Đề bài
Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm \[A[1;3]\]và \[B[ - 3;5]\]. Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường tròn đường kính \[AB\]?
A. \[{[x - 1]^2} + {[y + 4]^2} = 5\]
B. \[{[x - 1]^2} + {[y + 4]^2} = 25\]
C. \[{[x + 1]^2} + {[y - 4]^2} = 25\]
D. \[{[x + 1]^2} + {[y - 4]^2} = 5\]
Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số \[m\] để phương trình
\[{x^2} + {y^2} + 2mx - 4[m + 1]y\]\[ + 4{m^2} + 5m + 2 = 0\]
là phương trình của một đường tròn trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
A. \[ - 2 < m < - 1\]
B. \[\left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 2\end{array} \right.\]
C. \[\left[ \begin{array}{l}m < - 2\\m > - 1\end{array} \right.\]
D. \[\left[ \begin{array}{l}m \le - 2\\m \ge - 1\end{array} \right.\]
Câu 3. Rút gọn biểu thức \[P = \frac{{2{{\cos }^2}x - 1}}{{\cos x + \sin x}}\] ta được
A. \[P = |\cos x - \sin x|\]
B. \[P = \sin x - \cos x\]
C. \[P = \cos x - \sin x\]
D. \[P = \cos x + \sin x\]
Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn \[[C]:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {[x + 1]^2} + {[y - 2]^2} = 9\] và đường thẳng \[\Delta :3x + 4y - 2m + 4 = 0\][trong đó \[m\] là tham số]. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số \[m\] sao cho đường thẳng \[\Delta \] là tiếp tuyến của đường tròn \[[C]\]. Tích các số thuộc tập hợp S bằng:
A. \[ - 36\] B. \[12\]
C. \[ - 56\] D. \[ - 486\]
Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn \[[C]:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 1 = 0\]. Tìm tọa độ tâm \[I\] và bán kính \[R\]của đường tròn \[[C]\].
A. \[I[ - 1;2],R = 2\]
B. \[I[ - 1;2],R = 4\]
C. \[I[1; - 2],R = 2\]
D. \[I[1; - 2],R = 4\]
Câu 6. Cho biết \[\frac{\pi }{2} < x < \pi \] và \[\sin x = \frac{1}{3}\]. Tính \[\cos x\].
A. \[\cos x = \frac{2}{3}\]
B. \[\cos x = - \frac{2}{3}\]
C. \[\cos x = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\]
D. \[\cos x = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\]
Câu 7. Cho \[a,b \in \mathbb{R}\]là hai số thực bất kì. Xét các mệnh đề sau
Mệnh đề 1: \[\sin [a + b]\]\[ = \sin a\cos b + \sin b\cos a\].
Mệnh đề 2: \[\sin [a - b]\]\[ = \sin b\cos a - \sin a\cos b\].
Mệnh đề 3: \[\cos [a - b]\]\[ = \cos a\cos b - \sin a\sin b\].
Mệnh đề 4: \[\cos [a + b]\]\[ = \cos a\cos b + \sin a\sin b\].
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:
A. \[0\] B. \[1\]
C. \[2\] D. \[3\]
Câu 8. Cho biết \[\sin x + \cos x = - \frac{1}{2}\]. Tính \[\sin 2x\].
A. \[\sin 2x = - \frac{3}{4}\]
B. \[\sin 2x = \frac{3}{4}\]
C. \[\sin 2x = \frac{1}{2}\]
D. \[\sin 2x = - 1\]
Câu 9. Cho biết \[\tan x = 5\]. Tính giá trị biểu thức \[Q = \frac{{3\sin x - 4\cos x}}{{\cos x + 2\sin x}}\].
A. \[Q = 1\]
B. \[Q = \frac{{19}}{{11}}\]
C. \[Q = - 1\]
D. \[Q = \frac{{11}}{9}\]
Câu 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip \[[E]:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\]. Tiêu cự của elip \[[E]\] bằng
A. \[4\] B. \[8\]
C. \[16\] D. \[2\]
Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm cố định là \[A[2;0]\], \[B[0;2]\]. Cho biết quỹ tích các điểm \[M\]thỏa mãn điều kiện \[M{A^2} + M{B^2} = 12\] là một đường tròn bán kính \[R\]. Tìm \[R\].
A. \[R = \sqrt 5 \]
B. \[R = 4\]
C. \[R = \sqrt 3 \]
D. \[R = 2\]
Câu 12. Cho biết \[\sin x + \sin y = \sqrt 3 \] và \[\cos x - \cos y = 1\]. Tính \[\cos [x + y]\].
A. \[\cos [x + y] = 1\]
B. \[\cos [x + y] = - 1\]
C. \[\cos [x + y] = 0\]
D. \[\cos [x + y] = \frac{1}{2}\]
PHẦN II: TỰ LUẬN [7 điểm].
Câu 1: [2 điểm]
1. Giải phương trình \[\sqrt {{x^2} - 2x + 6} = 2x - 1\].
2. Giải bất phương trình \[\sqrt { - {x^2} + 3x + 4} \le x + 1\].
Câu 2: [2 điểm]
1. Cho biết \[\frac{\pi }{2} < a < \pi \] và \[\tan a = - 2\]. Tính \[\cos a\] và \[\cos 2a\].
2. Cho tam giác \[ABC\]. Chứng minh rằng
\[\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C \]\[= 4\sin A\sin B\sin C\].
Câu 3: [2,5 điểm]
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn [C]: \[{x^2} + {y^2} - 6x + 4y - 12 = 0\].
a] Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn [C] tại điểm \[A[ - 1;1]\].
b] Viết phương trình đường thẳng \[\Delta \] song song với đường thẳng \[d:3x - 4y - 2 = 0\] và cắt đường tròn [C] tại hai điểm \[A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\] sao cho độ dài đoạn thẳng\[AB = 8\].
2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip \[[E]:\;\;\frac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1\]. Gọi \[{F_1},{F_2}\] là hai tiêu điểm của \[[E]\] và điểm \[M \in [E]\] sao cho \[M{F_1} \bot M{F_2}\]. Tính \[MF_1^2 + MF_2^2\] và diện tích \[\Delta M{F_1}{F_2}\].
Câu 4: [0,5 điểm]
Cho tam giác \[ABC\] có số đo ba góc là \[A,B,C\] thỏa mãn điều kiện
\[\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} = \sqrt 3 \].
Chứng minh rằng tam giác \[ABC\] là tam giác đều.
Lời giải chi tiết
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Thực hiện: Ban chuyên môn
PHẦN I: TRẮC NGHIỆM
|
1D |
2C |
3C |
4A |
5C |
6D |
|
7B |
8A |
9A |
10B |
11D |
12B |
Câu 1 [TH]:
Phương pháp:
Đường tròn đường kính AB có tâm là trung điểm AB và bán kính \[R = \frac{{AB}}{2}\].
Công thức viết phương trình đường tròn biết tâm \[I\left[ {a;b} \right]\] bán kính \[R\] là:
\[{\left[ {x - a} \right]^2} + {\left[ {y - b} \right]^2} = {R^2}\]
Cách giải:
Gọi I là trung điểm của AB.
Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{1 + \left[ { - 3} \right]}}{2} = - 1\\{y_I} = \frac{{3 + 5}}{2} = 4\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow I\left[ { - 1;4} \right]\]
\[AB = \sqrt {{{\left[ { - 3 - 1} \right]}^2} + {{\left[ {5 - 3} \right]}^2}} \] \[ = 2\sqrt 5 \]
Đường tròn đường kính AB có tâm \[I\left[ { - 1;4} \right]\] bán kính \[R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{2\sqrt 5 }}{2} = \sqrt 5 \] nên có phương trình:
\[{\left[ {x + 1} \right]^2} + {\left[ {y - 4} \right]^2} = {\left[ {\sqrt 5 } \right]^2}\] hay \[{\left[ {x + 1} \right]^2} + {\left[ {y - 4} \right]^2} = 5\]
Chọn D
Câu 2 [TH]:
Phương pháp:
Phương trình \[{x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\] là phương trình đường tròn \[ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - c > 0\].
Cách giải:
\[{x^2} + {y^2} + 2mx - 4[m + 1]y\]\[ + 4{m^2} + 5m + 2 = 0\] [1]
Có \[a = - m,b = 2\left[ {m + 1} \right],\] \[c = 4{m^2} + 5m + 2\]
[1] là phương trình đường tròn
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - c > 0\\ \Leftrightarrow {\left[ { - m} \right]^2} + 4{\left[ {m + 1} \right]^2}\\ - \left[ {4{m^2} + 5m + 2} \right] > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 4\left[ {{m^2} + 2m + 1} \right]\\ - 4{m^2} - 5m - 2 > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 4{m^2} + 8m + 4\\ - 4{m^2} - 5m - 2 > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 3m + 2 > 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > - 1\\m < - 2\end{array} \right.\end{array}\]
Chọn C
Câu 3 [VD]:
Phương pháp:
Sử dụng công thức:
\[\begin{array}{l}\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\end{array}\]
Thay vào biểu thức và rút gọn.
Cách giải:
Ta có:
\[\begin{array}{l}P = \frac{{2{{\cos }^2}x - 1}}{{\cos x + \sin x}} = \frac{{\cos 2x}}{{\cos x + \sin x}}\\ = \frac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{\cos x + \sin x}}\\ = \frac{{\left[ {\cos x - \sin x} \right]\left[ {\cos x + \sin x} \right]}}{{\cos x + \sin x}}\\ = \cos x - \sin x\end{array}\]
Chọn C
Câu 4 [TH]:
Phương pháp:
Đường thẳng \[\Delta \] là tiếp tuyến của đường tròn [C] tâm I bán kính R
\[ \Leftrightarrow d\left[ {I,\Delta } \right] = R\]
Cách giải:
Đường tròn \[[C]:{[x + 1]^2} + {[y - 2]^2} = 9\] có tâm \[I\left[ { - 1;2} \right]\] bán kính \[R = 3\].
Đường thẳng \[\Delta \] là tiếp tuyến của đường tròn [C]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow d\left[ {I,\Delta } \right] = R\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {3.\left[ { - 1} \right] + 4.2 - 2m + 4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 3\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {9 - 2m} \right|}}{5} = 3\\ \Leftrightarrow \left| {9 - 2m} \right| = 15\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}9 - 2m = 15\\9 - 2m = - 15\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2m = - 6\\2m = 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 3\\m = 12\end{array} \right.\end{array}\]
Do đó \[S = \left\{ { - 3;12} \right\}\] nên tích cần tìm bằng \[\left[ { - 3} \right].12 = - 36\].
Chọn A
Câu 5 [NB]:
Phương pháp:
Đường tròn \[{x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\] có tâm \[I\left[ {a;b} \right]\] bán kính \[R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \]
Cách giải:
\[[C]:{x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 1 = 0\]
Có \[a = 1,b = - 2,c = 1\] nên đường tròn [C] có tâm \[I\left[ {1; - 2} \right]\] và bán kính \[R = \sqrt {{1^2} + {{\left[ { - 2} \right]}^2} - 1} = 2\]
Chọn C
Câu 6 [TH]:
Phương pháp:
Sử dụng công thức \[{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\] để tính \[{\cos ^2}x\]
Kết hợp điều kiện của \[x\] để suy ra dấu của \[\cos x\] và kết luận.
Cách giải:
Ta có:
\[\begin{array}{l}{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\\ \Rightarrow {\left[ {\frac{1}{3}} \right]^2} + {\cos ^2}x = 1\\ \Rightarrow {\cos ^2}x = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\end{array}\]
Mà \[\frac{\pi }{2} < x < \pi \] nên \[x\] thuộc góc phần tư thứ II
\[ \Rightarrow \cos x < 0\]
Vậy \[\cos x = - \sqrt {\frac{8}{9}} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\]
Chọn D
Câu 7 [NB]:
Phương pháp:
Sử dụng các công thức cộng để nhận xét từng mệnh đề.
Cách giải:
Ta có:
\[\sin [a + b]\] \[ = \sin a\cos b + \sin b\cos a\] nên mệnh đề 1 đúng.
\[\sin [a - b]\] \[ = \sin a\cos b - \sin b\cos a\]\[ \ne \sin b\cos a - \sin a\cos b\] nên mệnh đề 2 sai.
\[\cos [a - b]\] \[ = \cos a\cos b + \sin a\sin b\] \[ \ne \cos a\cos b - \sin a\sin b\] nên mệnh đề 3 sai
\[\cos [a + b]\] \[ = \cos a\cos b - \sin a\sin b\] \[ \ne \cos a\cos b + \sin a\sin b\] nên mệnh đề 4 sai.
Vậy có tất cả 1 mệnh đề đúng.
Chọn B
Câu 8 [VD]:
Phương pháp:
Bình phương đẳng thức đã cho, sử dụng các công thức:
\[\begin{array}{l}{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\\\sin 2x = 2\sin x\cos x\end{array}\]
Cách giải:
Ta có:
\[\begin{array}{l}\sin x + \cos x = - \frac{1}{2}\\ \Rightarrow {\left[ {\sin x + \cos x} \right]^2} = \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2\sin x\cos x = \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow 1 + 2\sin x\cos x = \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow 1 + \sin 2x = \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow \sin 2x = \frac{1}{4} - 1 = - \frac{3}{4}\\ \Rightarrow \sin 2x = - \frac{3}{4}\end{array}\]
Chọn A
Câu 9 [TH]:
Phương pháp:
- Chia cả tử và mẫu của Q cho \[\cos x\] để làm xuất hiện \[\tan x\].
- Thay \[\tan x = 5\] vào tính giá trị của Q.
Cách giải:
\[\begin{array}{l}Q = \frac{{3\sin x - 4\cos x}}{{\cos x + 2\sin x}}\\ = \frac{{\frac{{3\sin x - 4\cos x}}{{\cos x}}}}{{\frac{{\cos x + 2\sin x}}{{\cos x}}}}\\ = \frac{{3.\frac{{\sin x}}{{\cos x}} - 4.\frac{{\cos x}}{{\cos x}}}}{{\frac{{\cos x}}{{\cos x}} + 2.\frac{{\sin x}}{{\cos x}}}}\\ = \frac{{3\tan x - 4}}{{1 + 2\tan x}}\end{array}\]
Thay \[\tan x = 5\] ta được:
\[Q = \frac{{3.5 - 4}}{{1 + 2.5}} = 1\]
Chọn A
Chú ý:
Có thể làm cách khác như sau:
\[\begin{array}{l}\tan x = 5 \Rightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = 5\\ \Rightarrow \sin x = 5\cos x\\ \Rightarrow Q = \frac{{3\sin x - 4\cos x}}{{\cos x + 2\sin x}}\\ = \frac{{3.5\cos x - 4\cos x}}{{\cos x + 2.5\cos x}}\\ = \frac{{11\cos x}}{{11\cos x}} = 1\end{array}\]
Câu 10 [NB]:
Phương pháp:
Elip \[\left[ E \right]:\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\] có tiêu cự \[2c\] với \[c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \].
Cách giải:
\[\begin{array}{l}[E]:\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\\ \Rightarrow {a^2} = 25,\,\,\,{b^2} = 9\\ \Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2} = 25 - 9 = 16\\ \Rightarrow c = 4\end{array}\]
Vậy tiêu cự là \[2c = 2.4 = 8\].
Chọn B
Câu 11 [VD]:
Phương pháp:
Gọi \[M\left[ {x;y} \right]\] thay và đẳng thức bài cho tìm mối quan hệ giữa \[x\] và \[y\].
Từ đó suy ra tập hợp điểm M.
Cách giải:
Gọi \[M\left[ {x;y} \right]\] ta có:
\[AM = \sqrt {{{\left[ {x - 2} \right]}^2} + {{\left[ {y - 0} \right]}^2}} \] \[ = \sqrt {{{\left[ {x - 2} \right]}^2} + {y^2}} \]
\[ \Rightarrow M{A^2} = A{M^2} = {\left[ {x - 2} \right]^2} + {y^2}\]
\[BM = \sqrt {{{\left[ {x - 0} \right]}^2} + {{\left[ {y - 2} \right]}^2}} \] \[ = \sqrt {{x^2} + {{\left[ {y - 2} \right]}^2}} \]
\[ \Rightarrow M{B^2} = B{M^2} = {x^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2}\]
Do đó,
\[\begin{array}{l}M{A^2} + M{B^2} = 12\\ \Leftrightarrow {\left[ {x - 2} \right]^2} + {y^2}\\ + {x^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} = 12\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 + {y^2}\\ + {x^2} + {y^2} - 4y + 4 = 12\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 2{y^2} - 4x - 4y - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 2y - 2 = 0\end{array}\]
Dễ thấy, phương trình trên là phương trình đường tròn có tâm \[I\left[ {1;1} \right]\] và bán kính \[R = \sqrt {{1^2} + {1^2} - \left[ { - 2} \right]} = 2\].
Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn \[M{A^2} + M{B^2} = 12\] là đường tròn tâm \[I\left[ {1;1} \right]\] và bán kính \[R = 2\].
Chọn D
Câu 12 [VD]:
Phương pháp:
Bình phương mỗi đẳng thức đã cho và cộng vế với vế các đẳng thức có được.
Chú ý: \[\cos \left[ {x + y} \right]\] \[ = \cos x\cos y - \sin x\sin y\]
Cách giải:
Ta có:
\[\begin{array}{l}\sin x + \sin y = \sqrt 3 \\ \Rightarrow {\left[ {\sin x + \sin y} \right]^2} = {\left[ {\sqrt 3 } \right]^2}\end{array}\]
\[ \Rightarrow {\sin ^2}x + 2\sin x\sin y + {\sin ^2}y\]\[ = 3\] [1]
\[\begin{array}{l}\cos x - \cos y = 1\\ \Rightarrow {\left[ {\cos x - \cos y} \right]^2} = {1^2}\end{array}\]
\[ \Rightarrow {\cos ^2}x - 2\cos x\cos y + {\cos ^2}y\] \[ = 1\] [2]
Lấy [1] cộng [2] vế với vế ta được:
Chọn B
PHẦN II: TỰ LUẬN
Câu 1 [VD]:
Phương pháp:
1. Sử dụng \[\sqrt {f\left[ x \right]} = g\left[ x \right] \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left[ x \right] \ge 0\\f\left[ x \right] = {\left[ {g\left[ x \right]} \right]^2}\end{array} \right.\]
2. Sử dụng \[\sqrt {f\left[ x \right]} \le g\left[ x \right] \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left[ x \right] \ge 0\\f\left[ x \right] \ge 0\\f\left[ x \right] \le {\left[ {g\left[ x \right]} \right]^2}\end{array} \right.\]
Cách giải:
1. Giải phương trình \[\sqrt {{x^2} - 2x + 6} = 2x - 1\].
Ta có: \[\sqrt {{x^2} - 2x + 6} = 2x - 1\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 1 \ge 0\\{x^2} - 2x + 6 = {\left[ {2x - 1} \right]^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{2}\\{x^2} - 2x + 6 = 4{x^2} - 4x + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{2}\\3{x^2} - 2x - 5 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = \frac{5}{3}\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Rightarrow x = \frac{5}{3}\end{array}\]
Vậy phương trình có nghiệm \[x = \frac{5}{3}.\]
2. Giải bất phương trình \[\sqrt { - {x^2} + 3x + 4} \le x + 1\].
Ta có: \[\sqrt { - {x^2} + 3x + 4} \le x + 1\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\ - {x^2} + 3x + 4 \ge 0\\ - {x^2} + 3x + 4 \le {\left[ {x + 1} \right]^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\ - \left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 4} \right] \ge 0\\ - {x^2} + 3x + 4 \le {x^2} + 2x + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\\left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 4} \right] \le 0\\2{x^2} - x - 3 \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\ - 1 \le x \le 4\\\left[ {2x - 3} \right]\left[ {x + 1} \right] \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 4\\\left[ \begin{array}{l}x \ge \frac{3}{2}\\x \le - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Rightarrow \frac{3}{2} \le x \le 4\end{array}\]
Vậy bất phương trình có tập nghiệm \[S = \left[ {\frac{3}{2};4} \right]\]
Câu 2 [VD]:
Phương pháp:
1. Sử dụng \[1 + {\tan ^2}a = \frac{1}{{{{\cos }^2}a}};\] \[\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1\]
2. Sử dụng \[A + B + C = {180^0};\] \[\sin \alpha = \sin \left[ {{{180}^0} - \alpha } \right];\] \[\cos \alpha = \cos \left[ { - \alpha } \right];\] \[\cos \alpha = \sin \left[ {{{90}^0} - \alpha } \right]\].
Cách giải:
1. Cho biết \[\frac{\pi }{2} < a < \pi \] và \[\tan a = - 2\]. Tính \[\cos a\] và \[\cos 2a\].
Ta có:
\[\begin{array}{l}1 + {\tan ^2}a = \frac{1}{{{{\cos }^2}a}}\\ \Leftrightarrow 1 + {\left[ { - 2} \right]^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}a}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}a}} = 5\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}a = \frac{1}{5}\end{array}\]
\[ \Rightarrow \cos a = - \frac{1}{{\sqrt 5 }}\] [vì \[\frac{\pi }{2} < a < \pi \]]
Lại có: \[\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1\] \[ = 2.{\left[ { - \frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right]^2} - 1\] \[ = \frac{2}{5} - 1 = \frac{{ - 3}}{5}\]
Vậy \[\cos a = - \frac{1}{{\sqrt 5 }};\] \[\cos 2a = \frac{{ - 3}}{5}\].
2. Cho tam giác \[ABC\]. Chứng minh rằng \[\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C\]\[ = 4\sin A\sin B\sin C\].
Ta có: \[\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C\]
\[\begin{array}{l} = 2\sin \frac{{2A + 2B}}{2}\cos \frac{{2A - 2B}}{2} + \sin 2C\\ = 2\sin \left[ {A + B} \right]\cos \left[ {A - B} \right] + 2\sin C\cos C\end{array}\]
\[ = 2\sin \left[ {{{180}^0} - \left[ {A + B} \right]} \right]\cos \left[ {A - B} \right]\]\[ + 2\sin C\cos C\]
\[ = 2\sin C.\cos \left[ {A - B} \right]\] \[ + 2\sin C\cos C\]
\[ = 2\sin C\left[ {\cos \left[ {A - B} \right] + \cos C} \right]\]
\[ = 2\sin C.2\cos \frac{{A - B + C}}{2}.\cos \frac{{A - B - C}}{2}\]
\[ = 4\sin C.\cos \frac{{A + C - B}}{2}.\cos \frac{{B + C - A}}{2}\]
Ta có: \[\cos \frac{{A + C - B}}{2} = \sin \left[ {{{90}^0} - \frac{{A + C - B}}{2}} \right]\] \[ = \sin \left[ {\frac{{A + B + C}}{2} - \frac{{A + C - B}}{2}} \right]\]\[ = \sin B\] [do \[A + B + C = {180^0}\] ]
\[\cos \frac{{B + C - A}}{2} = \sin \left[ {{{90}^0} - \frac{{B + C - A}}{2}} \right]\] \[ = \sin \left[ {\frac{{A + B + C}}{2} - \frac{{B + C - A}}{2}} \right]\]\[ = \sin A\] [do \[A + B + C = {180^0}\] ]
Từ đó ta có: \[4\sin C.\cos \frac{{A + C - B}}{2}.\cos \frac{{B + C - A}}{2}\]\[ = 4\sin A\sin B\sin C\]
Hay \[\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4\sin A\sin B\sin C\].
Câu 3 [VD]:
Phương pháp:
1. a] Viết phương trình tiếp tuyến đi qua \[A\] và vuông góc với \[AI\] [\[I\] là tâm đường tròn \[\left[ C \right]\]]
Đường thẳng đi qua \[M\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\] và có 1 VTPT \[\overrightarrow n = \left[ {a;b} \right]\left[ {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right]\] có phương trình: \[a\left[ {x - {x_0}} \right] + b\left[ {y - {y_0}} \right] = 0\]
b] Xác định được phương trình đường thẳng \[\Delta :3x - 4y + c = 0\left[ {c \ne - 2} \right]\]
Sử dụng công thức tính khoảng cách từ \[M\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\] đến đường thẳng \[\Delta :ax + by + c = 0\] là: \[d\left[ {M;\Delta } \right] = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\]
2. Sử dụng Elip \[\left[ E \right]:\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\] có \[{b^2} + {c^2} = {a^2}\] và hai tiêu điểm \[{F_1}\left[ { - c;0} \right],{F_2}\left[ {c;0} \right]\]
Với \[M \in \left[ E \right]\] thì \[M{F_1} + M{F_2} = 2a.\]
Cách giải:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn [C]: \[{x^2} + {y^2} - 6x + 4y - 12 = 0\].
a] Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn [C] tại điểm \[A[ - 1;1]\].
Xét đường tròn \[{x^2} + {y^2} - 6x + 4y - 12 = 0\] có tâm \[I\left[ {3; - 2} \right]\] và bán kính \[R = \sqrt {{3^2} + {{\left[ { - 2} \right]}^2} - \left[ { - 12} \right]} \] \[ = 5\]
Tiếp tuyến tại điểm \[A\left[ { - 1;1} \right]\] vuông góc với \[AI\] nên nhận \[\overrightarrow {AI} = \left[ {4; - 3} \right]\] làm véc tơ pháp tuyến
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \[4\left[ {x + 1} \right] - 3\left[ {y - 1} \right] = 0\] \[ \Leftrightarrow 4x - 3y + 7 = 0\]
b] Viết phương trình đường thẳng \[\Delta \] song song với đường thẳng \[d:3x - 4y - 2 = 0\] và cắt đường tròn [C] tại hai điểm \[A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\] sao cho độ dài đoạn thẳng \[AB = 8\].
Vì \[\Delta //d:3x - 4y - 2 = 0\] nên phương trình đường thẳng \[\Delta :3x - 4y + c = 0\left[ {c \ne - 2} \right]\]
Gọi \[H\] là trung điểm của dây \[AB \Rightarrow IH \bot AB\]
Ta có: \[IA = R = 5;\] \[HA = \frac{{AB}}{2} = 4\]
Xét tam giác vuông \[AIH\], theo định lý Pytago ta có: \[IH = \sqrt {I{A^2} - A{H^2}} \] \[ = \sqrt {{5^2} - {4^2}} = 3\]
Suy ra \[d\left[ {I;\Delta } \right] = 3\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\left| {3.3 - 4.\left[ { - 2} \right] + c} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left[ { - 4} \right]}^2}} }} = 3\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {17 + c} \right|}}{5} = 3\\ \Leftrightarrow \left| {17 + c} \right| = 15\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}17 + c = 15\\17 + c = - 15\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = - 2\left[ {ktm} \right]\\c = - 32\left[ {tm} \right]\end{array} \right.\end{array}\]
Vậy phương trình đường thẳng \[\Delta :3x - 4y - 32 = 0\].
2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip \[[E]:\;\;\frac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1\]. Gọi \[{F_1},{F_2}\] là hai tiêu điểm của \[[E]\] và điểm \[M \in [E]\] sao cho \[M{F_1} \bot M{F_2}\]. Tính \[MF_1^2 + MF_2^2\] và diện tích \[\Delta \;M{F_1}{F_2}\].
Xét \[[E]:\;\;\frac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1\] có \[a = 2;b = 1\] \[ \Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2}\] \[ = 4 - 1 = 3\] \[ \Rightarrow c = \sqrt 3 \]
Hai tiêu điểm của \[\left[ E \right]\] là \[{F_1}\left[ { - \sqrt 3 ;0} \right],{F_2}\left[ {\sqrt 3 ;0} \right]\] \[ \Rightarrow {F_1}{F_2} = 2\sqrt 3 \]
Xét \[\Delta {F_1}M{F_2}\] vuông tại \[M\] [do \[M{F_1} \bot M{F_2}\]], theo định lý Pytago ta có: \[MF_1^2 + MF_2^2 = {F_1}F_2^2\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow MF_1^2 + MF_2^2 = {\left[ {2\sqrt 3 } \right]^2}\\ \Leftrightarrow MF_1^2 + MF_2^2 = 12\end{array}\]
Ta có: \[M{F_1} + M{F_2} = 2a = 4\] và \[MF_1^2 + MF_2^2 = 12\]
Do đó:
\[\begin{array}{l}{\left[ {M{F_1} + M{F_2}} \right]^2} = 16\\ \Leftrightarrow MF_1^2 + MF_2^2 + 2M{F_1}.M{F_2} = 16\\ \Leftrightarrow 12 + 2.M{F_1}.M{F_2} = 16\\ \Leftrightarrow M{F_1}.M{F_2} = 2\end{array}\]
Vì tam giác \[M{F_1}{F_2}\] vuông tại \[M\] nên \[{S_{M{F_1}{F_2}}} = \frac{1}{2}M{F_1}.M{F_2}\] \[ = \frac{1}{2}.2 = 1\] [đơn vị diện tích]
Câu 4 [VDC]:
Cho tam giác \[ABC\] có số đo ba góc là \[A,B,C\] thỏa mãn điều kiện
\[\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} = \sqrt 3 \].
Chứng minh rằng tam giác \[ABC\] là tam giác đều.
Phương pháp:
- Chứng minh \[\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2}\] \[ + \tan \frac{C}{2}\tan \frac{A}{2} = 1\]
- Chứng minh và sử dụng bất đẳng thức \[{\left[ {a + b + c} \right]^2} \ge 3\left[ {ab + bc + ca} \right]\]
Cách giải:
*] Trước hết ta chứng minh:
\[\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2}\] \[ + \tan \frac{C}{2}\tan \frac{A}{2} = 1\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}A + B + C = \pi \Rightarrow \frac{{A + B + C}}{2} = \frac{\pi }{2}\\ \Rightarrow \frac{{A + B}}{2} = \frac{\pi }{2} - \frac{C}{2}\\ \Rightarrow \tan \frac{{A + B}}{2} = \tan \left[ {\frac{\pi }{2} - \frac{C}{2}} \right]\\ \Leftrightarrow \tan \left[ {\frac{A}{2} + \frac{B}{2}} \right] = \cot \frac{C}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{{\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}}}{{1 - \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}}} = \frac{1}{{\tan \frac{C}{2}}}\end{array}\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ {\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}} \right]\tan \frac{C}{2}\\ = 1 - \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}\\ \Leftrightarrow \tan \frac{A}{2}\tan \frac{C}{2} + \tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2}\\ = 1 - \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}\\ \Leftrightarrow \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2}\\ + \tan \frac{C}{2}\tan \frac{A}{2} = 1\end{array}\]
*] Chứng minh bất đẳng thức \[{\left[ {a + b + c} \right]^2} \ge 3\left[ {ab + bc + ca} \right]\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}{\left[ {a + b + c} \right]^2} \ge 3\left[ {ab + bc + ca} \right]\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca\\ \ge 3ab + 3bc + 3ca\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca \ge 0\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ca \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right] + \left[ {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right]\\ + \left[ {{c^2} - 2ca + {a^2}} \right] \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {a - b} \right]^2} + {\left[ {b - c} \right]^2} + {\left[ {c - a} \right]^2} \ge 0\end{array}\]
[BĐT cuối luôn đúng do \[\left\{ \begin{array}{l}{\left[ {a - b} \right]^2} \ge 0\\{\left[ {b - c} \right]^2} \ge 0\\{\left[ {c - a} \right]^2} \ge 0\end{array} \right.\]]
Áp dụng bđt vừa chứng minh với \[a = \tan \frac{A}{2},b = \tan \frac{B}{2},\] \[c = \tan \frac{C}{2}\] ta được:
\[\begin{array}{l}{\left[ {\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}} \right]^2}\\ \ge 3\left[ {\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2}\tan \frac{A}{2}} \right]\\ = 3.1 = 3\\ \Rightarrow {\left[ {\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}} \right]^2} \ge 3\\ \Rightarrow \tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} \ge \sqrt 3 \end{array}\]
Đẳng thức xảy ra khi \[\tan \frac{A}{2} = \tan \frac{B}{2} = \tan \frac{C}{2}\] hay \[A = B = C = \frac{\pi }{3}\].
Vậy tam giác ABC đều [đpcm].