Giả sử phép dời hìnhfbiến mỗi điểmA, B, C, Dthành chính nó, tức là \[f\left[ A \right] = A\],\[f\left[ B \right] = B,f\left[ C \right] = C,f\left[ D \right] = D.\]
Đề bài
Cho tứ diệnABCD. Chứng tỏ rằng phép dời hình biến mỗi điểmA, B, C, Dthành chính nó phải là phép đồng nhất.
Lời giải chi tiết
Giả sử phép dời hìnhfbiến mỗi điểmA, B, C, Dthành chính nó, tức là \[f\left[ A \right] = A\],\[f\left[ B \right] = B,f\left[ C \right] = C,f\left[ D \right] = D.\]
Ta chứng minh rằngfbiến điểmMbất kì thànhM.
Thật vậy giả sử \[{M'} = f\left[ M \right]\] vàMkhácM.
Khi đó, vì phép dời hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm nên \[AM = A{M'}\],\[BM = B{M'}\],\[CM = C{M'},DM = D{M'}\]
Suy ra bốn điểmA, B, C, Dcùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳngMM, điều đó trái với giả thiếtABCDlà hình tứ diện.
VậyMtrùng vớiMvà do đó, flà phép đồng nhất.