Trường THPT Tập Sơn Tổ: Toán – Tin I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀIBài toán “Tìm giá trị của tham số để phương trình, bất phương trình và hệ phương trình có nghiêm” là một bài toán quan trọng và thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào các trường Đạị học và Cao đẳng. Qua thực tế giảng dạy tôi thấy học sinh thường lúng túng khi gặp bài toán này hoặc gặp khó trong lúc giải quyết bài toán vì thường gặp khó bởi điều kiện phát sinh khi giải toán. Trong chuyên đề này tôi trao đổi cách vận dụng đạo hàm để giải những bài toán thuộc dạng trênII. NỘI DUNG ĐỀ TÀI.1. Cơ sở lí thuyết: Trước tiên ta xét các mệnh đề sau được suy luận từ định nghĩa hàm số đơn điệu và các kinh nghiệm trong giải toán:Cho hàm số y = f[x] liên tục trên tập D1] Phương trình: f[x] = m có nghiệm x∈D min [ ] ax [ ]x Dx Df x m m f x∈∈⇔ ≤ ≤2] Bất phương trình: [ ]f x m≤ có nghiệm x∈D min [ ]x Df x m∈⇔ ≤3] Bất phương trình: [ ]f x m≤ nghiệm đúng x D ∀ ∈ max [ ]x Df x m∈⇔ ≤4] Bất phương trình: [ ]f x m≥ có nghiệm x∈D ax [ ]x Dm m f x∈⇔ ≤5] Bất phương trình: [ ]f x m≥ nghiệm đúng x D ∀ ∈ min [ ]x Dm f x∈⇔ ≤6] hàm số y = f[x] đơn điệu trên tập D thì [ ] [ ] [ , ]f u f v u v u v D= ⇔ = ∀ ∈2. Phương pháp giải toán:Để giải bài toán tìm giá trị của tham số m để phương trình[PT], bất phương trình[BPT] có nghiệm ta có thể thực hiện theo các bước sau: Biến đổi PT[BPT] về dạng: f[x] = g[m] [hoặc [ ] [ ], [ ] [ ]f x g m f x g m≤ ≥] Tìm tập xác định D của hàm số f[x] Lập bảng biến thiên của hàm số f[x] Xác định: min [ ] , ax [ ]x Dx Df x m f x∈∈ Vận dụng một trong các mệnh đề đã nêu ở mục 1 rút ra kết luận cho bài toán.Lưu ý: Trong trường hợp PT[BPT] chứa các biểu thức phức tạp ta làm như sau Đặt ẩn số phụ t = [ ]xϕ Từ điều kiện ràng buộc của ẩn x ta tìm điều kiện cho ẩn t Đưa PT[BPT] ẩn số x về PT[BPT] theo ẩn số t Ta được f[t] = g[m] hoặc [ ] [ ], [ ] [ ]f t g m f t g m≤ ≥ Lập bảng biến thiên của hàm số f[t] Từ bảng biến thiên của hàm số f[t] và các mệnh đề đã nêu ở mục 1 rút ra kết luận của bài toán3. Một số ví dụ minh họa 1Trường THPT Tập Sơn Tổ: Toán – Tin Thí dụ 1: Chứng minh rằng: 0m∀ > phương trình 22 8 [ 2]x x m x+ − = − luôn có 2 nghiệm thực phân biệt. [trích đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2007]GiảiĐiều kiện: 2x ≥ta có: 22 8 [ 2]x x m x+ − = −3 2[ 2][ 6 32 ] 0x x x m⇔ − + − − =3 226 32 [*]xx x m=⇔+ − =đặt f[x] = x3 + 6x2 – 32 ta có f’[x] = 3x2 + 12x > 0 với mọi x > 2bảng biến thiên x 2 +∞f’[x] +f[x] +∞ 0 Từ bảng biến thiên và mục 1] ta có m > 0 [*] luôn có một nghiệm x > 2Vậy bài toán được chứng minhThí dụ 2 : Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 243 1 1 2 1x m x x− + + = −có nghiệm[trích đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2007]GiảiĐiều kiện : 1x ≥243 1 1 2 1x m x x− + + = − 24241 13 21[ 1]x xmxx− −⇔ + =++ 41 13 21 1x xmx x− −⇔ + =+ +Đặt 411xtx−=+ với 1x ≥ ta có 0t ≥ thay vào phương trình ta được 22 3 [ ]m t t f t= − = ta có : '[ ] 2 6f t t= − ta có : 1'[ ] 03f t t= ⇔ =t 0 13 +∞f’[t] + 0 f[t] 130 −∞Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có nghiệm khi 13m ≤Thí dụ 3 : Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt : 22 2 1x mx x+ + = + [*] [trích đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2006]Giải :Điều kiện : 12x ≥ − vì x = 0 không là nghiệm nên2Trường THPT Tập Sơn Tổ: Toán – Tin 223 4 1[*] 3 4 1x xx x mx mx+ −⇔ + − = ⇔ =Xét 23 4 1[ ]x xf xx+ −= ta có 23 1'[ ] 0 0xf x xx+= > ∀ ≠Bảng biến thiênx12− 0 +∞f’[x] + +f[x] +∞ +∞92 −∞ Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có hai nghiệm thì 92m ≥Thí dụ 4: Cho phương trình : 2 23 3log log 1 2 1 0 [1]x x m+ + − − =a. Giải phương trình khi m = 2b. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm trên 31;3 [Trích đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2002]Giải Đặt 23log 1t x= + điều kiện : 1t ≥ta được : 22 2 0 [*]t t m+ − − = khi 31;3 [1;2]x t ∈ ⇒ ∈ a. khi m = 2 ta được : 26 0t t+ − =2 3 [ ]t t L⇔ = ∨ = −23log 1 2x⇔ + =23log 1 4x⇔ + =3 3x⇔ =b. khi 3[1;3 ] [1;2]x t∈ ⇒ ∈ ta có : 22[*] [ ]2t tf t m+ −⇔ = =Bảng biến thiênt 1 2f’[t] +f[t] 2 0 Từ bảng biến thiên ta có : 0 2m≤ ≤Thí dụ 5 : Tìm m để bất phương trình : 2[1 2 ][3 ] 2 5 3x x m x x+ − > + − + nghiệm đúng với mọi 1;32x ∈ − Giải Đặt [1 2 ][3 ]t x x= + −khi 1 7 2;3 0;2 4x t ∈ − ⇒ ∈ thay vào bất phương trình ta được2[ ]f t t t m= + >3Trường THPT Tập Sơn Tổ: Toán – Tin t 0 7 24f’[t] +f[t] 49 14 28+ 0 Từ bảng biến thiên ta có : 0m 0 vô nghiệm ⇔ f[x] ≤ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ . Nghĩa là
2. Ví dụ tìm m để bất phương trình có nghiệm
Ví dụ 1: Cho bất phương trình [m - 1]x2 + 2mx - 3 > 0. Tìm giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc .
Hướng dẫn giải
Đặt [m - 1]x2 + 2mx - 3 = f[x]
TH1: m - 1 = 0 ⇒ m = 1. Thay m = 1 vào bất phương trình ta được: 2x - 3 > 0⇒
TH2: m - 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1
Để bất phương trình f[x] > 0 nghiệm đúng với mọi x
Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc .
Ví dụ 2: Tìm m để các bất phương trình sau đúng với mọi x thuộc .
a. [m - 3]x2 + [m + 1]x + 2 < 0
b. [m - 1]x2 + [m - 3]x + 4 > 0
Hướng dẫn giải
a. Đặt [m - 3]x2 + [m + 1]x + 2 = f[x]
TH1: m - 3 = 0 ⇔ m = 3. Thay m = 3 vào bất phương trình ta được: 2x + 2 < 0 ⇔ x < -1 [Loại]
TH2: m - 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3
Để bất phương trình f[x] < 0 nghiệm đúng với mọi x
Ta có: m2 - 6m + 25 = [m - 3]2 + 16 ≥ 16,∀m
Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc
b. Đặt [m - 1]x2 + [m - 3]x + 4 = f[x]
TH1: m - 1 = 0 ⇔ m = 1. Thay m = 1 vào bất phương trình ta được: -2x + 4 > 0 ⇔ x < 2 [Loại]
TH2: m - 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1
Để bất phương trình f[x] > 0 nghiệm đúng với mọi x
Vậy thì bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc .
3. Bài tập tìm m để bất phương trình có nghiệm
Bài 1: Tìm m để bất phương trình x2 - 2[m + 1] + m2 + 2m ≤ 0 có nghiệm với mọi x ∈ [0; 1]
Hướng dẫn giải:
Đặt x2 - 2[m + 1] + m2 + 2m ≤ 0
Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với ∀x ∈ [0; 1]
Phương trình f[x] = 0 có hai nghiệm thỏa mãn
Vậy với -1 ≤ m ≤ 0 thỏa mãn điều kiện đề bài cho.
Bài 2: Tìm m để bất phương trình sau [m + 2]x2 - 2mx + m2 + 2m ≤ 0 có nghiệm.
Hướng dẫn giải
Xét 3 trường hợp:
Trường hợp 1: Với m + 2 = 0 ⇒ m = -2 ta được:
[1] ⇔ 4x + 4 0 ⇒ m > -2. Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm thì vế trái phải có 2 nghiệm phân biệt :
Vậy với |m| <
Bài 3: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: m2x + 3 < mx + 4
Hướng dẫn giải:
Bất phương trình tương đương với: m2x - mx < 4 ⇔ [m2 - m]x < 1; m2 - m = 0 ⇔m = {0;1} thì bất phương trình trở thành 0 < 1 đúng với mọi x .
Nên bất phương trình có vô số nghiệm.
Với m2 - m ≠ 0 ⇔ m ≠ {0; 1} thì bất phương trình trở thành
Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi giá trị thực của m.
Bài 4: Tìm tham số m để bất phương trình: f[x] = [m2 + 1]x2 + [2m - 1]x - 5 < 0
Nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng [ -1; 1]
Hướng dẫn giải:
Ta có:
⇔ -1 ≤ m ≤
Vậy để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng [ -1, 1] thì m ∈ [-1;
Bài 5: Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x: [m + 4]x2 - 2mx + 2m - 6 < 0
Hướng dẫn giải:
+ Với m = - 4 thì bất phương trình trở thành: 8x - 14 < 0, ∀x [loại]
+ Với
Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x khi m < -4.
Bài 6: Cho bất phương trình: x2 + 4x + 3 + m ≤ 0
a. Tìm m để bất phương trình vô nghiệm.
b. Tìm m để bất phương trình có đúng một nghiệm.
c. Tìm m để bất phương trình có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 2.
Hướng dẫn giải
a. Bất phương trình vô nghiệm
⇔ Δ' < 0 ⇔ 1 - m < 0 ⇔ m > 1
Vậy m > 1 thì bất phương trình vô nghiệm.
b. Bất phương trình có đúng một nghiệm.
⇔ Δ' = 0 ⇔ 1 - m = 0 ⇔ m = 1
Vậy m = 1 bất phương trình có đúng một nghiệm
c. Để bất phương trình có nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài bằng 2 thì tam thức ở vế trái của bất phương trình phải có hai nghiệm phân biệt x, x’ thỏa mãn điều kiện:
Vậy m = -3 thì bất phương trình có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 2.
Bài 7: Tìm m để bất phương trình: x4 + 2mx2 + m ≥ 0 có nghiệm đúng với mọi x.
Hướng dẫn giải
Đặt t = x2, t ≥ 0
Khi đó bất phương trình trở thành:
f[t] = t2 +2mt + m ≥ 0 [*]
⇒Δ' = m2 - m
Trường hợp 1: Δ' ≤ 0 ⇔ m2 - m ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 1
Khi đó [*] luôn đúng.
Trường hợp 2: Nếu Δ' > 0, điều kiện là phương trình f[t] phải có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: t1 < t2 ≤ 0
Tóm lại ta cần suy ra như sau:
Vậy m ≥ 0 thì bất phương trình có nghiệm đúng với mọi giá trị x.
4. Bài tập vận dụng tìm m để bất phương trình có nghiệm
Bài 1: Cho tam thức f[x] = x2 - 2mx + 3m - 2. Tìm điều kiện của m để tam thức f[x] > 0, ∀x ∈ [1; 2] .
Bài 2: Xác định m sao cho với mọi x ta đều có: mx2 - 4x + 3m + 1 >0
Bài 3: Tìm m để bất phương trình: x2 - 2x + 1 - m2 ≤ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ [1; 2].
Bài 4: Tìm m để bất phương trình: [m - 1]x2 + [2 - m]x- 1 > 0 có nghiệm đúng với mọi ∀x ∈ [1; 2].
Bài 5: Tìm m để bất phương trình: 3[m - 2]x2 + 2[m + 1]x + m - 1 < 0 có nghiệm đúng với mọi ∀x ∈ [-1; 3].
Bài 6: Tìm m để bất phương trình m2 - 2mx + 4 > 0 có nghiệm đúng với mọi ∀x ∈ [-1; 0,5].
Bài 7: Tìm điều kiện của m để mọi nghiệm của bất phương trình: x2 + [m - 1]x - m ≤ 0
đều là nghiệm của bất phương trình.
Bài 8: Với giá trị nào của m thì bất phương trình: [m - 2]x2 + 2mx - 2 - m < 0 có nghiệm
Bài 9: Tìm các giá trị của m để bất phương trình:f[x] = - [m2 + 2]x2 - 2mx + 1 - m > 0
Nghiệm đúng với mọi x thuộc nửa khoảng [2; +∞]
Bài 10: Tìm giá trị của tham số m khác 0 để bất phương trình f[x] = 2mx2 - [1 - 5m]x + 3m+ 1>0 có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng [-2; 0].
Bài 11: Tìm giá trị tham số để bất phương trình sau nghiệm luôn đúng với mọi x:
a. 5x2 - x + m > 0
b. mx2 - 10x - 5 < 0
c. m[m+2]x2 - 2mx + 2 > 0
d. [m + 1]x2 - 2[m - 1]x + 3m - 3 < 0
Bài 12: Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc : [m - 5]x² - 2x + m + 1 > 0
Bài 13: Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi x
Bài 14: Cho bất phương trình:
Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc .
Bài 15: Tim m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x.
a.
b.
c.
Bài 16: Xác định m để đa thức sau: [3m + 1]x² - [3m + 1]x + m + 4 luôn dương với mọi x.
Bài 17: Tìm m để phương trình: [m2 + m + 1]x2 + [2m - 3]x + m - 5 = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt
Cập nhật: 03/01/2022