Ví dụ phương trình bậc 2 có nghiệm kép

Dạng 1: Giải và biện luận phương trình bậc hai

Phương pháp: Cho phương trình

1] .

2] :

+ phương trình có hai nghiệm phân biệt

+ phương trình có nghiệm kép \\

+ phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 1: Giải các phương trình:

1. a]
2. b] .
3. c]

Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình:

1. a]
2. b] .
3. c]
4. d]

Dạng 2: Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm}

Phương pháp: Cho phương trình: . Tìm điều kiện của tham số sao cho:

Loại 1:Phương trình vô nghiệm

Loại 2: Phương trình nhận mọi x làm nghiệm \\

Loại 3: Phương trình có nghiệm 

Loại 4: Phương trình có nghiệm duy nhất 

Loại 5: Phương trình có nghiệm kép 

Loại 6: Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất 

Ví dụ 3: Cho phương trình

1. a] Tìm m để phương trình có nghiệm.
2. b] Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu là độ dài 3 cạnh của tam giác thì phương trình vô nghiệm.

Dạng 3: Định lý Viet và ứng dụng

Định lý Viet: Nếu phương trình bậc hai có hai nghiệm thì ta có

Bài toán 1: Tìm 2 số biết tổng và tích của chúng.}

Phương pháp: Nếu hai số có thì là nghiệm của phương trình

Chú ý: Nếu [1] có hai nghiệm thì ta được

$\left[\begin{array}{l} u=t_1 \& v=t_2\\ u=t_2 \& v=t_1 \end{array}\right.$

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình

Bài toán 2: Tính giá trị biểu thức đối xứng giữa hai nghiệm

Ví dụ 4: Gọi là các nghiệm của phương trình . Tính giá trị của các biểu thức:

1. a]
2. b] latex
3. c]

Ví dụ 5: Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện .

Bài toán 3: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số}

Phương pháp:

Bước 1: Tìm đk của m để pt có nghiệm.

Bước 2: Áp dụng định lý Viet tính

Bước 3: Khử m từ hệ trên được hệ thức cần tìm.

Ví dụ 6: Cho phương trình .

1. a] Tìm để phương trình có nghiệm.
2. b] Với m tìm được ở câu a], hãy tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào .

Ví dụ 7: Cho phương trình .

1. a] Chứng minh rằng với mọi phương trình luôn có nghiệm.
2. b] Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm mà không phụ thuộc vào m.

Bài toán 4: Xác định dấu các nghiệm của phương trình

Phương pháp:

1. a] Phương trình có hai nghiệm trái dấu: \\
2. b] Phương trình có hai nghiệm cùng dấu: .\\
3. c] Phương trình có hai nghiệm dương: .\\
4. d] Phương trình có hai nghiệm âm: .

Ví dụ 8: Cho phương trình . Tìm m để phương trình:

1. a] có hai nghiệm trái dấu
2. b] có hai nghiệm cùng dấu
3. c] có hai nghiệm cùng dương
4. d] có hai nghiệm cùng âm
5. e] có hai nghiệm cùng âm
6. f] có đúng một nghiệm dương
7. g] có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.

Bài toán 5: Tìm điều kiện của tham số để nghiệm của phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện K cho trước

Phương pháp:

Bước 1: Tìm đk để pt có nghiệm .

Bước 2: Áp dụng định lý Viét ta được: [I].

Bước 3: Biểu diễn điều kiện K thông qua hệ [I].

Dạng 4: Một số bài toán khác

Bài toán 1: Lập phương trình bậc hai

Ví dụ 9:  Cho biết là nghiệm của phương trình bậc hai . Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là:

a] và

b] và

BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 1: Giải và biện luận các phương trình sau:

1. a]
2. b]
3. c]
4. e]

Bài 2:

Cho phương trình

1. a] Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.
2. b] Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Bài 3:Chứng minh rằng với mọi m phương trình sau luôn có hai nghiệm phân biệt

Bài 4: Giải các hệ phương trình sau:

1. a]

b]