- Chứng minh \[\widehat {LBH},\widehat {LIH},\widehat {KIH}\] và \[\widehat {KCH}\] là 4 góc bằng nhau.
- Chứng minh KB là tia phân giác của \[\widehat {LKI}\].
Giải
Vì ∆ABC là tam giác nhọn nên ba đường cao cắt nhau tại điểm H nằm trong tam giác ABC.
- Tứ giác AKHL có \[\widehat {AKH} + \widehat {ALH} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \]
Tứ giác AKHL nội tiếp.
Tứ giác BIHL có \[\widehat {BIH} + \widehat {BLH} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \]
Tứ giác BIHL nội tiếp.
Tứ giác CIHK có \[\widehat {CIH} + \widehat {CKH} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \]
Tứ giác CIHK nội tiếp.
Tứ giác ABIK có \[\widehat {AKB} = 90^\circ;\widehat {AIB} = 90^\circ \]
K và I nhìn đoạn AB dưới một góc vuông nên tứ giác ABIK nội tiếp. Tứ giác BCKL có \[\widehat {BKC} = 90^\circ;\widehat {BLC} = 90^\circ \]
K và L nhìn đoạn BC dưới một góc vuông nên tứ giác BCKL nội tiếp.
Tứ giác ACIL có \[\widehat {AIC} = 90^\circ;\widehat {ALC} = 90^\circ \]
I và L nhìn đoạn AC dưới một góc vuông nên tứ giác ACIL nội tiếp.
- Tứ giác BIHL nội tiếp.
\[ \Rightarrow \widehat {LBH} = \widehat {LIH}\] [2 góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ \[\overparen{LH}\]] [1]
Tứ giác CIHK nội tiếp.
\[ \Rightarrow \widehat {HIK} = \widehat {HCK}\] [2 góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ \[\overparen{HK}\]] [2]
Tứ giác BCKL nội tiếp.
\[ \Rightarrow \widehat {LBK} = \widehat {LCK}\] [2 góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ \[\overparen{LK}\]] hay \[\widehat {LBH} = \widehat {HCK}\] [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra: \[\widehat {LKH} = \widehat {HKI}\]. Vậy KB là tia phân giác của \[\widehat {LKI}.\]
Câu 7.2 trang 107 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 2
Cho đường tròn tâm O bán kính R và hai dây AB, CD bất kì. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Gọi E và F tương ứng là giao điểm của MC, MD với dây AB. Gọi I và J tương ứng là giao điểm của DE, CF với đường tròn [O]. Chứng minh IJ song song với AB.
Giải
M là điểm chính giữa của cung nhỏ \[\overparen{AB}\].
\[\overparen{MA}\] = \[\overparen{MB}\]
\[\widehat {AEC} = {1 \over 2}\] [sđ\[\overparen{AC}\] +sđ \[\overparen{MB}\]] [góc có đỉnh ở trong đường tròn]
\[\widehat {CDM} = {1 \over 2}\] sđ\[\overparen{MAC}\] [tính chất góc nội tiếp] hay \[\widehat {CDF} = {1 \over 2}\] sđ\[\overparen{MA}\] + sđ\[\overparen{AC}\]
Suy ra: \[\widehat {AEC} = \widehat {CDF}\]
\[\widehat {AEC} + \widehat {{\rm{CEF}}} = 180^\circ \] [hai góc kề bù]
Suy ra: \[\widehat {CDF} + \widehat {{\rm{CEF}}} = 180^\circ \] nên tứ giác CDFE nội tiếp
\[ \Rightarrow \widehat {CDE} = \widehat {CFE}\] [2 góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ \[\overparen{CE}\]] hay \[\widehat {CDI} = \widehat {CFE}\]
Cho đường tròn tâm \[O\] bán kính \[R\] và hai dây \[AB,\] \[CD\] bất kì. Gọi \[M\] là điểm chính giữa của cung nhỏ \[AB.\] Gọi \[E\] và \[F\] tương ứng là giao điểm của \[MC,\] \[MD\] với dây \[AB.\] Gọi \[I\] và \[J\] tương ứng là giao điểm của \[DE,\] \[CF\] với đường tròn \[[O].\] Chứng minh \[IJ\] song song với \[AB.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+] Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng \[180^\circ\] thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
+] Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.
+] Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
+] Nếu \[C\] là một điểm trên cung \[AB\] thì: \[sđ \overparen{AB}=sđ \overparen{AC}+sđ \overparen{CB}.\]
+] Trong một đường tròn, các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Xét đường tròn \[[O]\] có \[M\] là điểm chính giữa của cung nhỏ \[\overparen{AB}\].
Suy ra \[\overparen{MA}\] = \[\overparen{MB}\]
Lại có: \[\widehat {AEC} = \displaystyle {1 \over 2} [sđ\overparen{AC} +sđ \overparen{MB}\]] [góc có đỉnh ở trong đường tròn]
\[\widehat {CDM} = \displaystyle {1 \over 2} sđ\overparen{MAC}\] [tính chất góc nội tiếp] hay \[\widehat {CDF} = \displaystyle {1 \over 2} [sđ\overparen{MA} + sđ\overparen{AC}]\]\[=\displaystyle {1 \over 2} [sđ\overparen{AC} +sđ \overparen{MB}]\]
Suy ra: \[\widehat {AEC} = \widehat {CDF}\]
Ta có: \[\widehat {AEC} + \widehat {{\rm{CEF}}} = 180^\circ \] [hai góc kề bù]
Suy ra: \[\widehat {CDF} + \widehat {{\rm{CEF}}} = 180^\circ \] nên tứ giác \[CDFE\] nội tiếp
\[ \Rightarrow \widehat {CDE} = \widehat {CFE}\] [\[2\] góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ \[\overparen{CE}\]] hay \[\widehat {CDI} = \widehat {CFE}\]