Bài 54 trang 14 sbt hình học 11 nâng cao

LG a

F là một phép tịnh tiến nếu k1k2= 1. Hãy xác định vec tơ tịnh tiến.

Lời giải chi tiết:

Lấy một điểm M bất kỳ, nếu V1biến M thành M1và V2biến M1thành M2thì \(\overrightarrow {{O_1}{M_1}} = {k_1}\overrightarrow {{O_1}M} \) và \(\overrightarrow {{O_2}{M_2}} = {k_2}\overrightarrow {{O_2}{M_1}} \).

Khi đó, phép hợp thành F biến M thành M2. Gọi I là ảnh của O1qua phép vị tự V2, tức là \(\overrightarrow {{O_2}I} = {k_2}\overrightarrow {{O_2}{O_1}} \).

Khi đó \(\overrightarrow {I{M_2}} = {k_2}\overrightarrow {{O_1}{M_1}} = {k_1}{k_2}\overrightarrow {{O_1}M} \).

(h.33)

Nếuk1k2= 1 thì \(\overrightarrow {I{M_2}} = \overrightarrow {{O_1}M} \) nên \(\overrightarrow {M{M_2}} = \overrightarrow {{O_1}I} = \overrightarrow {{O_1}{O_2}} + \overrightarrow {{O_2}I} = \left( {1 - {k_2}} \right)\overrightarrow {{O_1}{O_2}} \).

Vậy trong trường hợp này F là phép tịnh tiến vectơ \(\overrightarrow u = \left( {1 - {k_2}} \right)\overrightarrow {{O_1}{O_2}} \).

LG b

F là một phép vị tự nếu k1k21. Hãy xác định tâm và tỉ số của phép vị tự đó.

Lời giải chi tiết:

Nếu k1k2\(\ne\) 1 ta chọn điểm O3sao cho \(\overrightarrow {{O_3}I} = {k_1}{k_2}\overrightarrow {{O_3}{O_1}} \)

Khi đó \(\overrightarrow {{O_3}{M_2}} = \overrightarrow {{O_3}I} + \overrightarrow {I{M_2}} \)

\( = {k_1}{k_2}\overrightarrow {{O_3}{O_1}} + {k_1}{k_2}\overrightarrow {{O_1}M} \)

\( = {k_1}{k_2}\overrightarrow {{O_3}M} \)

Vậy F là phép vị tự tâm O3tỉ số \({k_1}{k_2}\).

Chú ý rằng tâm O3của phép vị tự đó được xác định bởi đẳng thức:

\(\overrightarrow {{O_3}I} = {k_1}{k_2}\overrightarrow {{O_3}{O_1}} \)

Hay \(\overrightarrow {{O_3}{O_1}} + \overrightarrow {{O_1}{O_2}} + \overrightarrow {{O_2}I} = {k_1}{k_2}\overrightarrow {{O_3}{O_1}} \).

Suy ra: \(\overrightarrow {{O_1}{O_2}} + {k_2}\overrightarrow {{O_2}{O_1}} = \left( {1 - {k_1}{k_2}} \right)\overrightarrow {{O_1}{O_3}} \).

Do đó: \(\overrightarrow {{O_1}{O_3}} = {{1 - {k_2}} \over {1 - {k_1}{k_2}}}\overrightarrow {{O_1}{O_2}} \).

Cũng chú ý rằng tâm của ba phép vị tự V1, V2và F là ba điểm thẳng hàng O1, O2và O3.