- LG a
- LG b
Cho tứ diện \[ABCD\]. Qua điểm \[M\] nằm trên \[AC\] ta dựng một mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\]song song với \[AB\] và \[CD\]. Mặt phẳng này lần lượt cắt các cạnh \[BC\], \[BD\] và \[AD\] tại \[N\], \[P\] và \[Q\].
LG a
Tứ giác \[MNPQ\] là hình gì?
Phương pháp giải:
- Sử dụng tính chất: Cho đường thẳng \[d\] song song với mặt phẳng \[[\alpha]\]. Nếu mặt phẳng \[[\beta]\] chứa \[d\] và cắt \[[\alpha]\] theo giao tuyến \[d\] thì \[d\parallel d\].
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}d\parallel [\alpha ]\\d \subset [\beta ]\\[\alpha ] \cap [\beta ] = d'\end{array} \right.\\ \Rightarrow d\parallel d'\end{array}\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[ \left\{\begin{array}{l}[\alpha ]\parallel AB\\AB \subset [ABC]\\[\alpha ] \cap [ABC] = MN\end{array} \right. \]
\[\Rightarrow MN\parallel AB\]
Ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}[\alpha ]\parallel CD\\CD \subset [BCD]\\[\alpha ] \cap [BCD] = NP\end{array} \right.\]
\[\Rightarrow CD\parallel NP\]
Ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}[\alpha ]\parallel AB\\AB \subset [ABD]\\[\alpha ]\cap [ABD] = PQ\end{array} \right. \]
\[\Rightarrow PQ\parallel AB\]
Ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}[\alpha ]\parallel CD\\CD \subset [ACD]\\[\alpha ]\cap [ACD] = MQ\end{array} \right. \]
\[\Rightarrow MQ\parallel CD\]
Do đó \[MN\parallel PQ\] và \[NP\parallel MQ\].
Vậy tứ giác \[MNPQ\] là hình bình hành.
LG b
Gọi \[O\] là giao điểm hai đường chéo của tứ giác \[MNPQ\]. Tìm tập hợp các điểm \[O\] khi \[M\] di động trên đoạn \[AC\].
Phương pháp giải:
Sử dụng định lý Talet
Lời giải chi tiết:
Ta có \[MP\cap NQ=O\]. Gọi \[I\] là trung điểm của \[CD\].
Trong tam giác \[ACD\] có \[MQ\parallel CD\] \[\Rightarrow AI\cap MQ=E, E\] là trung điểm của \[MQ\].
Trong tam giác \[BCD\] có \[NP\parallel CD\] \[\Rightarrow BI\cap NP=F, F\] là trung điểm của \[MQ\].
Khi đó \[EF\] là đường trung bình của hình bình hành \[MNPQ\] \[\Rightarrow EF\parallel MN\] và \[O\] là trung điểm của \[EF\].
Trong tam giác \[ABI\] có \[EF\parallel AB\], \[O\] là trung điểm của \[EF\] khi đó \[IO\cap AB=J, J\] là trung điểm của \[AB\].
\[\Rightarrow I, O, J\] thẳng hàng, \[O\] thuộc \[IJ\] cố định.
Vì \[M\] di động trên \[AC\] nên \[O\] chạy trong đoạn \[IJ\].
Vậy tập hợp các điểm \[O\] là đoạn \[IJ\].