui - —~ Hr = — q3 21 L2J 7 Ta có un = u,qn‘' => 192 = 3.[-2]',_l => [-2]"-' =64=>n-l=6=>n = 7 Vậy 192 là sô' hạng thứ 7. Tim các số hạng của cấp số nhân [u„] có năm sô' hạng, biết: a] u3 = 3 và u5 = 27; b] u4 - u2 = 25 và u3 - Ui = 50. Ốji.ải Áp dụng: un = Ui.q11’1 Ta có U.J = iqq" => iqq2 = 3 u5 = Uiq4 => Uiq’ = 27 Do đó q2 = [Uiq4] : [iqq2] = 9 => q = ±3 Với q = 3 ta có Ui = ỉ ta có cap sô' nhân: ; 1; 3; 9; 27. 3 Với q = -3 ta có U] = ỉ ta có cấp sô' nhân: ; -1; 3; -9; 27. 200 3 Thay [2] vào [1], ta được 50.q = 25, => q - rp,, ,o, „ _ 50 50 Từ [2] suy ra Ui = —5—— = q - 1 1 _ 1 Ta có câ'p sô' nhân: 200 3 ’ 100 3 ’ 50 3 ’ 25 3 ! 25 6 4, Tim cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng cùa năm số hạng sau là 62 Ốịiảl Giả sử cấp sô' nhân là U], u2, u3, u4, u5, Ugcó công bội q. í Uj + u2 + u3 + u4 + u5 = 31 [ Ujq + u2q + u3q + u4q + u5q = 31q Ta có: u2 + u3 + u4 + u5 + Ug =62 u2 + u3 + u4 + u5 + Ug = 62 u2 + u3 +u4 +u5 +Ug = 31q u2 + u3 + u4 + u5 + Ug = 62 Suy ra 31.q = 62, q = 2. Vì Sg = 31 = Vậy ta có cấp sô' nhân: 1, 2, 4, 8, 16, 32. Ul[l-25] 1-2 => Ui = 1. 5. Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh X là 1,4%. Biết rằng số dân của tỉnh hiện nay lá 1,8 triệu người, hỏi với mức tăng như vậy thì sau 5 năm, 10 năm số dân của tỉnh đó là bao nhiêu? ỐịiÂi Gọi sô' dân của tỉnh đó là N. Sau một năm, sô' dân tăng thêm là 1,4% N. Vậy sô' dân của tỉnh đó vào năm sau là N + 1,4% N = 101,4% N. Sô' dân tỉnh đó sau mỗi năm lập thành một cấp sô' nhân N, 12L1.N/101’4 100 N. Giả sử N = 1,8 triệu người thì sau 5 năm sô' dân của tỉnh là và sau 10 năm sẽ là: 101,4 100 101,4 100 .1,8 a 1,9 [triệu] 10 .1,8 a 2,1 [triệu]. Cho hình vuông c, có cạnh bằng 4. Người ta chia các cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông c2. Từ hình vuông c2 lại làm tiếp nhu trên để được hình vuông c3, ... Tiếp tục quá trình trên, ta nhận được dãy các hình vuông Ci, c2, c3 Cn, ... Gọi a„ là độ dài cạnh của hình vuông c„. Chứng minh dãy số [an] là một cấp số nhân. Ốịiải Xét dãy [an], với a] = 4. Giả sử hình vuông Cn độ dài cạnh là an. Hình vuông Cn+1 có độ dài cạnh an+1. Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: c. BÀI TẬP LÀM THÊM .2 1 2 .. ... Cho ba sô , Ỳ , —— lập thành cấp sô cộng, chửng minh a, b, c lập b-a b b-c thành cấp số nhân. Cho cấp số nhân [an] có an = 5, a5 = 135, a6 = -405. Tính a, và q. Cho cấp số nhân [an], chứng minh: a] a,ap = aqap_q+i [p > q]; b] apaq = aman với p + q = m + n. Cho 3 số a, b, c lập thành cấp số nhân. Chứng minh rằng: [a + b + c][a - b + c] = a2 + b2 + c2. Áp dụng: Tìm ba số liên tiếp của cấp số nhân biết tổng là 14 và tổng bình phưong là 84. -Hưởng iần: Vì [a + c]2 - b2 = a2 + c2 + 2ac - b2 = a2 + b2 + c2. Cho cấp số nhân [an] biết a, + a5 = 51, a2 + a6 = 102. Tìm n biết Sn = 3069. -Hưởng àẫn: Tìm được a, = 3, q = 2. 1 Qn Áp dụng công thức: sn = a1 1 M suy ra n = 10.
09/03/2022 151
A.
B.
Đáp án chính xác
C.
D.
Chọn B.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Một hãng taxi áp dụng mức giá đối với khách hàng theo hình thức bậc thang như sau: Mỗi bậc áp dụng cho 10 km. Bậc 1 [áp dụng cho 10km đầu] có giá trị 10.000đ/1km, giá mỗi km ở các bậc tiếp theo giảm 5% so với giá của bậc trước đó. Bạn An thuê hãng taxi đó để đi quãng đường 114km, nhưng khi đi được 50km thì bạn Bình đi chung hết quãng đường còn lại. Tính số tiền mà bạn An phải trả, biết rằng mức giá áp dụng từ lúc xe xuất phát và số tiền trên quãng đường đi chung bạn An chỉ phải trả 20% [Kết quả làm trong đến hàng nghìn].
Xem đáp án » 09/03/2022 83
Cho dãy số un xác định bởi u1=3un+1=6un+15∀n⩾1 . Tìm chữ số hàng đơn vị của u2018?
Xem đáp án » 09/03/2022 81
Cho dãy số có công thức tổng quát là un=2n thì số hạng thứ n + 3 là?
Xem đáp án » 09/03/2022 48
Tìm số thực a để dãy số un với un=an2+12n2+3 là dãy số giảm?
Xem đáp án » 09/03/2022 48
Cho cấp số cộng un có u1=123 và u3-u15=84. Số hạng u17 là
Xem đáp án » 09/03/2022 37
Cho cấp số cộng có tổng n số hạng đầu là Sn=3n2+4n, n∈ℕ*. Giá trị của số hạng thứ 10 của cấp số cộng là
Xem đáp án » 09/03/2022 37
Cho cấp số nhân un có u5+u19=90. Tính tổng của 23 số hạng đầu tiên của cấp số cộng trên.
Xem đáp án » 09/03/2022 33
Cho dãy số un xác định bởi u1=3un+1=2un2-15∀n≥1. Khẳng định nào sau đây đúng?
Xem đáp án » 09/03/2022 30
Tổng 1+2+22+...+22017 có giá trị bằng
Xem đáp án » 09/03/2022 30
Cho ba số x,5,3y theo thứ tự lập thành cấp số cộng và ba số x,3,3y theo thứ tự lập thành cấp số nhân thì 3y-x bằng?
Xem đáp án » 09/03/2022 26
Cho cấp số cộng un, biết u1=3 và u6=13. Tính công sai của cấp số cộng đã cho.
Xem đáp án » 09/03/2022 25
Dãy số un cho bởi: u1=2un+1=2un-3, ∀n≥1. Số hạng thứ 3 của dãy là
Xem đáp án » 09/03/2022 23
Cho cấp số nhân có 5 số hạng đầu là 1;4;16;64;256. Khi đó tổng của số hạng đầu của cấp số nhân đó bằng
Xem đáp án » 09/03/2022 18
Một tứ giác lồi có số đo các góc lập thành một cấp số nhân. Biết rằng số đo của góc nhỏ nhất bằng 19 số đo của góc nhỏ thứ ba. Số đo của các góc trong tứ giác đó lần lượt là
Xem đáp án » 09/03/2022 16
Cho cấp số nhân an. Dãy số nào dưới đây không phải là cấp số nhân?
Xem đáp án » 09/03/2022 16