Ví dụ 17. Cho hệ phương trình
a] Không giải hệ phương trình, cho biết với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
b] Giải và biện luận hệ phương trình trên.
Giải
a] Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi
ab’ – a’b ≠ 0 1.1 – m.m ≠ 0 1 – ≠ 0 m ≠ ± 1.
Với m ≠ ± 1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
b] Rút x từ [1] ta được x = m + 1 – my.
Thay biểu thức của x vào [2] :
m[m + 1 – my] + y = 3m – 1 +m – y + y = 3m – 1
y – y = + 2m – 1 [1 – ]y = .
Nếu m ≠ ± 1 thì
Nếu m = 1 thì hệ phương trình đã cho trở thành
Nếu m = -1 thì hệ đã cho trở thành
Kết luận :
– Nếu m ≠ ± 1, hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
– Nếu m = 1, hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm ; x bất kì, y = 2 – x.
– Nếu m = -1, hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
BÀI TẬP
80. Giải các hệ phương trình:
81. Cho hệ phương trình:
Xác định các hệ số a và b để hệ phương trình có nghiệm x = 3, y = -2.
82. Cho hai đường thẳng:
2x – y = -6 và x + y = 3.
a] Tìm toạ độ giao điểm M của hai đường thẳng.
b] Gọi giao điểm của hai đường thẳng trên với trục hoành theo thứ tự là A và B. Tính diện tích tam giác MAB.
83. Lập phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng 2x – 3y = 8 ; 5x + 4y = -3 và song song với đường thẳng y = 2x – 1.
84. Xác định các hệ số a và b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm M[3 ; 5] và N[-1 ; -7]. Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng vừa tìm được với các trục toạ độ.
85. Xác định giá trị của a để các đường thẳng sau đồng quy :
y = ax, y = 3x – 10 và 2x + 3y = -8.
86. Cho ba điểm A[3 ; 5], B[-1 ; -7], C[1 ; -1]. Chứng minh rằng ba điểm A,
B, C thẳng hàng.
87. Cho bốn điểm A[-1 ; 1], B[3 ; 2], C[2 ; -1], D[-2 ; -2].
a] Lập phương trình các đường thẳng AB, BC, CD, DA.
b] Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành.
88. Tìm giá trị của a để hệ phương trình sau có nghiệm dương :
89.
Tìm giá trị của m để giao điểm của hai đường thẳng mx – y = 2, 3x + my = 5 nằm trong góc vuông phần tư IV. [Các góc vuông phần tư I, II, III, IV được kí hiệu như trên hình 3].
Hình 3
90. Tìm giá trị nguyên của m để giao điểm của các đường thẳng mx – 2y = 3 và 3x + my = 4 nằm trong góc vuông phần tư IV.
91. Giải và biện luận hệ phương trình
92. Tìm giá trị của m để hệ phương trình
vô nghiệm, vô số nghiệm.
93.
Tìm giá trị của m để các đường thẳng
[d1] : mx + [m – 1]y = 3m + 4
[d2] : 2mx + [m+ 1]y = m- 4
a] Cắt nhau ; b] Song song ; c] Trùng nhau.
94. Giải hệ phương trình:
95.
Tìm nghiệm nguyên dương của các phương trình :
a] [3x – y][5x + 3y] =11; b] [x + 2y][3x + 4y] = 96.
96*. Viết số 100 thành tổng các số nguyên dương liên tiếp.
97*. Viết số 117 thành tổng các số nguyên dương lẻ liên tiếp.
Giải các hệ phương trình [từ bài 98 đến 108] :
Xem hướng dẫn giải tại đây.