có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số y=1/4x^4+mx-3/2x

Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{1}{4} x^{4}+m x-\frac{3}{2 x}$ đồng biến trên khoảng $[0 ;+\infty]$.

Tập xác định : $D= \mathbb{R} . y^{\prime}=x^{3}+m+\frac{3}{2 x^{2}}$.

Ta có: hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $[0 ;+\infty]$ khi và chỉ khi $y^{\prime} \geq 0$ với $\forall x \in[0 ;+\infty]$

$\Leftrightarrow x^{3}+m+\frac{3}{2 x^{2}} \geq 0, \forall x \in[0 ;+\infty] \Leftrightarrow x^{3}+\frac{3}{2 x^{2}} \geq-m, \forall x \in[0 ;+\infty]$$\Leftrightarrow-m \leq \operatorname{Min}_{[0 ;+\infty]} f[x],$ với $f[x]=x^{3}+\frac{3}{2 x^{2}}[1]$

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có $f[x]=x^{3}+\frac{3}{2 x^{2}}=\frac{x^{3}}{2}+\frac{x^{3}}{2}+\frac{1}{2 x^{2}}+\frac{1}{2 x^{2}}+\frac{1}{2 x^{2}} \geq 5 \sqrt[5]{\frac{1}{2^{5}}}=\frac{5}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=1$. Do đó$\operatorname{Min}_{[0 ;+\infty]} f[x]=\frac{5}{2}[2]$

Từ [1] và [2] ta có $-m \leq \frac{5}{2} \Leftrightarrow m \geq-\frac{5}{2}$. Do m nguyên âm nên $m=-1$ hoặc $m=-2$

Vậy có hai giá trị nguyên âm của tham số $m$ thỏa mãn điều kiện bài ra.