Trang 1
TĐKG 01: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định vectơ pháp tuyến
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A[2;4;1], B[1;1;3] và mặt phẳng
[P]: xyz3250+=. Viết phương trình mặt phẳng [Q] đi qua hai điểm A, B và vuông
góc với mặt phẳng [P].
·
[Q] đi qua A, B và vuông góc với [P]
Þ
[Q] có VTPT
P
nnAB,[0;8;12]0
éù
== ¹
ëû
u
uurr
rrÞ
Qyz[]:23110+-=.
Câu hỏi tương tự:
a] Với A[1; 0; 1], B[2; 1; 2],
2330Pxyz[]: +++=. ĐS: Qxyz[]:220-+-=Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua hai điểm
AB
[2;1;3],[1;2;1]- và song song với đường thẳng
xt
dyt
zt
1
:2
32
ì
=-+
ï
=
í
ï
=
î
.
·
Ta có BA [1;3;2]=
u
ur
, d có VTCP u [1;2;2]=-
r
.
Gọi n
r
là VTPT của [P]
Þ
nBA
nu
ì
^
í
^
î
u
ur
r
rr
Þ
chọn nBAu,[10;4;1]
éù
==
ëû
u
ur
rrÞ
Phương trình của [P]: xyz104190-+-=.
Câu 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng d
1
[] và d
2
[]có phương trình:
xyz
d
1
112
[];
231
-+-
==,
xyz
d
2
413
[]:
693
==. Lập phương trình mặt phẳng [P] chứa
[d
1
] và d
2
[] .
·
Chứng tỏ [d
1
] // [d
2
]. [P]: x + y 5z +10 = 0
Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu [S] có phương trình:
xyzxyz
222
26420++-+ =. Viết phương trình mặt phẳng [P] song song với giá của
véc tơ v [1;6;2]=
r
, vuông góc với mặt phẳng xyz[]:4110
a
++-= và tiếp xúc với [S].
·
[S] có tâm I[1; 3; 2] và bán kính R = 4. VTPT của []
a
là n [1;4;1]=
r
.
Þ
VTPT của [P] là:
[ ]
P
nnv
,[2;1;2]==-
r
rr
Þ
PT của [P] có dạng: xyzm220-++=.
Vì [P] tiếp xúc với [S] nên dIP[,[]]4=
m
m
21
3
é
=-
Û
ê
=
ë
.
Vậy: [P]:
xyz2230-++= hoặc [P]: xyz22210-+-=.
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M[1; 1; 1] và hai đường thẳng
xyz
d
1
1
[]:
123
+
==
và
xyz
d
2
14
[]:
125
==. Chứng minh rằng điểm Mdd
12
,, cùng
nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng đó.
·
d
1
qua M
1
[0;1;0]- và có u
1
[1;2;3]=
r
, d
2
qua M
2
[0;1;4] và có u
2
[1;2;5]=
r
.
uu
12
;[4;8;4]0
éù
= ¹
ëû
r
rr
, MM
12
[0;2;4]=
uuuuu
ur
Þ
uuMM
1212
;.0
éù
=
ëû
uuuuu
ur
rr
Þ
dd
12
, đồng phẳng.
Gọi [P] là mặt phẳng chứa
dd
12
,
Þ
[P] có VTPT n [1;2;1]=-
r
và đi qua M
1
nên có
phương trình xyz220+-+=. Kiểm tra thấy điểm MP[1;1;1][]Î .
www.VNMATH.com
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 2
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu
Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:
xyz33
221
== và mặt cầu
[S]: xyzxyz
222
22420++ +=. Lập phương trình mặt phẳng [P] song song với d và
trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu [S].
·
[S] có tâm I[1; 1; 2], bán kính R = 2. d có VTCP u [2;2;1]=
r
.
[P] // d, Ox
Þ
[P] có VTPT
[ ]
nui,[0;1;2]==-
r
rr
Þ
PT của [P] có dạng:
y
zD20-+=.
[P] tiếp xúc với [S]
Û
dIPR[,[]] =
Û
D
22
14
2
12
-+
=
+
Û
D 325-=
Û
D
D
325
325
é
=+
ê
=-
ëÞ
[P]: yz23250-++= hoặc [P]: yz23250-+-=.
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu [S]: xyzxy
222
2440+++ = và
mặt phẳng [P]: xz30+-=. Viết phương trình mặt phẳng [Q] đi qua điểm M[3;1;1]-
vuông góc với mặt phẳng [P] và tiếp xúc với mặt cầu [S].
·
[S] có tâm I[1; 2; 0] và bán kính R = 3; [P] có VTPT
P
n [1;0;1]=
r
.
PT [Q] đi qua M có dạng: AxByCzABC
222
[3][1][1]0,0-+-++=++¹
[Q] tiếp xúc với [S]
Û
dIQRABCABC
222
[,[]]43=Û-++=++ [*]
QP
QPnnACCA[][].00^Û=Û+=Û=-
rr
[**]
Từ [*], [**]
Þ
BAABBAAB
2222
53287100-=+Û-+=
Û
A
BAB274=Ú=-
·
Với
AB
2= . Chọn B = 1, A = 2, C = 2
Þ
PT [Q]: xyz2290+ =
·
Với
AB
74=- . Chọn B = 7, A = 4, C = 4
Þ
PT [Q]: xyz47490 =
Câu hỏi tương tự:
a] Với Sxyzxyz
222
[]:24450++-+-+=, PxyzM[]:2650,[1;1;2]+-+= .
ĐS:
Qxyz[]:2260++-= hoặc Qxyz[]:1110250-+-=.
Câu 8. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu [S]: xyzxyz
222
24230++++=.
Viết phương trình mặt phẳng [P] chứa trục Ox và cắt mặt cầu [S] theo một đường tròn có
bán kính r 3= .
·
[S] có tâm I[1; 2; 1], bán kính R = 3. [P] chứa Ox
Þ
[P]: ay + bz = 0.
Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên [P] đi qua tâm I.
Suy ra: 2a b = 0 Û b = 2a [a ¹ 0]
Þ
[P]: y 2z = 0.
Câu 9. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu [S]: xyzxyz
222
22210+++-+=
và đường thẳng
xy
d
xz
20
:
260
ì
=
í
=
î
. Viết phương trình mặt phẳng [P] chứa d và cắt mặt cầu
[S] theo một đường tròn có bán kính r 1= .
·
[S] có tâm I[1;1;1] , bán kính R = 2.
PT mặt phẳng [P] có dạng: axbyczdabc
222
0[0]+++=++¹.
Chọn
MNd[2;0;2],[3;1;0]-Î.
www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 3
Ta có:
MP
NP
dIPRr
22
[]
[]
[,[]]
ì
Î
ï
Î
í
ï
=-
î
Û
abcabdab
abcabdab
,2[],3[1]
177,2[],3[2]
é
==-+=
ê
=-=-+=
ë
+ Với [1]
Þ
[P]: xyz40+ = + Với [2]
Þ
[P]: xyz717540-+-=
Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
xyz
1
1
:
211
D
-
==
-
,
xyz
2
1
:
111
D
-
==
và mặt cầu [S]: xyzxyz
222
22430++++=. Viết phương trình
tiếp diện của mặt cầu [S], biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng D
1
và D
1
.
·
[P]: yz3320+++= hoặc [P]: yz3320++-=
Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu [S] có phương trình
xyzxyz
222
246110++-+ = và mặt phẳng [
a
] có phương trình 2x + 2y z + 17 = 0.
Viết phương trình mặt phẳng [
b
] song song với [
a
] và cắt [S] theo giao tuyến là đường tròn
có chu vi bằng
p
6
p
= .
·
Do [
b
] // [
a
] nên [
b
] có phương trình 2x + 2y z + D = 0 [D ¹ 17]
[S] có tâm I[1; 2; 3], bán kính R = 5. Đường tròn có chu vi 6
p
nên có bán kính r = 3.
Khoảng cách từ I tới [
b
] là h = Rr
2222
534-=-=
Do đó
D
D
D
D [loaïi]
222
2.12[2]3
7
4512
17
22[1]
+ +
é
=-
=Û-+=Û
ê
=
ë
++-
Vậy [
b
] có phương trình xyz2270+=.
Câu hỏi tương tự:
a]
yzxyzSx
22
246110
2
[]: ++++ =
, xyz[]:22190+-+=
a
,
p
8
p
= .
ĐS: xyz[]:2210+-+=
b www.VNMATH.com
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 4
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách
Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] qua O, vuông
góc với mặt phẳng [Q]: xyz0++= và cách điểm M[1; 2; 1] một khoảng bằng 2 .
·
PT mặt phẳng [P] qua O nên có dạng:
A
xByCz 0++= [với ABC
222
0++¹].
·
Vì [P]
^
[Q] nên:
A
BC1.1.1.0++=
Û
CAB= [1]
·
dMP[,[]]2=
Û
ABC
ABC
222
2
2
+-
=
++
Û
A
BCABC
2222
[2]2[]+-=++ [2]
Từ [1] và [2] ta được: ABB
2
850+=
Û
B
AB
0[3]
850[4]
é
=
ê
+=
ë·
Từ [3]: B = 0
Þ
C = A. Chọn A = 1, C = 1
Þ
[P]: xz0-=
·
Từ [4]: 8A + 5B = 0. Chọn A = 5, B = 8
Þ
C = 3
Þ
[P]: xyz5830-+=.
Câu 13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D :
xyz13
114
== và
điểm M[0; 2; 0]. Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua điểm M, song song với đường
thẳng D, đồng thời khoảng cách d giữa đường thẳng D và mặt phẳng [P] bằng 4.
·
Phương trình mp [P] đi qua M[0; 2; 0] có dạng: axbyczb20+++= [ abc
222
0++¹]
D
đi qua điểm A[1; 3; 0] và có một VTCP u [1;1;4]=
r
Ta có:
abc
P
ab
dAPd
abc
222
40
[]
5
4
[;[]]
ì
++=
ï
ì
D
+
Û
íí
=
=
î
ï
++
î
P
Û
ac
ac
4
2
ì
=
í
=-
î
.
·
Với ac4= . Chọn acb4,18==Þ=-
Þ
Phương trình [P]: xyz48160-+-=.
·
Với ac2=- . Chọn acb2,12==-Þ=
Þ
Phương trình [P]: xyz2240+-+=.
Câu hỏi tương tự:
a] Với
xyz
Md
1
:;[0;3;2],3
114
D
-
==-=.
ĐS: Pxyz[]:2280+ = hoặc Pxyz[]:48260-++=.
Câu 14. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
xt
dyt
z
[]:12
1
ì
=
ï
=-+
í
ï
=
î
và điểm
A
[1;2;3]- . Viết phương trình mặt phẳng [P] chứa đường thẳng [d] sao cho khoảng cách từ
điểm A đến mặt phẳng [P] bằng 3.
·
[d] đi qua điểm M[0;1;1]- và có VTCT u [1;2;0]=
r
. Gọi nabc[;;]=
r
với abc
222
0++¹
là VTPT của [P] .
PT mặt phẳng [P]: axbyczaxbyczbc[0][1][1]00-+++-=Û+++-= [1].
Do [P] chứa [d] nên:
unabab.0202=Û+=Û=-
rr
[2]
[ ]
abcbc
dAPbcbc
abcbc
22
22222
3252
,[]3335235
5
-+++
=Û=Û=Û+=+
+++[ ]
bbccbccb
2
22
440202Û-+=Û-=Û= [3]
Từ [2] và [3], chọn
b 1=-
Þ
ac2,2==-
Þ
PT mặt phẳng [P]: xyz2210 += .
www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 5
Câu 15. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm MNI[1;1;0],[0;0;2],[1;1;1] Viết
phương trình mặt phẳng [P] qua A và B, đồng thời khoảng cách từ I đến [P] bằng 3 .
·
PT mặt phẳng [P] có dạng: axbyczdabc
222
0[0]+++=++¹.
Ta có:
MP
NP
dIP
[]
[]
[,[]]3
ì
Î
ï
Î
í
ï
=
î
Û
abcabdab
abcabdab
,2,[1]
57,2,[2]
é
=-=-=-
ê
==-=-
ë
.
+ Với [1]
Þ
PT mặt phẳng [P]: xyz20-++=
+ Với [2]
Þ
PT mặt phẳng [P]: xyz7520+++=.
Câu 16. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với
A
[1;1;2]- , B[1;3;0] ,
C[3;4;1]- , D[1;2;1] . Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C
đến [P] bằng khoảng cách từ D đến [P].
·
PT mặt phẳng [P] có dạng: axbyczdabc
222
0[0]+++=++¹.
Ta có:
AP
BP
dCPdDP
[]
[]
[,[]][,[]]
ì
Î
ï
Î
í
ï
=
î
Û
abcd
abd
bcdabcd
abcabc
222222
20
30
3a42
ì
-++=
ï
++=
ï
í
-++++++
=
ï
ï
++++
îÛ
bacada
cabada
2,4,7
2,,4
é
===-
ê
===-
ë
+ Với bacada2,4,7===-
Þ
[P]: xyz2470++-=.
+ Với cabada2,,4===-
Þ
[P]: xyz240++-=.
Câu hỏi tương tự:
a] Với
A
BCD[1;2;1],[2;1;3],[2;1;1],[0;3;1] .
ĐS: Pxyz[]:427150++-= hoặc Pxz[]:2350+-=.
Câu 17. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm
A
[1;2;3] , B[0;1;2]- ,
C[1;1;1] . Viết phương trình mặt phẳng P[] đi qua
A
và gốc tọa độ O sao cho khoảng cách
từ B đến P[] bằng khoảng cách từ C đến P[].
·
Vì O
Î
[P] nên Paxbycz[]:0++=, với abc
222
0++¹.
Do A
Î
[P]
Þ
abc230++= [1] và dBPdCPbcabc[,[]][,[]]2=Û-+=++ [2]
Từ [1] và [2]
Þ
b 0= hoặc c 0= .
·
Với b 0= thì ac3=-
Þ
Pxz[]:30-=
·
Với c 0= thì ab2=-
Þ
Pxy[]:20-=
Câu hỏi tương tự:
a] Với
A
BC[1;2;0],[0;4;0],[0;0;3] . ĐS: xyz6340-++= hoặc xyz6340-+=.
Câu 18. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm
A
[1;1;1]- , B[1;1;2] ,
C[1;2;2] và mặt phẳng [P]: xyz2210-++=. Viết phương trình mặt phẳng []
a
đi qua
A, vuông góc với mặt phẳng [P], cắt đường thẳng BC tại I sao cho IBIC2= .
·
PT []
a
có dạng: axbyczd 0+++=, với abc
222
0++¹
Do
A
[1;1;1][]
a
-Î nên: abcd 0+-+= [1]; P[][]
a
^ nên abc220-+= [2]
IBIC2= Þ dBdC[,[]]2[;[]]
aa
=
Þ
abcdabcd
abcabc
222222
222
2
+++-+-+
=
++++
www.VNMATH.com
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 6 abcd
abcd
3360
[3]
5230
é
-+-=
Û
ê
-+-+=
ë
Từ [1], [2], [3] ta có 2 trường hợp sau :
TH1 :
abcd
abcbacada
abcd
0
13
220;;
22
3360
ì
+-+=
ï
-+=Û==-=
í
ï
-+-=
î
.
Chọn abcd21;2;3=Þ=-=-=-
Þ
[]
a
: xyz2230 =
TH2 :
abcd
abcbacada
abcd
0
33
220;;
22
5230
ì
+-+=
-
ï
-+=Û===
í
ï
-+-+=
î
.
Chọn
abcd23;2;3=Þ===-
Þ
[]
a
: xyz23230++-=
Vậy:
[]
a
: xyz2230 =hoặc []
a
: xyz23230++-=
Câu 19. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
dd
12
, lần lượt có phương
trình
xyz
d
1
223
:
213
==,
xyz
d
2
121
:
214
==
-
. Viết phương trình mặt phẳng cách
đều hai đường thẳng dd
12
, .
·
Ta có d
1
đi qua A[2;2;3] , có
d
u
1
[2;1;3]=
r
, d
2
đi qua B[1;2;1] và có
d
u
2
[2;1;4]=-
r
.
Do [P] cách đều dd
12
, nên [P] song song với dd
12
,
Þ
Pdd
nuu
12
,[7;2;4]
éù
==
ëû
r
rrÞ
PT mặt phẳng [P] có dạng: xyzd7240 +=
Do [P] cách đều dd
12
, suy ra dAPdBP[,[]][,[]]=
Û
dd7.22.24.37.12.24.1
6969
+ +
= ddd
3
21
2
Û-=-Û=
Þ
Phương trình mặt phẳng [P]: xyz144830 +=
Câu 20. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
dd
12
, lần lượt có phương
trình
xt
dyt
z
1
1
:2
1
ì
=+
ï
=-
í
ï
=
î
,
xyz
d
2
211
:
122
+
==
-
. Viết phương trình mặt phẳng [P] song song
với d
1
và d
2
, sao cho khoảng cách từ d
1
đến [P] gấp hai lần khoảng cách từ d
2
đến [P].
·
Ta có : d
1
đi qua
A
[1;2;1] và có VTCP u
1
[1;1;0]=-
rd
2
đi qua B[2;1;1]- và có VTCP là u
2
[1;2;2]=-
r
Gọi n
r
là VTPT của [P], vì [P] song song với d
1
và d
2
nên nuu
12
,[2;2;1]
éù
==
ëû
r
rrÞ
Phương trìnht [P]: xyzm220+++=.
m
ddPdAP
1
7
[,[]][;[]]
3
+
== ;
m
ddPdBP
2
5
[,[]] [,[]]
3
+
==
ddPddP
12
[,[]]2[,[]]= mm72.5Û+=+
mm
mm
72[5]
72[5]
é
+=+
Û
ê
+=-+
ë
mm
17
3;
3
Û=-=-
+ Với m 3=- Þ Pxyz[]:2230++= + Với m
17
3
=- Þ Pxyz
17
[]:22 0
3
++-=
www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 7
Câu 21. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua hai điểm
A
[0;1;2]- , B[1;0;3] và tiếp xúc với mặt cầu [S]: xyz
222
[1][2][1]2-+-++=.
·
[S] có tâm I[1;2;1]- , bán kính R 2= .
PT mặt phẳng [P] có dạng: axbyczdabc
222
0[0]+++=++¹
Ta có:
AP
BP
dIPR
[]
[]
[,[]]
ì
Î
ï
Î
í
ï
=
î
Û
abcabdab
abcabdab
,,23[1]
38,,23[2]
é
=-= =+
ê
=-= =+
ë
+ Với [1]
Þ
Phương trình của [P]: xy10 =
+ Với [2]
Þ
Phương trình của [P]: xyz83570 +=
Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
A
[2;1;1]- . Viết phương trình mặt
phẳng [P] đi qua điểm A và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất.
·
Ta có dOPOA[,[]] £ . Do đó dOPOA
max
[,[]] = xảy ra OAP[]Û^nên mặt phẳng [P]
cần tìm là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với OA. Ta có OA [2;1;1]=-
u
uur
Vậy phương trình mặt phẳng [P]:
xyz260-+-=
Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A[10; 2; 1] và đường thẳng d có
phương trình:
xyz11
213
== . Lập phương trình mặt phẳng [P] đi qua A, song song với d
và khoảng cách từ d tới [P] là lớn nhất.
·
Gọi H là hình chiếu của A trên d
Þ
d[d, [P]] = d[H, [P]]. Giả sử điểm I là hình chiếu của
H lên [P], ta có
A
HHI³
Þ
HI lớn nhất khi
AI
º . Vậy [P] cần tìm là mặt phẳng đi qua A
và nhận
AH
uu
ur
làm VTPT
Þ
[P]: xyz75770+ =.
Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng [d] có phương trình tham số
{
xtytzt2;2;22=-+=-=+ . Gọi D là đường thẳng qua điểm A[4;0;1] song song với [d]
và I[2;0;2] là hình chiếu vuông góc của A trên [d]. Viết phương trình của mặt phẳng chứa
D và có khoảng cách đến [d] là lớn nhất.
·
Gọi [P] là mặt phẳng chứa
D
, thì Pd[][]
P
hoặc Pd[][]É . Gọi H là hình chiếu vuông
góc của I trên [P]. Ta luôn có IHIA£ và IHAH^ .
Mặt khác
ddPdIPIH
HP
[,[]][,[]]
[]
ì
==
í
Î
î
Trong [P],
IHIA£ ; do đó maxIH = IAHAÛº. Lúc này [P] ở vị trí [P
0
]
^
IA tại A.
Vectơ pháp tuyến của [P
0
] là
[
]
nIA 6;0;3==-
r
uur
, cùng phương với
[
]
v 2;0;1=-
r
.
Phương trình của mặt phẳng [P
0
] là: xzxz2[4]1.[1]290 += =.
Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
xyz
d
12
:
212
== và điểm
A
[2;5;3] . Viết phương trình mặt phẳng [P] chứa d sao cho khoảng cách từ A đến [P] là lớn
nhất.
·
PT mặt phẳng [P] có dạng: axbyczdabc
222
0[0]+++=++¹.
[P] có VTPT nabc[;;]=
r
, d đi qua điểm M[1;0;2] và có VTCP u [2;1;2]=
r
.
www.VNMATH.com
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 8
Vì [P]
É
d nên
MP
nu
[]
.0
ì
Î
í
=
î
rr
Þ
acd
abc
20
220
ì
++=
í
++=
î
Þ
cab
dab
2[2]
ì
=-+
í
=+
î
. Xét 2 trường hợp:
TH1
: Nếu b = 0 thì [P]: xz10-+= . Khi đó: dAP[,[]]0= .
TH2: Nếu b
¹
0. Chọn b 1= ta được [P]: axyaza22[21]220+-+++=.
Khi đó:
dAP
aa
a
22
99
[,[]]32
845
13
22
22
==£
++
æö
++
ç÷
èø
Vậy
dAPmax[,[]]32=
Û
aa
11
20
24
+=Û=- . Khi đó: [P]: xyz430-+-=.
Câu hỏi tương tự:
a]
xyz
dA
112
:,[5;1;6]
215
-+-
== . ĐS: Pxyz[]:210+-+=
b]
xyz
dA
12
:,[1;4;2]
112
-+
==
-
. ĐS: Pxyz[]:5134210+-+=
Câu 26. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai điểm
M[0;1;2]- và N[1;1;3]- . Viết phương
trình mặt phẳng [P] đi qua M, N sao cho khoảng cách từ điểm K[0;0;2] đến mặt phẳng [P]
là lớn nhất.
·
PT [P] có dạng:
A
xByCzAxByCzBC[1][2]020+++-=Û+++-=
ABC
222
[0]++¹
NPABCBCABC[1;1;3][]3202-ÎÛ-+++-=Û=+
PBCxByCzBC[]:[2]20Þ++++-=;
dKP
B
CBC
B
[,[]]
22
424
=
++·
Nếu B = 0 thì d[K, [P]] = 0 [loại]
·
Nếu B 0¹ thì
B
dKP
BCBC
C
B
222
11
[,[]]
2
424
212
==£
++
æö
++
ç÷
èø
Dấu = xảy ra khi B = C. Chọn C = 1. Khi đó PT [P]: xyz30++=.
www.VNMATH.com
Trn S Tựng PP to trong khụng gian
Trang 9
Dng 4: Vit phng trỡnh mt phng liờn quan n gúc
Cõu 27. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng [a] cha ng thng []:
xyz1
112
-
==
v to vi mt phng [P] : xyz2210 += mt gúc 60
0
. Tỡm ta giao
im M ca mt phng [a] vi trc Oz.
ã
[] qua im
A
[1;0;0] v cú VTCP u [1;1;2]=
r
. [P] cú VTPT n [2;2;1]
Â
=
r
.
Giao im Mm[0;0;] cho
A
Mm[1;0;]=-
uuu
ur
. [
a
] cú VTPT nAMumm,[;2;1]
ộự
==-
ởỷ
uu
urur
r
[
a
] v [P]: xyz2210 += to thnh gúc 60
0
nờn :
[ ]
nnmm
mm
2
2
111
cos,2410
22
245
Â
==-+=
-+
rr
m 22=- hay m 22=+
Kt lun : M[0;0;22]- hay M[0;0;22]+
Cõu 28. Trong khụng gian vi h to Oxyz, vit phng trỡnh mt phng [P] i qua giao
tuyn d ca hai mt phng xy[]:210=
a
, xz[]:20
b
= v to vi mt phng
Qxyz[]:2210+= mt gúc
j
m
22
cos
9
j
=
ã
Ly
A
Bd[0;1;0], [1;3;2]ẻ . [P] qua A
ị
PT [P] cú dng:
A
xByCzB0++=.
[P] qua B nờn:
A
BCB320++=
ị
A
BC[22]=-+
ị
PBCxByCzB[]:[22]0-+++=
BCBC
BCBC
222
2222
22
cos
9
3[22]
j
+
==
+++
BBCC
22
13850+=.
Chn CBB
5
11;
13
=ị==.
+ Vi BC1==
ị
Pxyz[]:410-++=
+ Vi BC
5
, 1
13
==
ị
Pxyz[]:2351350-++=.
Cõu 29. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im
AB
[1;2;3],[2;1;6] v mt
phng Pxyz[]:230++-=. Vit phng trỡnh mt phng [Q] cha AB v to vi mt
phng [P] mt gúc a tho món
3
cos
6
a
= .
ã
PT mt phng [Q] cú dng: axbyczdabc
222
0[0]+++=++ạ.
Ta cú:
AQ
BQ
[]
[]
3
cos
6
a
ỡ
ẻ
ù
ẻ
ù
ớ
ù
=
ù
ợ
abcd
bcd
abc
abc
222
230
2a60
23
6
141
ỡ
-+-+=
ù
+=
ù
ớ
++
ù
=
ù
++++
ợ
abcbdb
abcdb
4,3,15
,0,
ộ
=-=-=-
ờ
=-==-
ởị
Phng trỡnh mp[Q]: xyz43150-++= hoc [Q]: xy30 =.
Cõu hi tng t:
a]
AB
[0;0;1],[1;1;0] , POxy
1
[][],cos
6
a
=.
S: [Q]: xyz210-+-= hoc [Q]: xyz210 += .
www.VNMATH.com
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 10
Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
xyz
d
xyz
30
:
240
ì
++-=
í
++-=
î
. Viết
phương trình mặt phẳng [P] chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng [Oxy] một góc
0
60
a
= .
·
ĐS: Pxyz[]:2220++ = hoặc Pxyz[]:2220 +=
Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng Pxyz[]:52510-+-= và
Qxyz[]:48120 +=. Lập phương trình mặt phẳng
R
[] đi qua điểm M trùng với gốc tọa
độ O, vuông góc với mặt phẳng [P] và tạo với mặt phẳng [Q] một góc
0
45=
a
.
·
Giả sử PT mặt phẳng [R]: axbyczdabc
222
0[0]+++=++¹.
Ta có:
R
Pabc[][]5250^Û-+= [1];
·
abc
RQ
abc
0
222
482
cos[[],[]]cos45
2
9
=Û=
++
[2]
Từ [1] và [2]
Þ
ac
aacc
ca
22
760
7
é
=-
+-=Û
ê
=
ë·
Với ac=- : chọn abc1,0,1===-
Þ
PT mặt phẳng
R
xz[]:0-=
·
Với ca7= : chọn abc1,20,7===
Þ
PT mặt phẳng
R
xyz[]:2070++=
Câu hỏi tương tự:
a] Với PxyzQOyzM
0
[]:20,[][],[2;3;1],45 =º-=
a
.
ĐS:
R
xy[]:10++= hoặc
R
xyz[]:534230-+-=
Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình:
xyz
1
111
:
113
D
-+-
==
-
và
xyz
2
:
121
D
==
-
. Viết phương trình mặt phẳng [P] chứa
1
D
và
tạo với
2
D
một góc
0
30=
a
.
·
Đáp số: [P]: xyz511240+++= hoặc [P]: xyz220 =.
Câu hỏi tương tự:
a] Với
xyz
1
2
:
111
D
-
==
-
,
xyz
2
235
:
211
D
+
==
-
,
0
30=
a
.
ĐS: [P]:
xyz2220 += hoặc [P]: xyz240++-=
b]
xyz
1
11
:
211
D
-+
==
-
,
xyz
2
21
:
111
D
-+
==
-
,
0
30=
a
.
ĐS: [P]: xyz[18114]21[152114][3114]0++++ =
hoặc [P]: xyz[18114]21[152114][3114]0-++ +=
Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua điểm
M[1;2;3] và tạo với các trục Ox, Oy các góc tương ứng là
00
45,30 .
·
Gọi nabc[;;]=
r
là VTPT của [P]. Các VTCP của trục Ox, Oy là ij[1;0;0],[0;1;0]==
rr
.
Ta có:
OxP
OyP
2
sin[,[]]
2
1
sin[,[]]
2
ì
=
ï
ï
í
ï
=
ï
î
Û
ab
cb
2
ì
=
í
=
î
www.VNMATH.com
Tải File Word
Nhờ tải bản gốc