§5. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA Ẩn ở mau Kiên thức cần nhó Tim diều kiện xác định [ĐKXĐ] cùa phương trình chứa ẩn ở mẩu là tìm các giá trị của an dè tất cá các mầu trong phương trình đềư khác 0. Các bước giúi phương trình chứa tin ờ mầu: + Tun diều kiện xác dinh. -r Quy dồng mầu và khử mẩu. + Giai phương trình vừa nhận dược. + Xem xét các giá trị cứa tin tìm được có ihoá mãn ĐKXĐ không và kết luận về nghiêm cùa phương trình. Ví dụ giải toán Ví du 1. Phương trình ——- = ———- có tâp nghiêm là: 2x-4 2.X-4 Chọn câu trá lời dứng. Giói: D. Ví dụ 2. • Ghcp mỗi phương trình với nghiệm tương ứng Phương trình Nghiệm 1] x-7 3x 3x-4 X2 + 2 X x +1 a] -- ■16 x-4 b] Ví dụ 3. 3x-2 x + 1 3] ±7 1-—7 d] Giải 1] ghép với c];- 2] ghép với a]; 3] ghép với b]. Chái các phương trình sau: a] — 1 —• — -; 2-x x-2 „x + 3 Gi ái , x X3 -[x + 1] 7x -1 X b] ——, 77 = ' ỉ' [4x + 3][x-5] 4,x + 3 x-5 a] 2 - X X - 2 X + 3 Điêu kiện xác đinh X 2; X -3 . Quy dồng mầu số và khu' mầu số: 2+x 3 1-x -x-2 2-x X-2 x + 3 x-2 x-2 x + 3 [-X +1 ][x+3] = [1 - x][x - 2] [-X + l][x +3]-[-x + l][x -2] = 0 [-X +1] [X + 3 - X + 2] = 0 [-X +1] [5] = 0 X = 1. Nghiệm cua phương trình là X = 1. x’-[x + l]’ 7x-l X b] [4x + 3][x-5] 4x + 3 x-5 + ĐKXĐ: X7^5 và X# -- 6x + 1 = 0 [x -3]2 = 8» [thoá mãn] + Quy đồng, khứ mẫu, thu gọn ta có phương trình x = 3-x/8 X-3 + VẼ Vậy phương trình có tập nghiệm S=j3 + V8 ;3-x/Ẽ|; Ví dụ 4. Giải các phương trình sau: 2x2 +5x-12 2x2 +3x-9 2x2 +3x-9’ 2x- X-J Lưu ý : Việc tìm điều kiện để mẫu số khác 0 phức tạp nên ta quy đồng, khử mẫu, thu gọn phương trình tìm giá trị của X, rồi lấy giá trị X làm mẫu số khác 0. 3x-4 2x2 + 5x-12 2x2+3x-9 2x2 +3x-9 =^[2x-3][2x2+3x-9] + [x-1][2x2+5x-12] = [3x-4][2x2+5x-12] »4x3-27x + 27 = [2x-3][2x2+5X-12] 4x3 - 27x + 27 - 4x3 + 4x2 -39x + 36 4x2-12x+ 9 = 0 [2x-3]2 = 0 X = . Thay X = — vào các mẫu số thấy mẫu số 2x +5x-12 bằng 0 nên phương trình vô nghiệm. * x 1 , Ị 9 x-2x + 2 x2-2x + 3 2,[x2-2x + 4] X , ,,11 9 t-1 t 2[t + l] Đặt t = X - 2x + 3 ta có phương trình: ——- + - = »2t[t + l] + 2[t-l][t + l] = 9t[t-l] t-1 t 2[t + l] ĐKXĐ: t 0; t 1; t — 1 119 1 [thoả mãn]. «5r-llt + 2 = 0o[t-2][5t-l] = 0« Với t = 2 thì X" — 2x + 3 = 2 X” — 2x +1 = 0 X = 1. ,' , 1 , „ 14 5 5 Với t = 4 thì X2-2x + 3 = — X2-2x+—= 0 Vậy phương trình có nghiệm X = 1. c. Hưóng dẫn giải các bài tạp trong sách giáo khoa Bài 27. Giíii 2x —5 . — = 3 . Điếu kiện X - 5. X + 5 2x - 5 = 3[x + 5] «> 2x - 5-3x -15 = 0 -x = 20 o X = -20 [thoả mãn]. Tập nghiệm: s = {-20} . x2-6 3 = x + 4-. Điều kiện x^o. = 0 . Điều kiện X 3. c] 2^x2 -ó] = 2x2 +3x 2x2 -12 = 2x2 + 3x X = -4 [thoả mãn]. Tập nghiệm: s = {-4} . íx2+2xj-[3x + 6] X - 3 «[x2 + 2x]-[3x + 6] = 0 x[x + 2]-3[x + 2] = 0 [x + 2][x-3] = 0x + 2 = 0 X = -2 [vì X 3]. Tập nghiệm: s = {-2} . d]- = 2x-l 9 Điều kiện X . ■ o 3x + 2 « 5 = [3x + 2][2x -1] « 5 = 6x2 -3x,+ 4x - 2 « 6x2 + X - 7 = 0 OÓX2-6x + 7x-7 = ó 6x[x-l] +7[x-l] = 0 x-l = o «[x-l][6x + 7] = 0 6x + 7 = 0 7 [thoámãn]. âp nghiêm: s = - — : 1 6 Bài 28. G/í/7 2x-l 1 --—- + 1=—. Điếu kiên X 1. X —1 X —1 2x -1 + [X -1] = 1 3x = 3 X = 1 [loại]. Tập nghiệm s = 0 . —- +1 = — . Điều kiên X + -1. 2x + 2 x + 1 o5x + 2[x + l] = -12 7x=-14 X = -2 [thoá mãn]. Tập nghiệm s = J-2Ị . 1 2 1 X+ — = X +—y. Điều kiện: X * 0. X X Đặt t = X + — ta có phương trình: X t = -l t = 2 t = t2-2 t2 — t-2 = 0 t2 + t -2t-2 = 0.t[t +1]-2[t-F l] = 0 „z. , Ft + 1=0 «.[t+i][t-2]=0«r_‘ • Với t = -1 ta có : x + —= -lx2 + l=-xx2+x + l = 0i X + —ì +4 = 0. X l 2] 4 Phương trình vô nghiệm. • Với t = 2 ta có : X + — = 2x2+l = 2.\x2-2x + l = 0[x-l]2=0 X X = 1 [thoả mãn]. Tạp nghiệm: s = {1}. , X + 3 X - 2 „ , .. , ■' ■-■■ + - = 2. Điều kiện X *-l.x 0. X +1 X « x[x + 3] + [x + l][x-2] = 2x[x + l] X2 + 3x+X2-x-2 = 2x2+ 2x -2 = 0. Phương trình vô nghiệm. Bài 29. Hướng dun : Cà hai lời giai đều sai vì không tính đến điều kiện xác định. Bài 30. Đáp sô a] Vố nghiêm; b] x = 4 ; c] Vô nghiệm; d]x = -—. 56 Bài 31. Giúi ..X 1 3x2 _ 2x , a] — • Điếu kiện X?t-1. X — 1 X -1 X2 + X +1 Khứ mẫu, rứt gọn được [x - l][4x + 1] = 0. Từ đó có tập nghiệm: s = 2 _ 1 ] [x-l][x-2] + [x-3][x-l] _[x-2][x-3] Điều kiện x + 1, X + 2, X + 3 . 3[x-3]+ 2[x-2] = X-1 3x-9 +2x-4 = X -1 4x = 12 x = 3 [loại]. Phương trình vô nghiệm. 1 12 1 H —— = —-—7 . Điểu kiện x^-2. x + 2 8-x3 Khứ mẩu, rút gọn được x[x - 1 ][x + 2] = 0. Do X = -2 [loại] nên tập nghiệm : s = {0:1}. 13 + 1 = 6 [x-3][2x + 7] + 2x + 7 [x-3][x + 3] „ 7 Điéu kiện: X -3:x :x 3 . 2 13[x + 3] + [x-3][x + 3] = 6[2x + 7] 13x+ 39 + X2-9 = 12x+ 42 X2+X-12 = 0 [x + 4][.\-3] = 0 Tập nghiệm: s = {-4} . x +4 = 0 x-3 = 0 x = -4 x = 3 [loại]. Bài 32. ĐỚ/? .sơ; a] x =; b]x = -l. Bài 33. Giải 3a-l a-3 a] 3a + 1 a + 3 Điều kiên: a :a + -3 J [3a-l][a + 3] + [3a + l][a-3] = 2[a + 3][3a + l]' 3a2 +8a-3 + 3a2 -8a-3 = 6a2 + 20a + 6 -20a = 12 o a = ~4 [thoả mãn]. 5 Vậy a = 5 , , 10 3a —1 7a + 2 „ b] — — —- = 2. Điêu kiện: a * -3 4a + 12 6a + 18 10.4[a+ 3]-3[3a-l]-2[7a + 2] = 2.12[a+ 3] 40a +120-9a + 3- 14a-4 = 24a + 72 47 . , , -7a = -47 o a = —- [thoủ mãn]. 7 Vậy a = 47 D. Bài tạp luyện thêm Giái các phương trình sau: 2 + 2x x-5 X +3 X —2 5x + 25 777 + 777 = 77, , —7 ’ x-1 X + 5 X +4x -5 Giải các phương trình sau: 1 2 a ] 7 Ã 7 "l—?— 7 7 X -4x + 5 X — 4x + 6 X -4x + 7 4x 2x X 2x -3x + 6 2X-3X + 7 2x2-3x + 6 Giái phương trình 1 2 3 3 x2-5x + 6 x2-7x + 12 x2-9x + 20 x2-11x + 30 H ướng dẩn - Đáp sô 1. a] Điểu kiện X 1; X '*■ -5 Quy đổng mẫu số và khứ mẫu số: x + 3 , x-2 5x + 25 + ——— — —--■■■■■ - x-1 x + 5 X +4x —5 x = -2 X = 2. [x + 3][x + 5] + [x-2][x-l] = 5x + 25 2x2 = 8« Vậy phương trình có hai nghiệm X = -2; X = 2. Điều kiện X -6; X * 5 Quy đồng mầu số và khứ mẫu số: X - 3 X +1 2 + 2x 7" — X - 5 x+6 x-5 [x-3][x + 6] + [x + l][x-5] = [2 + 2x][x + 6] X2 +3x -18 + X2 -4x-5 = 2x2 +14x + 12 15x = -35 « X = Vậy phương trình có nghiệm X = -2- . 3 12 3 a] - ; X -4x + 5 X -4x + 6 X -4x + 7 2 , r . 1 2 3 Đặt t = X - 4x + 5 la có phương trình: - + —- = —— t t+1 t+2 ĐKXĐ: t^O; t*-2; t^-l.Ta có: 12 3 - +—- = —— t tri t + 2 [t + l][t + 2] + 2t[t + 2] = 3t[t + l] t2 +3t+ 2 + 2t2 +4t = 3t2 + 3t t = Với t = -ị =>x2-4x + 5 = -ị 2 2 2x2 -8x + 11 = 0 2[x-2]2 +3 = 0, vô nghiệm. , ' 4x 2x X 2x-3x + 6 2x2-3x + 7 2x2-3x + 6 4x^2x2 -3x + 7j + 2x^2x2 -3x + ó] = X^2x2 -3x + 7] » x[Sx2-12x + 28 + 4x2-6x + 12-2x2+3x-7] = 0 x[10x2-15x+33] = 0 X .ofx-iUB 4; 8 Tập nghiệm: s = {0}. = 0 X = 0. 1 2 3 1 3 _ _1_ x2-5.x + 6 X2 -7x +12 ' X2-9x + 20 ' x2-11x + 30_8 1 1 1 1 _ 2 [x-2][x-3] + [x-3][x-4] + [x-4][x-5] + [x-5][x-6] “8 Điều kiện: X Ể{2;3;4;5:6}. [x-2][x-3] x-3 x-2; 1 1 Ị_ [x-3][x-4] - x-4 x-3; 1 1 1 [x-4][x-5] x-5 x-4' 1 1 Ị_ [x-5][x -6] X - 6 x-5 = i»8[x-2]-8[x-6] = [x-2][x-6] Do đó ta có phương trình tương đương X - 6 X - 2 8 « X2-8x - 20 = 0 X2 - lOx + 2x - 20 = 0 x = 10 • [x + 2][.x -10] = 0 Vậy phương trình có hai nghiệm X = -2;x = 10 .
Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu một cách nhanh chóng, chính xác không phải học sinh nào cũng dễ dàng nắm bắt. Mặc dù đây là phần kiến thức Đại số 8 vô cùng quan trọng. Bài viết hôm nay, THPT Sóc Trăng sẽ giới thiệu cùng các bạn cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu nhanh nhất và nhiều bài tập ứng dụng khác. Bạn tìm hiểu nhé !
I. LÝ THUYẾT CẦN GHI NHỚ
1. Phương trình chứa ẩn ở mẫu là gì ?
Bạn đang xem: Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu nhanh nhất và bài tập ứng dụng
Phương trình chứa ẩn ở mẫu là phương trình có biểu thức chứa ẩn ở mẫu.
Ví dụ:
2/y+3=0 là phương trình chứa ẩn ở mẫu [ẩn y]
2-4/x2+2x+7=0 là phương trình chứa ẩn ở mẫu [ẩn x]
Ta thấy, việc tìm điều kiện xác định là rất quan trọng trong việc tìm nghiệm của một phương trình. Sau đây, chúng tôi sẽ hướng dẫn phương pháp tìm điều kiện xác định của một phương trình.
2. Tìm điều kiện xác định của một phương trình
Điều kiện xác định của phương trình là tập hợp các giá trị của ẩn làm cho tất cả các mẫu trong phương trình đều khác 0.
Điều kiện xác định của phương trình viết tắt là ĐKXĐ.
Ví dụ: Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau
a] [x – 1]/[x + 2] + 1 = 1/[x – 2].
b] [x – 1]/[1 – 2x] = 1.
Hướng dẫn:
a] Ta thấy x + 2 ≠ 0 khi x ≠ – 2 và x – 2 ≠ 0 khi x ≠ 2.
Do đó ĐKXĐ của phương trình [x – 1]/[x + 2] + 1 = 1/[x – 2] là x ≠ ± 2.
b] Ta thấy 1 – 2x ≠ 0 khi x ≠ 1/2.
Do đó ĐKXĐ của phương trình [x – 1]/[1 – 2x] = 1 là x ≠ 1/2.
II. CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
A. Phương pháp:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định.
Bước 2: Quy đồng, khử mẫu, rút gọn đưa về dạng phương trình bậc hai.
Bước 3: Giải phương trình bậc hai.
Bước 4: So sánh với điều kiện và kết luận.
B. Các ví dụ điển hình
Ví dụ 1: Giải phương trình
Lời giải
Chọn A
Ví dụ 2: Cho phương trình
Lời giải
Chọn D
Ví dụ 3: Giải phương trình
Lời giải
Chọn
III. BÀI TẬP CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
Bài 1:
Giải phương trình
Hướng dẫn:
+ ĐKXĐ: x ≠ 0; x ≠ – 5.
⇒ [2x + 5][x + 5] – 2x2 = 0
⇔ 2x2 + 10x + 5x + 25 – 2x2 = 0 ⇔ 15x = – 25 ⇔ x = – 5/3.
+ So sánh với ĐKXĐ ta thấy x = – 5/3 thỏa mãn điều kiện.
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {- 5/3}.
Bài 2: Giải phương trình
Hướng dẫn:
ĐKXĐ: x ≠ -3 và x ≠ 2
Phương trình tương đương với [2 – x][x + 3] – 2[x + 3] = 10[2 – x] – 50
⇔ x2 – 7x – 30 = 0 ⇔
Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x = 10
Bài 3: Giải các phương trình sau:
Hướng dẫn:
⇔ [x + 1]2 – [x – 1]2 = 16
⇔ [x2 + 2x + 1] – [x2 – 2x + 1] = 16
⇔ 4x = 16 ⇔ x = 4.
Vây phương trình đã cho có nghiệm x = 4.
⇔ 2[x2 + x – 2] = 2x2 + 2
⇔ 2x = 6 ⇔ x = 3.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 3.
⇔ 2[x2 + 10x + 25] – [x2 + 25x] = x2 – 10x + 25
⇔ x2 – 5x + 50 = x2 – 10x + 25
⇔ 5x = – 25 ⇔ x = – 5.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = – 5.
Bài 4: Giải các phương trình sau:
Hướng dẫn:
a] ĐKXĐ: x ≠ – 1;x ≠ 3.
⇔ – x – 1 – x + 3 = x2 + x – x2 + 2x – 1
⇔ 5x = 3 ⇔ x = 3/5.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 3/5.
b] ĐKXĐ: x ≠ 3, x ≠ 4, x ≠ 5, x ≠ 6.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 0;x = 9/2.
c] ĐKXĐ: x ≠ 1.
⇔ [x2 – 1 ][ x3 + 1] – [x2 – 1][x3 – 1] = 2[x2 + 4x + 4]
⇔ [x5 + x2 – x3 – 1] – [x5 – x2 – x3 + 1] = 2[x2 + 4x + 4]
⇔ 2x2 – 2 = 2x2 + 8x + 8
⇔ 8x = – 10 ⇔ x = – 5/4.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = – 5/4.
Bài 5: Giải phương trình
Hướng dẫn:
ĐKXĐ: x ∉ {-2; -3/2; -1; -1/2}
Phương trình tương đương với
Vậy phương trình có nghiệm là x = [-5 ± √3]/4 và x = -5/2
Bài 6: Giải phương trình
Hướng dẫn:
ĐKXĐ: x ≠ -1 và x ≠ 1/2
Phương trình tương đương với
⇔ x = 5 [thỏa mãn điều kiện]
Vậy phương trình có nghiệm là x = 5
Bài 7: Giải phương trình
Hướng dẫn:
ĐKXĐ: x≠±2 và x≠-1
Phương trình tương đương với
[x+1]2[x-2] + [x-1][x+1][x+2] = [2x+1][x-2][x+2]
⇔ [x2 + 2x + 1][x – 2] + [x2 – 1][x + 2] = [2x + 1][x2 – 4]
⇔ x3 – 2x2 + 2x2 – 4x + x – 2 + x3 + 2x2 – x – 2 = 2x3 – 8x + x2 – 4
⇔ x2 + 4x = 0 ⇔
Vậy phương trình có nghiệm là x = -4 và x = 0
Bài 8: Giải phương trình
Hướng dẫn:
ĐKXĐ: x ≠ -2/3 và x ≠ 2
Phương trình tương đương với [2x+1][x-2] = [x+1][3x+2]
⇔ 2x2 – 4x + x – 2 = 3x2 + 2x + 3x + 2
⇔ x2 + 8x + 4 = 0 ⇔ x = -4 ± 2√3 [thỏa mãn điều kiện]
Vậy phương trình có nghiệm là x = -4 ± 2√3
Trên đây, THPT Sóc Trăng.vn đã giới thiệu đến quý thầy cố và các bạn học sinh chuyên đề phương trình chứa ẩn ở mẫu và cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu nhanh nhất cùng nhiều bài tập vận dụng khác. Hi vọng, bài viết đã mang đến cho bạn những thông tin hữu ích. Xem thêm cách giải phương trình bậc nhất một ẩn tại đường link này bạn nhé !
Đăng bởi: THPT Sóc Trăng
Chuyên mục: Giáo dục