Đề bài
Trong mặt phẳng \[Oxy\], cho đường thẳng \[d\] có phương trình \[x-5y+7=0\]và đường thẳng \[d\]có phương trình \[5x-y-13=0\]. Tìm phép đối xứng trục biến \[d\]thành \[d\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Khoảng cách từ một điểm thuộc trục đối xứng đến hai đường thẳng \[d\] và \[d\] là bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Ta thấy \[\frac{1}{5} \ne \frac{{ - 5}}{{ - 1}}\] nên\[d\] và \[d\] không song song với nhau.
Do đó trục đối xứng \[\Delta\]của phép đối xứng biến \[d\] thành \[d\] chính là đường phân giác của góc tạo bởi \[d\] và \[d\].
Gọi M[x;y] bất kì thuộc đường phân giác \[\Delta\] của d và d'. Khi đó,
Khoảng cách từ M\[[x;y]\] thuộc \[\Delta\]đến \[d\] và \[d\] là bằng nhau
Nên ta có: \[\dfrac{{\left| {x - 5y + 7} \right|}}{{\sqrt {1 + 25} }} = \dfrac{{\left| {5x - y - 13} \right|}}{{\sqrt {25 + 1} }} \]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 5y + 7 = 5x - y - 13\\
x - 5y + 7 = - \left[ {5x - y - 13} \right]
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
- 4x - 4y + 20 = 0\\
6x - 6y - 6 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + y - 5 = 0\\
x - y - 1 = 0
\end{array} \right.
\end{array}\]
Từ đó tìm được hai phép đối xứng qua các trục:
\[\Delta_1\]có phương trình \[x+y-5=0\]
\[\Delta_2\] có phương trình \[x-y-1=0\].