Đề bài
Chứng minh rằng hàm số \[y=\sqrt{2x-{{x}^{2}}}\] đồng biến trên khoảng \[\left[ 0;\ 1 \right]\] và nghịch biến trên khoảng \[\left[ 1;\ 2 \right].\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Tìm tập xác định của hàm số.
+] Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm xi [I =1,2,3,,n] mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định
+] Xét dấu đạo hàm và kết luận khoảng đồng biến nghịch biến.
Lời giải chi tiết
ĐK: \[2x-{{x}^{2}}\ge 0\] \[\Leftrightarrow x\left[ x-2 \right]\le 0\] \[\Leftrightarrow 0\le x\le 2.\]
Tập xác định: \[D=\left[ 0;\ 2 \right].\]
Có \[y'=\dfrac{2-2x}{2\sqrt{2x-{{x}^{2}}}}\] \[=\dfrac{1-x}{\sqrt{2x-{{x}^{2}}}},\forall \ x\in \left[ 0;\ 2 \right]\]
\[\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 1-x=0\Leftrightarrow x=1.\]
+] \[y' > 0 \Leftrightarrow 1 - x > 0 \Leftrightarrow x < 1\] nên hàm sốđồng biến trên khoảng \[\left[ 0;\ 1 \right]\].
+]\[y' < 0 \Leftrightarrow 1 - x < 0 \Leftrightarrow x > 1\] nênhàm số nghịch biến trên khoảng \[\left[ 1;\ 2 \right].\]