Công thức tính thể tích đa giác đều n cạnh

Originally posted on Tháng Mười Hai 13, 2021 @ 13:02

Trong chương trình toán thi THPT Quốc Gia, khối đa diện chiếm một lượng kiến thức khá lớn, vì vậy hôm nay Kiến Guru xin chia sẻ đến các bạn đọc bộ công thức hình học 12 về khối đa diện.You watching: Công thức tính số đỉnh của đa giác

Kiến hy vọng thông qua bài viết này, các bạn sẽ có một tư liệu ôn tập tóm gọn, chính xác và đầy tính ứng dụng. Bài viết vừa nhắc lại một số định nghĩa cơ bản, đồng thời cũng tổng hợp một vài công thức tính nhanh toán 12 về tính thể tích. Mời bạn đọc cùng tham khảo qua:

Xem thêm: Công thức tính số đỉnh của đa giác

Hình đa diện: là hình được tạo ra bởi một số hữu hạn thỏa mãn hai tính chất:

+ Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.

+ Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng 2 đa giác.

Khối đa diện: là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.

Khối đa diện nếu được giới hạn bởi hình lăng trụ sẽ gọi là khối lăng trụ. Tương tự, nếu được giới hạn bởi hình chóp thì gọi là khối chóp,…

Trong tính toán ta thường đề cập đến khối đa diện lồi: tức là một khối đa diện [H] thỏa mãn nếu nối 2 điểm bất kì của [H] ta đều thu được một đoạn thẳng thuộc [H].

Cho một đa diện lồi, ta có công thức Euler về liên hệ giữa số đỉnh D, số cạnh C và số mặt M: D-C+M=2.

Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có tính chất sau đây:

+ Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh.

+ Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt.

Một số khối đa diện lồi thường gặp:

Đọc thêm: Axit axetic C2H4O2 tính chất hoá học, công thức cấu tạo và bài tập – hoá 9 bài 45

Ví dụ về khối đa diện:

Ví dụ về khối hình không phải đa diện:

Những điểm không thuộc khối đa diện gọi là điểm ngoài, tập hợp các điểm ngoài gọi là miền ngoài. Điểm thuộc khối đa diện nhưng không nằm trên hình đa diện bao ngoài được gọi là điểm trong khối đa diện, tương tự, tập hợp các điểm trong tạo nên miền trong khối đa diện.

Cho khối đa diện [H] là hợp của hai khối đa diện [H1] và [H2] thỏa mãn, [H1] và [H2] không có điểm chung trong nào thì ta nói [H] có thể phần chia được thành 2 khối [H1] và [H2], đồng thời cũng có thể nói ghép hai khối [H1] và [H2] để thu được khối [H].

Ví dụ: Cắt lăng trụ ABC.A’B’C’ bởi mặt phẳng [A’BC] ta thu được hai khối đa diện mới A’ABC và A’BCC’B’.See more: Học Viện Chính Trị Công An Nhân Dân [Việt Nam], Học Viện Chính Trị Công An Nhân Dân

KQ1: cho một khối tứ diện đều:

+ Trọng tâm của các mặt là đỉnh của một khối tứ diện đều khác.

+ Trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối bát diện đều [khối tám mặt đều].

KQ2: Cho khối lập phương, tâm các mặt của nó sẽ tạo thành 1 khối bát diện đều.

KQ3: Cho khối bát diện đều, tâm các mặt của nó sẽ tạo thành một khối lập phương.

KQ4: Hai đỉnh của một khối bát diện đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng thuộc một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của khối bát diện đều. Khi đó:

+ Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Tham khảo: Công thức tính công suất tỏa nhiệt và bài tập có lời giải

+ Ba đường chéo đôi một vuông góc với nhau.

+ Ba đường chéo bằng nhau.

KQ5: một khối đa diện phải có tối thiểu 4 mặt.

KQ6: HÌnh đa diện có tối thiểu 6 cạnh.

KQ7: Không tồn tại đa diện có 7 cạnh.

Chú ý: Hình lập phương là một hình hộp chữ nhật có các cạnh bằng nhau.

Chú ý đặc biệt: công thức về tỷ số thể tích chỉ được dùng cho khối chóp tam giác. Nếu gặp khối chóp tứ giác, ta cần chia nhỏ thành 2 khối chóp tam giác để áp dụng công thức này.See more: Dinh Thự Hoa Lan Của Dương Văn Minh #Shorts, Dương Văn Minh Những Ngày Cuối Tháng 4 Năm 1975

Đường chéo của hình lập phương cạnh a có độ dài: SS

Cho hình hộp có độ dài 3 cạnh là a, b, c thì độ dài đường chéo là:

Đường cao của tam giác đều cạnh a là:

Ngoài ra, để tính thể tích khối đa diện, cần nhớ một số công thức toán hình phẳng sau:

Cho tam giác vuông ABC tại A, xét đường cao AH. Khi đó:

Công thức tính diện tích tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a,b,c; a đường cao tương ứng là ha, hb, hc; bán kính đường trònngoại tiếp là R; bán kính đường tròn nội tiếp là r; nửa chu vi tam giác là

Trên đây là những tổng hợp của Kiến về công thức hình học 12 chuyên đề thể tích khối đa diện. Hy vọng thông qua bài viết, các bạn sẽ ôn tập, nâng cao được kiến thức của bản thân. Mỗi dạng toán đều cần sự đầu tư chỉnh chu, vì vậy ghi nhớ công thức một cách chính xác cũng là cách để cải thiện điểm trong từng bài thi. Ngoài ra các bạn cũng có thể tham khảo thêm những bài viết khác của Kiến để có thêm nhiều điều bổ ích. Chúc các bạn may mắn.

Đọc thêm: Cách tính diện tích hình tứ giác [Toán tiểu học]

Chuyên mục: Tổng hợp

Công thức tính diện tích đa giác đều là \[\]\[S = \frac{1}{4}na^2cot\frac{π}{n}\], khi đó công thức tính chu vi đa giác đều là \[P = n × a\]. Giờ đây, cách tính diện tích và chu vi đa giác đều online với bảng tính trực tuyến của HocTapHay.Com nhanh và chính xác nhất.

Đa giác đều trong hình học Euclid là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và các góc ở đỉnh bằng nhau. Đa giác đều được chia làm hai loại là: đa giác lồi đều và đa giác sao đều.

\[S = \frac{1}{4}na^2cot\frac{π}{n}\]

\[P = n × a\]

\[R = \frac{a}{2.sin\frac{π}{n}}\]

\[r = \frac{a}{2.tan\frac{π}{n}}\]

Trong đó:

• P: chu vi
• S: diện tích
• R: bán kính K
• r: bán kính k
• n: số cạnh
• S’: tâm
• a: các cạnh
• K: đường tròn ngoại tiếp
• k: đường tròn nội tiếp

Tính chất của đa giác đều bao gồm tính chất tổng quát và tính đối xứng:

Tính chất tổng quát

– Các tình chất này được áp dụng cho cả hình đa giác lồi đều và hình đa giác sao đều.

– Tất cả các đỉnh của đa giác đều đều nằm trên một đường tròn. Chúng là các điểm đồng viên. Tất cả các đa giác đều đều có một đường tròn ngoại tiếp.

– Cũng với tính chất độ dài các cạnh của đa giác đều thì bằng nhau, kéo theo rằng tất cả các đa giác đều đều có các đường tròn nội tiếp.

– Một đa giác đều n cạnh có thể được dựng bằng compa và thước kẻ khi và chỉ khi các thừa số nguyên tố lẻ của n khác số nguyên tố Fermat.

Tính đối xứng: Nhóm đối xứng của đa giác đều là hình vuôngn \[D_2, D_3, D_4,…\] Nó bao gồm sự quay quanh tâm \[C_n\] [tâm đối xứng], cùng với tính đối xứng của n trục đi qua tâm này. Nếu n là chẵn thì một nửa số trục đối xứng đi qua hai đỉnh đối nhau của đa giác và nửa còn lại đi qua trung điểm của hai cạnh đối. Nếu n là lẻ thì tất cả các trục đới xứng đều đi qua một đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện với đỉnh ấy.

Tất các đa giác đơn đều [một đa giác đơn là một đa giác mà không tự cắt]là các đa giác lồi đều. Các đa giác mà có cùng số đo các cạnh thì đồng dạng.

– Một đa giác lồi đều n cạnh được chỉ rõ bởi công thức Schläfli của nó: {n}.

– Đa giác đều 1 đỉnh: suy biến trong không gian bình thường

– Nhị giác đều: một “đoạn thẳng đôi” – suy biến trong không gian bình thường

– Tam giác đều {3}

– Hình vuông {4}

– Ngũ giác đều {5}

– Lục giác đều {6}

– Thất giác đều {7}

– Bát giác đều {8}

– Cửu giác đều {9}

– Thập giác đều {10}

Trong một số hoàn cảnh các đa giác đã được xét đến đều là các đa giác đều. Trong nhiều trường người ta thường bỏ chữ đều đi. Ví dụ như mọi mặt của đa diện đều có thể là các hình đa giác đều như: tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều, etc.

Góc: Với một đa giác đều n đỉnh, số đo góc trong được tính bằng công thức:

\[[1 – \frac{2}{n}] × 180\] [hay bằng với \[[n – 2] × \frac{180}{n}]\] độ, hay \[\frac{[n – 2]π}{n}\] độ radian, hay \[\frac{[n – 2]}{2n}\] tính theo vòng, và với mỗi góc ngoài [kề bù với góc trong]được tính theo công thức \[\frac{360}{n}\] độ, với tổng của các góc ngoài bằng 360 độ hay 2π độ radian hay vòng quay.

Đường chéo:

Với n > 2 số đường chéo là \[\frac{\frac{n[n – 3]}{2}}{n} = 0, 2, 5, 9,…\] Chúng chia đa giác thành 1, 4, 11, 24,… phần.

Diện tích:

Diện tích A của đa giác lồi đều n cạnh là:

theo độ \[A = \frac{t^2n}{4tan[\frac{180}{n}]}\]

hay theo độ radian \[A = \frac{t^2n}{4tan[\frac{π}{n}]}\], với t là độ dài của một cạnh.

Nếu biết bán kính, hay độ dài đoạn thẳng nối tâm với một đỉnh, diện tích là:

tính theo độ \[A = \frac{nr^2sin[\frac{360}{n}]}{2}\]

hay theo độ radian \[A = \frac{nr^2sin[\frac{2π}{n}]}{2}\], với r là độ lớn của bán kính.

Đồng thời, diện tích cũng bằng nửa chu vi nhân với độ dài của trung đoạn, a, [đoạn vuông góc hạ từ tâm của đa giác xuống một cạnh]. Vì vây ta có \[A = \frac{a.n.t}{2}\], với chu vi là n.t, và ở dạng đơn giản hơn \[\frac{1}{2}p.a\].

Với cạnh t = 1, ta có:

theo độ \[\frac{n}{4tan[\frac{180}{n}]}\]

hay theo độ radian [n ≠ 2]

\[\frac{n}{4}cot[\frac{π}{n}]\]

giá trị được viết trong bảng sau:

Một đa giác đều không lồi là một đa giác sao đều. Ví dụ phổ biến nhất là hình sao 5 cánh, có cùng số đỉnh với ngũ giác đều, nhưng có cách nối các đỉnh khác.

Với một đa giác sao n cạnh, công thức Schläfli được sửa cho phù hợp với dạng hình sao m của đa giác, ví dụ như \[{\frac{n}{m}}\]. Nếu m bằng 2, thì mỗi đỉnh đều được nối với hai đỉnh khác cách nó 2 đỉnh. Nếu m bằng 3, thì mỗi đỉnh đều được nối với hai đỉnh khác cách nó 3 đỉnh. Đường biên của đa giác đi quanh tâm m lần, và m đôi khi còn được gọi là mật độ của đa giác sao đều.

Ví dụ:

– Sao 5 cánh đều là \[{\frac{5}{2}}\]

– Sao 7 cánh đều là \[{\frac{7}{2}}\] và \[{\frac{7}{3}}\]

– Sao 8 cánh đều là \[{\frac{8}{3}}\]

– Sao 9 cánh đều là \[{\frac{9}{2}}\] và \[{\frac{9}{4}}\]

– Sao 10 cánh đều là \[{\frac{10}{3}}\]

– Sao 11 cánh đều là \[{\frac{11}{2}}, {\frac{11}{3}}, {\frac{11}{4}}, {\frac{11}{5}}\]

m và n phải nguyên tố cùng nhau, hoặc hình sẽ suy biến. Phụ thuộc vào nguồn gốc rõ ràng của công thức Schläfli, có nhiều các ý kiến bất đồng về các hình suy biến.

Chu vi là tổng chiều dài các mặt ngoài của bất kỳ hình học phẳng. Để tính chu vi một đa giác đều, chu vi có thể được tính bằng cách nhân chiều dài một cạnh với số cạnh [n].

\[CTTQ: P = n × a\]

Hình Bình Hành Hình Chữ Nhật

Hình Tam Giác Hình Thang Hình Thoi

Hình Tròn Hình Vuông Lục Giác Đều

Ngũ Giác Tam Giác Vuông