Tìm gtln gtnn [giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất] của hàm số lượng giác như thế nào? Trong bài viết này tôi sẽ giới thiệu đến các bạn cách tìm trong trường hợp không sử dụng đạo hàm. Đây là cách mà các bạn học sinh lớp 11 sau khi học xong chương lượng giác cần nắm được. Nào hãy cùng đọc bài viết dưới đây để tìm hiểu nhé.
Bạn đang xem: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lượng giác trên đoạn
I. CÁCH TÌM GTLN GTNN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC BẬC NHẤT VÀ CHỨA CĂN
1.HÀM BẬC NHẤT ĐỐI VỚI 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lượng giác có dạng bậc nhất y=at+b [trong đó t là một hàm số lượng giác] là ta đánh giá từ hàm t. Thường các hàm số t là các hàm số sin hoặc cos có miền giá trị là một đoạn. Chúng ta cũng cần nhớ lại kiến thức cơ bản sau: −1≤sinx≤1, −1≤cosx≤1 để làm bài nhé.
Ví dụ 1:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác y=2sinx+3.
Lời giải:
Tập xác định của hàm số là R.
Ta có: −1≤sinx≤1⇔−2≤2sinx≤2⇔1≤2sinx+3≤5.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số y=2sinx+3 là 5 khi sinx=1.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số y=2sinx+3 là 1 khi sinx=−1.
2. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CÓ CHỨA CĂN BẬC 2
Đối với dạng toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lượng giác có chứa căn bậc hai thì cần lưu ý hàm số căn bậc 2 của x là hàm số đồng biến và có tập xác định là các số không âm.
Ví dụ 2:
Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số
Lời giải:
Điều kiện xác định của hàm số đã cho là 2cosx+1≥0.
Ta có: −1≤cosx≤1⇔−2≤2cosx≤2⇔−1≤2cosx≤3.
Suy ra: 0≤2cosx+1≤3
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là y=3 khi cosx=1.
Xem thêm: Văn Bản Báo Cáo Tình Hình Học Tập Và Rèn Luyện Đạo Đức Của Bản Thân Em
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0 khi cosx=−1/2.
II. TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Với hàm số dạng y=at²+bt+c [a≠0] trong đó t là một hàm số lượng giác thì ta giải bằng cách đặt ẩn phụ. Sau đó tiến hành tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn, khoảng.
Ví dụ 3:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=sin²x+2sinx-3.
Lời giải:
Tập xác định của hàm số R.
Đặt t=sinx, −1≤t≤1. Ta có: y=t²+2t−3.
Dễ thấy hàm số y=t²+2t−3 đồng biến trên nên giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=t²+2t−3 lần lượt là y[−1]=−4 và y[1]=0. Đó cũng tương ứng là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y=sin²x+2sinx-3.
III. TÌM GTLN GTNN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
Với hàm số lượng giác có dạng hàm số bậc nhất đối với sinx và cosx thì ta sử dụng điều kiện có nghiệm. Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x là:
Ví dụ 4:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=3sinx+4cosx+5.
Lời giải:
Tập xác định của hàm số là R.
Ta có: y=3sinx+4cosx+5⇔3sinx+4cosx=y−5.
Điều kiện để phương trình trên có nghiệm là: [y-5]²≤3²+4²⇔−5≤y−5≤5⇔0≤y≤10.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là 10.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là 0.
Trên đây là cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác lớp 11 mà tôi giới thiệu đến các bạn. Chúc các bạn thành công!
GTLN-GTNNGIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐI.Định nghĩa: Cho hàm số y = f [ x ] xác định trên D ⊆ R1.Nếu tồn tại một điểm x0 ∈ D sao cho f [ x] ≤ f [ x0 ], ∀x ∈ D thì số M = f [ x0 ]được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f[x] trên D,f [ x]ký hiệu M = Mx∈axD2. Nếu tồn tại một điểm x0 ∈ D sao cho f [ x ] ≥ f [ x0 ], ∀x ∈ D thì số m = f [ x0 ]được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f[x] trên D,f [ x]ký hiệu m = Minx∈D ∀x ∈ D , f [ x ] ≤ Mf [ x] ⇔ Như vậy: M = Mx∈axD∃x0 ∈ D, f [ x0 ] = M ∀x ∈D, f [ x ] ≥ mm = Min f [ x ] ⇔x∈D∃x0 ∈D, f [ x0 ] = mII.Phương pháp tìm GTLN,GTNN của hàm số :Cho hàm số y = f [ x] xác định trên D ⊆ RBài toán 1.Nếu D = [a, b] thì ta tìm GTLN,GTNN của hàm số như sau:1.Tìm tập xác định của hàm số ,giới hạn hai biên2.Tính f '[ x ] và giải phương trình f '[ x] = 0 tìm nghiệm thuộc tập xác định3.Lập bảng biến thiên4 Dựa vào BBT.kết luậnVí dụ1. Tim GTNN của hàm số y = x4 − 2x2 + 1 trên tập xác định của nó.Hướng dẫn giảilimy=+∞Tập xác định: D = ¡ . , x →±∞x = 033Đạo hàm: y' = 4x − 4x, y' = 0 ⇔ 4x − 4x = 0 ⇔ x = ±1Bảng biến thiên:xy'y−∞−−10+∞+001−0Dựa vào BBT ta có100min f [ x] = f [±1] = 0[ −∞ , +∞ ]GV.Nguyễn văn phép [ sưu tầm và soạn ]1++∞+∞GTLN-GTNNx. :trên tập xác định của nó.x +1Hướng dẫn giảiVí dụ 2 Tìm GTLN –GTNN của hàm số y =y=0Tập xác định: D = ¡ . , xlim→±∞Đạo hàm: y' =[1− x2]x2 + 122, y' = 0 ⇔ 1− x = 0 ⇔ x = ±1.Bảng biến thiên:xy'y−∞−10−1012+0−+∞12Dựa vào BBT ta có max f [ x] = f [1] =[ −∞ ,+∞ ]−012;min f [ x] = f [−1] =[ −∞ , +∞ ]−12x2 + x − 1Ví dụ 3 :Tìm GTNN của hàm số y =trên [ 1, +∞ ]x−1Hướng dẫn giảiTập xác định: D = ¡ \ {1} , lim y = +∞, lim y = +∞x →1Đạo hàm: y' = 1−x →+∞x = 02, y' = 0 ⇔ [ x − 1] = 1⇔ x = 2[ x − 1]Bảng biếnthiên:12xy'y−∞+001−∞Dựa vào BBT tacó1−+∞−−∞5min f [ x] = f [2] = 5[1, +∞ ]Bài toán 2. Nếu D = [ a, b ] thì ta tìm GTLN,GTNN của hàm số như sau:1.Tìm tập xác định của hàm số2.Tính f '[ x] và giải phương trình f '[ x ] = 0tìm nghiệm x1 , x2 ... thuộc tập xác định3.Tính f [a ], f [ x1 ], f [ x2 ].... f [b]GV.Nguyễn văn phép [ sưu tầm và soạn ]202++∞+∞GTLN-GTNN4.Kết luận• Đặc biệt:max f [ x ] = f [b]Nếu f[x] đồng biến trên đoạn [a;b] thìmin f [ x ] = f [a ];[ a ;b ][ a ;b ]max f [ x] = f [a]Nếu f[x] nghịch biến trên đoạn [a;b] thì;[ a ;b ]min f [ x] = f [b][ a ;b ]Ví dụ 1 :Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: y = 2x3 + 3x2 − 12x + 1trên [–1; 5]là:A. max y = 266.B. min y = −6.C. max y = 166.D. min y = 6.−1;5 −1;5−1;5−1;5 x = 1∈ −1;5 2.- Giải :Ta có: y' = 6 x + 6 x − 12; y' = 0 ⇔ x = −2 ∉ −1; 5Tínhf [ −1] = 14f [ 1] = −5f [ 5 ] = 266y = y[ 5 ] = 266.Vậy : max−1;5min y = y[ 1] = −6. −1;5Ví Dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y =3x − 1trên [0;x− 32] là:GiảiTa có: y' =−10[ x − 3]2< 0,∀x∈ 0; 2 y = y[ 2 ] = −5.Ÿ min0;21Ÿ max y = y[ 0 ] = . 0;2 3Ví dụ 3 : Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: y =2sin x − 1là:sin x + 2- TXĐ: ¡ .- Đặt: t = sin x ⇒ t ∈ −1;1 . Khi đó: bài toán trở thành :Tìm GTLN-GTNN của hàm số- Ta có: f '[ t] =5[ t + 2]2y=2t − 1= f [ t] .t+ 2> 0,∀t ∈ −1;1 .- Ta tính: f [ −1] = −3, f [ 1] =13GV.Nguyễn văn phép [ sưu tầm và soạn ]3GTLN-GTNNVâyf [ t] = f [ −1] = −3.Ÿ min y = min−11;1Ÿ max y = max f [ t] = f [ 1] = . −11; 3Bài tập tự luận1]Tìm GTLN –GTNN các hàm số sau :1] y = x 3 − 3 x 2 + 1 trên [ -1,3]2x 2 + x −1trên Rx2 − x +15] y = 4 − x 2 trên TXĐ7] y = 4 x 3 − 3 x 4 trên TXĐ3] y =9]y=x2 −1trên Rx4 − x2 +1x −1trên [ − 2;+∞]3+ x2x − 14] y =trên [ 2;5]x −16] y = x 3 + x − 1 trên [1;5]2] y =8] y = x 3 + [m 2 − m + 2] x + 5 trên [ 0;1]1 43210] y = x − x −222] tìm GTLN-GTNN trên đoạn:1] y = f [ x] = x 5 − 5 x 4 + 5 x 3 + 1trên [ − 1,2]2] y = f [ x] = x 3 − 3x + 3trên [ − 0,2]3] y =4]5]6]7]y=y=y=y=8] y =2 x 2 + 5x + 4trên [ 0;1]x+2f [ x] = − x 3 + 3 xtrên [ − 2,3]42f [ x] = x − 2 x + 3trên [ − 3,2]32f [ x] = x − 3 x − 9 xtrên [ − 4,6]34f [ x] = 4 x − 3 x2f [ x] = x 2 +với x >0xf [ x] = x 3 − 6 x 2 + 9 xtrên [ 0,4]9] y =10] y = x + 2 − x 2 π11 y = f [ x] = 2 cos 2 x + 4 sin x trên 0, 2412] y = f [ x] = 2 sin x − sin 3 x trên [ 0; π ]3113]y=f[x]= x 2 − x − 4 x − x 24214] y= 2 sin x + 2 sin x − 115 ]y= cos 2 2 x − sin x cos x + 42 sin x − 116] y=sin x + 117] y= sin 10 x + cos10 xGV.Nguyễn văn phép [ sưu tầm và soạn ]4GTLN-GTNNx − m2 + mtrên[ 0;1] bằng -2.x +119]Tìm GTLN- GTNN của f[x]= 2 x − 1 + 2 x + 2 với x ∈ [ − 1;1]18] Tìm m để GTNN của hàm số y=f[x]=Bài Tập Trắc nghiệmCâu 1. Tìm GTLN của các hàm số sau: y = 100− x2 trên [–6; 8] là:A. max y = 20.B. max y = 10.C. max y = −10.D. max y = 6.−6;8 −6;8−6;8−6;8Câu 2. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: y = 2 + x + 4 − x là:A. max y = 6 .B. min y = 2 3C. max y = y[ 1] = 2 3.D. min y = 2 6 . −2;4 −2;4 −2;4 −2;4 Câu 3. Tìm GTLN của các hàm số sau: y = 2sin2 x − cos x + 1 là:A.5max y = .8max y =B.max y =35.8C.max y =15.8D.25.82Câu 4. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: y = x + x + 1 là:x2 − x + 1max y = 3A. 1.miny=−3 max y = 3B. 1.miny=3max y = 1C. 1.miny=3D. max y = 3 . min y = 1Câu 5. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: y = 2sin x + cos x + 1 là:sin x − 2cos x + 3max y = 2max y = 1max y = 2max y = 2 C. A. B.D..1.−1 .−1 .min y = 1min y =min y =min y =222f [ x ] = 1; max f [ x ] = 2A. min[ 0;1][ 0;1]2x2 + x + 1trên đoạn [ 0;1] là:x +1f [ x ] = 1; max f [ x ] = 2B. min[ 0;1][ 0;1]f [ x ] = −2; max f [ x ] = 1C. min[ 0;1][ 0;1]D. Một số kết quả khácCâu 6. Tìm GTLN và GTNN của hàm số: y =Câu 7.Tìm GTLN và GTNN của hàm số: y = sin x − cos x là:A. GTLN = 1, GTNN = −2GTLN = 2, GTNN = − 2GV.Nguyễn văn phép [ sưu tầm và soạn ]5B.GTLN-GTNNC. GTLN = 2, GTNN = 0D. GTLN = 1, GTNN = −1[Câu 8.Tìm GTLN và GTNN của hàm số f [ x ] = x − 2 1 − 2 ; 2 là:A. 4 và 0B. 6 và 0] [ x + 2]2C. 4 và 12trên đoạnD. 6 và 1Câu 9. Tìm GTLN và GTNN của hàm số sau: y = − x + 2 x + 1 trên đoạn421− 2; 2 là:A. 8 và −8B. 3 và −7C. 4 và −8D. 2 và −7Câu 10. Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = 2x3 + 3x2 − 12x + 1 trên [–1; 5]là:A. 256 và −6B. 266 và −6C. 265 và −5D. 255 và −5Câu 11. Tìm GTLN và GTNN của hàm số f[x] =x2 − 3x + 6trên đoạnx −1 2; 4 là:A. 4 và 103B. 5 và 2C. 4 và 3Câu 12. Tìm GTNN của y = x 4 - 4x 3 + 4x 2 +A. 34B.-32A. 33bằng là:4C. 43Câu 13. Tìm GTLN của y = x -D. 5 và 3D.-231trên [ 0;3] bằng là:xB. 83C. 38D. 0Câu 14. Tìm GTLN của y = x 3 - 3x 2 - 9x + 35 trên đoạn [- 4;4 ] là:A. 40C. −41B. 8D. 15Câu 15. Tìm GTLN của y = 5 - 4x trên đoạn [- 1;1] bằng là:A. 9B. 3Câu 16. Tìm GTLN của y =A. 15C. 1D. 0xtrên nửa khoảng [ - 2;4 ] bằng là:x +2B. 13GV.Nguyễn văn phép [ sưu tầm và soạn ]C. 23D. 436GTLN-GTNNCâu 17. Cho hàm số y = sin 3 x - cos 2 x + sin x + 2 . Tìm GTNN của hàm sốæ π πö- ; ÷trên khoảng ç÷ç÷ là:çè 2 2øA.2327B.127C. 5D. 1Câu 18. Tìm GTLN và GTNN của hàm số: f [ x ] = x + 18 − x 2 là:A. 6 và 3 2B. 6 và −3 2C. 8 và 5 2D.8và−5 2Câu 19. Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = x 3 + 3 x 2 − 9 x + 1 trên đoạn [−2; 2] là:A. 25 và −3B. 23 và −4C. 22 và −4D. 24 và −3Câu 20. Tìm GTLN và GTNN của hàm số f [ x ] = x + 4 − x 2 trên đoạn1 −2; 2 là:A. 1 + 13 và −22B. 1 + 15 và 22C. 1 + 15 và −22D. 1 + 13 và22Câu 21. Tìm GTLN và GTNN của hàm số f [ x ] = x − 3 +[ 2;5] là:A. −6 và 3B. 2 và 3là:A. 6 và 2B. 6 và 3x 2 − 2x + 5trên đoạn [2; 5]x −1C. 5 và 2Câu 23. Tìm GTLN và GTNN của hàm số f [ x ] = x +A. 10 và 254B. 12 và 254Câu 24: Cho hàm số y =- x + 2016 -D. −6 và 5C. 2 và 5Câu 22. Tìm GTLN và GTNN của hàm số y =4trên đoạnx −1D. 5 và 39trên đoạn [ 1; 4] là:xC. 10 và 6D. 12 và 61. Tìm GTLN của hàm số trênxkhoảng [ 0;4 ] đạt tại x bằng là:A. 2014B. 2016C. 2007Câu 25. Tìm GTLN của hàm số: y = −2 x + 4 x − 5 là:2GV.Nguyễn văn phép [ sưu tầm và soạn ]7D. 2008GTLN-GTNNA. −5B. −4C. −3D. −2Câu 26. Tìm GTLN của hàm số: y = x − 2 + 4 − x là:A. 1B. 2C. 3D. 4Câu 27. Tìm GTLN và GTNN của hàm số: y = 1 + x + 3 − x − x + 1. 3 − xlà:3A.và 2 2 − 2B. 2 và 2 2 − 2C. 1 và 2 2 − 2D.2và22 −2Câu 28. Tìm GTLN và GTNN của hàm số f [ x] = − 2 x 4 + 4 x 2 + 10 trên đoạn[ 0; 2] là:A. 10 và −6B. 12 và −6C. 10 và −8Câu 29. Tìm GTLN và GTNN của hàm số f [ x] =[ 2; 4] là:A. 4 và 103B. 13 và 43x 2 − 3x + 6trên đoạnx −1C. 16 và 43Câu 30. Tìm GTLN và GTNN của hàm số f [ x ] = x − 3 +[ 2;5] là:B. 3 và −2A. 5 và 2D. 3 và 21và −27B.1và −214D. 4 và 34trên đoạnx −1C. 5 và −2Câu 31. Tìm GTLN và GTNN của hàm số y =A.D. 12 và −8C.x−2trên đoạn [0;3] là:2x + 11và −47D.1và −414x2trên đoạn [ 2; 4] là:x −11620B.và 0C.và 433Câu 32. Tìm GTLN và GTNN của hàm số y =A.16và 43D.20và 0332Câu 33. Tìm GTLN của hàm số f [ x ] = x + 3x − 9 x + 1 trên đoạn [ 0; 4] là:A. 77B. 66C. 55D. 44Câu 34. Tìm GTLN của hàm số y = 3x − x3 trên đoạn [–2; 3] là:GV.Nguyễn văn phép [ sưu tầm và soạn ]8GTLN-GTNNA. max y = 2.−2;3B. max y = −1.−2;3C. max y = −2.−2;3D. max y = 1.−2;3Câu 35. Tìm GTLN của hàm số y = x4 − 2x2 + 3trên đoạn [–3; 2] là:A. max y = 46.−3;2 B. max y = 2.−3;2C max y = y[ −3] = 66. −3;2D.max y = −2.−3;2 Câu 36. Tìm GTLN của hàm số y = x4 − 2x2 + 5trên đoạn [–2; 2] là:A. max y = 23.−2;2 B. max y = 13. −2;2Câu 37. Tìm GTLN của hàm số y =A. max y = 6 . 0;4 5B. max y = −2.0;4 Câu 38. Tìm GTLN của hàm số y =A. max y = 37 . 0;2 4B. max y = 27 .0;24Câu 39. Tìm GTLN của hàm số y =A. max y = 1.0;1B. max y = − 3 .50;1C. max y = −4. −2;2 D. max y = 14. −2;2 x−1trên đoạn [0; 4] là:x+1C. max y = 3 . 0;4 5D. max y = 1.0;4 4x2 + 7x + 7trên đoạn [0; 2] là:x+ 2C. max y = − 7 .0;2 21− x + x21+ x − x2D. max y = − 17 .0;2 2trên đoạn [0; 1] là:C. max y = 3 .50;1D. max y = 2.0;1Câu 40. Tìm GTNN của hàm số y = cos2x − 2sin x − 1là:A. min y = −2.B. min y = −4.GV.Nguyễn văn phép [ sưu tầm và soạn ]C. min y = −3.9D. min y = −1.