Khi R đạt giá trị nhỏ nhất khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P bằng)

Mặt cầu \[\left[ S \right]\] có tâm \[I\left[ 3;-2;1 \right]\]; có bán kính \[R=5\sqrt{3}\].

Gọi \[M\left[ {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right]\] là điểm cố định mà mặt phẳng \[\left[ P \right]\] luôn đi qua. Ta có

\[\left[ {{m}^{2}}+2m \right]{{x}_{0}}-\left[ {{m}^{2}}+4m-1 \right]{{y}_{0}}+2[3m-1]{{z}_{0}}+{{m}^{2}}+1=0\,\forall m\]

\[\Leftrightarrow \left[ {{x}_{0}}-{{y}_{0}}+1 \right]{{m}^{2}}+\left[ 2{{x}_{0}}-4{{y}_{0}}+6{{z}_{0}} \right]m+{{y}_{0}}-2{{z}_{0}}+1=0\,\forall m\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_0} {y_0} + 1 = 0}\\
{2{x_0} 4{y_0} + 6{z_0}}\\
{{y_0} 2{z_0} + 1 = 0}
\end{array} = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_0} = 2}\\
{{y_0} = 1 \Rightarrow M[ 2; 1;0]}\\
{{z_0} = 0}
\end{array}} \right.} \right.\]

Ta có \[IM=3\sqrt{3}

Ta có \[d\left[ A,\left[ P \right] \right]\le R+d\left[ I,\left[ P \right] \right]\le R+IM=5\sqrt{3}+3\sqrt{3}=8\sqrt{3}\].

Trong trường hợp này đường tròn đáy là giao tuyến của \[\left[ P \right]\] và \[\left[ S \right]\] có bán kình \[r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{M}^{2}}}=4\sqrt{3}\].

Khi đó \[{{V}_{N}}=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=128\pi \sqrt{3}\].