\[d[M;\Delta ] = \frac{{\left| {2.1 - 4.2 - 10} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{[ - 4]}^2}} }} = \frac{{16}}{{2\sqrt 5 }} = \frac{{8\sqrt 5 }}{5}\]
Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng cắt nhau là:
A. Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong mặt phẳng
Đây là kiến thức toán thuộc hình học lớp 10 khối THPT
1. Cơ sở lý thuyết
Giả sử phương trình đường thẳng có dạng tổng quát là Δ: Ax + By + C = 0 và điểm N[ x0; y0]. Khi đó khoảng cách từ điểm N đến đường thẳng Δ là:
d[N; Δ] = $\frac{{\left| {A{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$ [1]
Cho điểm M[ xM; yN] và điểm N[ xN; yN] . Khoảng cách hai điểm này là:
MN = $\sqrt {{{\left[ {{x_M} – {x_N}} \right]}^2} + {{\left[ {{y_M} – {y_N}} \right]}^2}} $ [2]
Chú ý: Trong trường hợp đường thẳng Δ chưa viết dưới dạng tổng quát thì đầu tiên ta cần đưa đường thẳng d về dạng tổng quát.
2. Bài tập có lời giải
Bài tập 1. Cho một đường thẳng có phương trình có dạng Δ: – x + 3y + 1 = 0. Hãy tính khoảng cách từ điểm Q [2; 1] tới đường thẳng Δ.
Lời giải chi tiết
Khoảng cách từ điểm Q tới đường thẳng Δ được xác định theo công thức [1]:
d[N; Δ] = $\frac{{\left| { – 1.2 + 3.1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left[ { – 1} \right]}^2} + {3^2}} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{5}$
Bài tập 2. Khoảng cách từ điểm P[1; 1] đến đường thẳng Δ: $\frac{x}{3} – \frac{y}{2} = 5$
Lời giải chi tiết
Ta đưa phương trình $\frac{x}{3} – \frac{y}{2} = 5$ 2x – 3y = 30 2x – 3y – 30 = 0 [*]
Phương trình [*] là dạng tổng quát.
Khoảng cách từ điểm P[1; 1] đến đường thẳng Δ dựa theo công thức [1]. Thay số:
d[P; Δ] = $\frac{{\left| {2.1 + \left[ { – 3} \right].1 – 30} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left[ { – 3} \right]}^2}} }}$ = 8,6
Bài tập 3. Khoảng cách từ điểm P[1; 3] đến đường thẳng Δ: $\left\{ \begin{array}{l} x = 2t + 3\\ y = 3t + 1 \end{array} \right.$
Lời giải chi tiết
Xét phương trình đường thẳng Δ, thấy:
- Đường thẳng Δ đi qua điểm Q[ 3; 1]
- Vecto chỉ phương là $\overrightarrow u $ = [ 2; 3 ] nên vecto pháp tuyến là $\overrightarrow n $ = [ 3; – 2 ]
Phương trình Δ đưa về dạng tổng quát: 3[x – 3] – 2[y – 1] = 0 3x – 2y – 7 = 0
Khoảng cách từ điểm P[1; 3] đến đường thẳng Δ: d[P; Δ] = $\frac{{\left| {3.1 + \left[ { – 2} \right].3 – 7} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left[ { – 2} \right]}^2}} }}$ = 2,77
B. Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong không gian Oxyz
Đây là kiến thức hình học không gian thuộc toán học lớp 12 khối THPT:
1. Cơ sở lý thuyết
Giả sử đường thẳng Δ có phương trình dạng Ax + By + Cz + d = 0 và điểm N[ xN; yN; zN]. Hãy xác định khoảng cách từ N tới Δ?
Phương pháp
- Bước 1. Tìm điểm M[ x0; y0; z0] ∈ Δ
- Bước 2: Tìm vecto chỉ phương ${\overrightarrow u }$ của Δ
- Bước 3: Vận dụng công thức d[N; Δ] = $\frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}$
2. Bài tập có lời giải
Bài tập 1. Một điểm A[1;1;1] không thuộc đường thẳng Δ: $\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}$. Hãy tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.
Lời giải chi tiết
Từ phương trình đường thẳng Δ ta suy ra vecto chỉ phương: ${\vec u_\Delta }$ = [1;2;1]
Lấy điểm B[ 0; 1; -1]∈ Δ => $\overrightarrow {AB} $ = [ – 1;0; – 2] => $[\overrightarrow {AB} ,\vec u]$ = [4; – 1; – 2].
Khi này: d[A; Δ] = $\frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\vec u} \right]} \right|}}{{|\vec u|}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}.$
Bài tập 2. Xét một hệ trục tọa độ Oxyz có đường thẳng Δ: $\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}$ và 1 điểm có toạn độ A[1; 1; 1]. Gọi M là điểm sao cho M ∈ Δ. Tìm giá trị nhỏ nhất của AM?
Lời giải chi tiết
Khoảng cách AM nhỏ nhất khi AM ⊥ Δ => $A{M_{\min }} = d[A;\Delta ].$
Đường thẳng Δ: $\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}$ => vtcp ${\vec u_\Delta }$ = [1;2;1].
Lấy điểm B[ 0; 1; -1]∈ Δ => $\overrightarrow {AB} $ = [ – 1;0; – 2] => $[\overrightarrow {AB} ,\vec u]$ = [4; – 1; – 2].
Khi này ta áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: d[A; Δ] = $\frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\vec u} \right]} \right|}}{{|\vec u|}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}$$\Rightarrow A{M_{\min }} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}.$
Bài tập 3. Một đường thằng Δ: $\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}$ và hai điểm M[ 1; 1; 1], N[ 0 ; 1;-1] nằm trong không gian Oxyz. Giả sử hình chiếu của M xuống đường thẳng Δ là P. Hãy tính diện tích của tam giác MPB
Lời giải chi tiết
Từ phương trình đường thẳng Δ: $\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}$ ta suy ra vecto chỉ phương của đường thẳng có dạng ${\vec u_\Delta }$ = [1; 2; 1]
Chọn điểm Q [ 2; 5; 1] ∈ Δ => $\overrightarrow {MQ} $ = [1; 4; 0] => $\left[ {\overrightarrow {MQ} ,\overrightarrow u } \right]$ = [4; -1; – 2].
Lúc đó: d[M; Δ] = $\frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MQ} ,\vec u} \right]} \right|}}{{|\vec u|}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}$
$ \Rightarrow MP = \frac{{\sqrt {14} }}{2}.$
Ta lại thấy N ∈ Δ => ΔMNP vuông tại P => $\sqrt {M{N^2} – M{P^2}} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}$
Vậy $S = \frac{1}{2}MP.PN = \frac{{\sqrt {21} }}{4}.$
Hy vọng rằng bài viết tìm khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng này sẽ giúp ích cho bạn trong học tập cũng như thi cử. Đừng quên truy cập toanhoc.org để có thể cập nhật cho mình thật nhiều tin tức hữu ích nhé.
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.
Nội dung bài viết Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Cho điểm M[x0; y0] và đường thẳng ∆: Ax + By + C = 0. Khi đó, khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ được tính theo công thức d [M, ∆] = |Ax0 + By0 + C| √A2 + B2. BÀI TẬP DẠNG 4. Ví dụ 1. Tìm khoảng cách từ điểm M[1; 2] đến đường thẳng [D]: 4x + 3y − 2 = 0. Áp dụng công thức tính khoảng cách ta có d[M, D] = |4 · 1 + 3 · 2 − 2| √42 + 32 = 85. Ví dụ 2. Tìm những điểm nằm trên đường thẳng ∆: 2x + y − 1 = 0 và có khoảng cách đến [D]: 4x + 3y − 10 = 0 bằng 2. Ví dụ 3. Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm A[1, −3] và có khoảng cách đến điểm M0[2, 4] bằng 1. Lời giải. Giả sử đường thẳng ∆ đi qua điểm A[1; −3] có hệ số góc k. Khi đó phương trình ∆ có dạng: y + 3 = k[x − 1] ⇔ kx − y − k − 3 = 0. Vậy phương trình ∆: 24x − 7y − 45 = 0. Ví dụ 4. Viết phương trình của đường thẳng [D] song song với [D0]: 3x + 4y − 1 = 0 và cách [D0] một đoạn bằng 2. Đường thẳng [D] ∥ [D0] nên phương trình đường thẳng [D]: 3x + 4y + c = 0. Lấy điểm M[−1; 1] ∈ [D0], theo đề ta có: d[D, D0] = d[M, D] = 2 ⇔ | − 3 + 4 + c|5 = 2 ⇔ |c + 1| = 10 ⇔ c = 9, c = −11. Với c = 9 ta có D : 3x + 4y + 9 = 0. Với c = −11 ta có D : 3x + 4y − 11 = 0. Ví dụ 5. Cho điểm A[−1, 2] và hai đường [∆]: x − y − 1 = 0,[∆0]: x + 2y − 5 = 0. Tìm trên đường thẳng [∆] một điểm M sao cho khoảng cách từ M đến [∆0] bằng AM.
Ví dụ 6. Tìm phương trình của đường thẳng cách điểm M[1, 1] một khoảng bằng 2 và cách điểm M0 [2, 3] một khoảng bằng 4. Giả sử phương trình cần tìm là ∆: Ax + By + C = 0. Theo đề ta có: d[M, ∆] = 2 ⇔ |A + B + C| √A2 + B2 = 2 ⇔ |A + B + C| = 2√A2 + B2. Từ [1] và [2] ta có |2A + 3B + C| = 2|A + B + C| ⇔ 2A + 3B + C = 2[A + B + C], 2A + 3B + C = −2[A + B + C] ⇔ B − C = 0, 4A + 5B + 3C = 0. Thay B = C và [1] ta được |A + 2B| = 2√A2 + B2 ⇒ 3A2 − 4BA = 0. Với A = 0, chọn B = C = 1, ta được đường thẳng ∆1: y + 1 = 0. Với A = 4, chọn B = 3 ⇒ A = 4, C = 3. Ta có đường thẳng ∆2 : 4x + 3y + 3 = 0. Giải phương trình bậc hai theo ẩn A, ta có ∆0 = 4B2 − 1020B2 = −1016B2 ≤ 0. Trường hợp B = 0, ta có ∆0 = 0, phương trình có nghiệm kép A = 0, vô lý. Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu.