Cáchtính tổng dãy số cách đều:
Bước 1: Xác định quy luật của dãy số.
Bước 2: Tính số số hạng có trong dãy.
Số số hạng = [Số hạng lớn nhất của dãy – số hạng bé nhất của dãy]: khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy + 1
Ví dụ: từ số 1,2,3…45 có số số hạng là: [45-1]:1 + 1 = 45 [số]
Bước 3: Tính tổng của dãy theo công thức:
Tổng = [Số hạng lớn nhất của dãy + số hạng bé nhất của dãy] x số số hạng có trong dãy : 2
Ví dụ rút ra công thức:
Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4+….+n[n + 1]
Ta có:
3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3+…+n[n + 1].3
= 1.2.[3 – 0] + 2.3.[4 – 1] + 3.4.[5 – 2]+….+n[n + 1][[n + 2] – [n + 1]]
= 1.2.3 + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4+….+n[n + 1][n + 2] – [n – 1]n[n + 1]
= n[n + 1][n + 2]
Cùng Top lời giải tìm hiểu chi tiết hơn về dãy số không cách đều nhé!
1. Thế nào là bài toán tính tổng một dãy số?
Với bài toán tính tổng một dãy số, đề bài thường cho một dãy gồm nhiều số hạng. Tuy nhiên, trước mỗi số hạng không nhất định phải là dấu cộng, mà có thể là dấu trừ hoặc bao gồm cả dấu cộng và dấu trừ.
2. Phương pháp làm bài toán tính tổng một dãy số
Điền thêm số hạng vào sau, giữa hoặc trước một dãy số
Trước hết ta cần xác định lại quy luật của dãy số:
+ Mỗi số hạng [kể từ số hạng thứ 2] bằng số hạng đứng trước nó cộng [hoặc trừ] với một số tự nhiên a.
+ Mỗi số hạng [kể từ số hạng thứ 2] bằng số hạng đứng trước nó nhân [hoặc chia] với một số tự nhiên q khác 0.
+ Mỗi số hạng [kể từ số hạng thứ 3] bằng tổng 2 số hạng đứng liền trước nó.
+ Mỗi số hạng [kể từ số hạng thứ 4] bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với số tự nhiên d rồi cộng với số thứ tự của số hạng ấy.
+ Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước nhân với số thứ tự của nó.
+ Mỗi số hạng [kể từ số hạng thứ 2] trở đi đều bằng a lần số liền trước nó.
+ Mỗi số hạng [kể từ số hạng thứ 2] trở đi, mỗi số liền sau bằng a lần số liền trước nó cộng [trừ ] n [n khác 0].
3. Công thức tính tổng dãy số cách đều
Bước 1: Xác định quy luật của dãy số.
Bước 2: Tính số số hạng có trong dãy.
Số số hạng = [Số hạng lớn nhất của dãy – số hạng bé nhất của dãy]: khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy + 1
Ví dụ: từ số 1,2,3…45 có số số hạng là: [45-1]:1 + 1 = 45 [số]
Bước 3: Tính tổng của dãy theo công thức:
Tổng = [Số hạng lớn nhất của dãy + số hạng bé nhất của dãy] x số số hạng có trong dãy : 2
Ví dụ:
Tính tổng: 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19, …, 94 + 97 + 100.
Bước 1: Ta nhận thấy quy luật của dãy số: dãy số cách đều, có khoảng cách giữa 2 số hạng liên tiếp là 3 đơn vị.
Bước 2: Tính số số hạng có trong dãy.
[100 – 1] : 3 + 1 = 34 [số hạng]
Bước 3:
Tổng dãy số = [100 + 1] x 34 : 2 = 1717
4. Bài tập
Bài 1:Tính tổng của dãy số: 1, 5, 9, 13, 17, …. [có 80 số hạng]
Nhận xét:Đây là dãy số cách đều, hai số liên tiếp cách nhau 4 đơn vị
Lời giải:
Số cuối của dãy số gồm 80 số là: 1 + [80 - 1] x 4 = 317
Tổng của dãy số là: [317 + 1] x 80 : 2 = 12720
Bài 2:Tỉnh tổng của dãy số 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99
Nhận xét:Đây là dãy số gồm các số tự nhiên liên tiếp cách nhau 1 đơn vị
Lời giải:
Số số hạng của dãy là: [99 - 1] : 1 + 1= 99 [số]
Tổng của dãy số là: [99 + 1] x 99 : 2 = 4950
Bài 3:Tính tổng A = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + …+ 98 x 99 + 99 x 100
Nhận xét:
Ta thấy 1 x 2 = 2, 2 x 3 = 6, 3 x 4 = 12,… đây không phải là dãy số cách đều
Lời giải:
3 x A = 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 3 + 3 x 4 x 3 + … + 98 x 99 x 3 + 99 x 100 x 3
= 1 x 2 x [3 - 0] + 2 x 3 x [4 - 1] + 3 x 4 x [5 - 2] + … + 98 x 99 x [100 - 97] + 99 x 100 x [101 - 98]
= 1 x 2 x 3 – 1 x 2 x 0 + 2 x 3 x 4 – 1 x 2 x 3 + 3 x 4 x 5 – 2 x 3 x 4 + … + 98 x 99 x 100 – 97 x 98 x 99 + 99 x 100 x 101 – 98 x 99 x 100
= 99 x 100 x 101
Suy ra
A= [99 x 100 x 101] : 3 = 333300
Muốn tính tổng của một dãy số có quy luật cách đều chúng ta thường hướng dẫn học sinh tính theo các bước như sau:
Bước 1: Tính số số hạng có trong dãy: [Số hạng lớn nhất của dãy – sổ hạng bé nhất của dãy]: khoảng cách giữa hai sổ hạng liên tiếp trong dãy + 1
Bước 2: Tính tổng của dãy: [Số hạng lớn nhất của dãy + số hạng bé nhất của dãy] x số số hạng có trong dãy : 2
Ví dụ 1: Tính giá trị của A biết:
A = 1 + 2 + 3 + 4 + ………………………… + 2014.
Phân tích: Đây là dạng bài cơ bản trong dạng bài tính tổng của dãy có quy luật cách đều, chúng ta hướng dẫn học sinh tính giá trị của A theo 2 bước cơ bản ở trên.
Bài giải
Dãy số trên có số số hạng là:
[2014 – 1] : 1 + 1 = 2014 [số hạng]
Giá trị của A là:
[2014 + 1] x 2014 : 2 = 2029105
Đáp số: 2029105
Ví dụ 2: Cho dãy số: 2; 4; 6; 8; 10; 12;……………….
Tìm số hạng thứ 2014 của dãy số trên?
Phân tích: Từ bước 1 học sinh sẽ tìm ra cách tìm số hạng lớn nhất trong dãy là: số hạng lớn nhất = [Số số hạng trong dãy – 1] x khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp + số hạng bé nhất trong dãy.
Bài giải
Số hạng thứ 2014 của dãy số trên là:
[2014 – 1] x 2 + 2 = 4028
Đáp số: 4028
Ví dụ 3: Tính tổng 50 số lẻ liên tiếp biết số lẻ lớn nhất trong dãy đó là 2013?
Phân tích: Từ bước 1 học sinh sẽ tìm ra cách tìm số hạng bé nhất trong dãy là: số hạng bé nhất = Số hạng lớn nhất – [Số số hạng trong dãy – 1] x khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp. Từ đó học sinh sẽ dễ dàng tính được tổng theo yêu cầu của bài toán.
Bài giải
Số hạng bé nhất trong dãy số đó là:
2013 – [50 – l] x 2 = 1915
Tổng của 50 số lẻ cần tìm là [2013 + 1915] x 50 : 2 = 98200
Đáp số: 98200
Ví dụ 4: Một dãy phố có 15 nhà. Số nhà của 15 nhà đó được đánh là các số lẻ liên tiếp, biết tổng của 15 số nhà của dãy phố đó bằng 915. Hãy cho biết số nhà đầu tiên của dãy phố đó là số nào?
Phân tích: Bài toán cho chúng ta biết số số hạng làl5, khoảng cách của 2 số hạng liên tiếp trong dãy là 2 và tổng của dãy số trên là 915. Từ bước 1 và 2 học sinh sẽ tính được hiệu và tổng của số nhà đầu và số nhà cuối. Từ đó ta hướng dẫn học sinh chuyển bài toán về dạng tìm số bé biết tổng và hiêu của hai số đó.
Bài giải
Hiệu giữa số nhà cuối và số nhà đầu là:
[15 – l] x 2 = 28
Tổng của số nhà cuối và số nhà đầu là:
915 x 2 : 15 = 122
Số nhà đầu tiên trong dãy phố đó là:
[122 – 28] : 2 = 47
Đáp số: 47
Môt số bài tự luyện:
Bài 1: Cho dãy số: 1; 4; 7; 10;………………………….. ; 2014.
a, Tính tổng của dãy số trên?
b, Tìm số hạng thứ 99 của dãy?
c, Số hạng 1995 có thuộc dãy số trên không? Vì sao?
Bài 2: Tìm TBC các số chẵn có 3 chữ số ?
Bài 3: Tính tổng 60 số chẵn liên tiếp biết số chẵn lớn nhất trong dãy đó là 2010?
Bài 4: Tính tổng 2014 số lẻ liên tiếp bắt đầu bằng số 1?
Bài 5: Tính tổng: 1 + 5 + 9 + 13 +……………………. biết tổng trên có 100 số hạng?
Bài 6: Một dãy phố có 20 nhà. số nhà của 20 nhà đó được đánh là các số chẵn liên tiếp, biết tổng của 20 số nhà của dãy phố đó bằng 2000. Hãy cho biết số nhà cuối cùng trong dãy phố đó là số nào?
Xem thêm: Các bài toán về tính tuổi – Chuyên đề Toán 4 tại đây.
Related
Tags:Đề toán 4 · Giải Toán 4 · Giáo án tuần toán 4 · Toán 4
Công thức tính tổng dãy số cách đều là gì? Công thức tính tổng dãy số không cách đều là gì? Đây là kiến thức rất quan trọng lớp 5, nhưng rất nhiều em còn chưa nắm rõ. Do vậy, hôm nay chúng tôi sẽ đưa ra công thức tính tổng dãy số cách đều và không đều và những bài tập có lời giải để các em thực hành và nắm rõ kiến thức.
>>Xem thêm:
- Công thức tính độ dài đường chéo hình chữ nhật
Bài toán tính tổng dãy số là gì?
Bài toán tính tổng dãy số là bài có một dãy số gồm nhiều số hạng, tuy nhiên trước mỗi số hạng không nhất định phải là dấu cộng mà có thể là dấu trừ hoặc bao gồm cả dấu cộng và dấu trừ
Công thức tính tổng dãy số cách đều
Công thức tính tổng dãy số cách đều = [số hạng đầu + số hạng cuối] x số số hạng có trong dãy : 2
Tính số cuối cách đều = số hạng đầu + [số số hạng – 1] x đơn vị khoảng cách
Tính số đầu cách đều = số hạng cuối– [số số hạng trong dãy – 1] x đơn vị khoảng cách
Tính số số hạng trong dãy = [số hạng cuối – số hạng đầu] : đơn vị khoảng cách + 1
Tính trung bình cộng = trung bình cộng của số hạng đầu và số hạng cuối trong dãy
Chú ý:
- Bài toán tính tổng dãy số cách đều thì ta chỉ nên quan tâm đến số hạng đầu, số hạng cuối và số số hạng có trong dãy, hai số liên tiếp cách nhau bao nhiêu đơn vị [đơn vị khoảng cách]
- TRong bài toán có số hạng là lẻ thì số ở giữa bằng ½ tổng mỗi cặp [số đầu + số cuối]
- Tùy vào bài toán tính dãy số tăng hoặc giảm để vận dụng vào những công thức trên sao cho phù hợp nhé
Ví dụ: Cho dãy số 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26. Biết dãy số cách đều nhau 3 đơn vị, có 9 số hạng, số hạng đầu là 2 và số hạng cuối bằng 26
Lời giải:
Áp dụng công thức tính tổng dãy số cách đều ở trên ta có:
Tổng = [2 + 26] x 9 : 2 = 126
Số cuối = 2 + 3 x [9 – 1] = 26
Số đầu = 26 – 3 x [9 – 1] = 0
Số số hạng = [26 – 1] : 3 + 1 = 9,3
TB cộng = [2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + 26] : 9 = [ 2 + 26] : 2 = 14 hay = số ở giữa là 14
Công thức tính tổng dãy số không cách đều
Dãy số không cách đều là dãy số Fibonacci hoặc tribonacci. Dãy số có tổng [ hiệu] giữa hai số liên tiếp là một dãy số
Ví dụ: Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4+….+n[n + 1]
Lời giải
3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3+…+n[n + 1].3
= 1.2.[3 – 0] + 2.3.[4 – 1] + 3.4.[5 – 2]+….+n[n + 1][[n + 2] – [n + 1]]
= 1.2.3 + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4+….+n[n + 1][n + 2] – [n – 1]n[n + 1]
= n[n + 1][n + 2]
Một số bài toán về tính tổng dãy số cách đều và không cách đều
Bài tập tính tổng dãy số cách đều
Bài tập 1: Tính giá trị của T biết: T = 2 + 3 + 4 + 5 +….+2015
Lời giải
Dãy số trên có số số hạng là: [2015 – 1] : 2 + 1 = 1008
Giá trị của T là: [2015 + 2] x 1008 : 2 = 1016568
Đáp số: 1016568
Bài tập 2: Tính tổng 40 số lẻ liên tiếp biết số lẻ lớn nhất trong dãy số là 2011?
Lời giải
Số hạng bé nhất trong dãy số đó là: 2011 – [40 – 1] x 2 =1933
Tổng của 40 số lẻ cần tìm là: [2011 + 1933] x 40 : 2 = 78880
Đáp số:78880
Bài tập 3: Một khu phố có 25 nhà. Số nhà cuả 25 nhà đó được đánh là các số lẻ liên tiếp, biết tổng của 25 số nhà của dãy số đó bằng 1145. Hãy cho biết số nhà đầu tiên của khu phố đó là số bao nhiêu?
Lời giải
Hiệu giữa số nhà cuối và số nhà đầu tiên là: [25 – 1] x 2 = 48
Tổng của số nhà cuối và số nhà đầu là: 1145 x 2 : 25 = 91,6
Số nhà đầu tiên trong khu phố đó là: [91,6 – 48] : 2 = 21,8
Đáp số: 21,8
Bài tập tính tổng dãy số không cách đều
Bài tập 1: Tính M = 1.2.3 + 2.3.4+….+[n – 1]n[n + 1]
Lời giải
4M = 1.2.3.4 + 2.3.4.4+ … + [n – 1]n[n + 1].4
= 1.2.3.[4 – 0] + 2.3.4 [5 – 1]+….+ [n – 1]n[n + 1].[[n + 2] – [n – 2]]
= 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 1.2.3.4+….+ [n – 1]n[n + 1][n + 2] – [n – 2][n – 1]n[n + 1]
= [n – 1_n[n + 1][n + 2]
Bài tập 2: Tính N = 1.4 + 2.4 + 3.6 + 4.7+…+ n[n + 3]
Lời giải
Ta có: 1.4 = 1.[1 + 3] = 1.[1 + 1 + 2] = 1.[1 + 1] + 2.1
2.5 = 2.[2 + 3] = 2.[2 + 1 + 2] = 2.[2 + 1] + 2.2
3. 6 = 3.[3 + 3] = 3.[3 + 1 + 2] = 3.[3 + 1] + 2.3
4.7 = 4.[4 + 3] = 4.[4 + 1 + 2] = 4.[4 + 1] + 2.4
……………………..
N[n + 3] = n[n + 1] + 2n
Vậy N = 1.2 + 2.1 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 2.3+ … + n[n + 1] + 2n
= 1.2 + 2 + 2.3 + 4 + 3.4 + 6 + ….. + n[n + 1] + 2n
= [1.2 + 2.3 + 3.4 + …. + n[n + 1] + [2 + 4 + 6 +… + 2n]
Mà 1.2 + 2.3 + 3.4+ …. + n[n + 1]
Hy vọng với những công thức và bài tập ở trên sẽ giúp các em học sinh lớp 5 dễ dàng giải bài toán tính tổng dãy số cách đều và không cách đều. Nếu như gặp bài toán nâng cao nào khó hãy để lại bình luận bên dưới chúng tôi sẽ giúp các em phân tích bài toán và giải bài toán đó. Chúc các em có một buổi học tốt.