Bài tập tính tuần hoàn của hàm số lượng giác

CÁC DẠNG BÀI HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 11 CÓ LỜI GIẢI
Chủ đề: Hàm số lượng giác
Dạng 1: Tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác
Trắc nghiệm tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác
Dạng 2: Tính chẵn, lẻ và chu kì của hàm số lượng giác
Trắc nghiệm tính chẵn, lẻ và chu kì của hàm số lượng giác
Tìm tập xác định của hàm số lượng giác
Tính đơn điệu của hàm số lượng giác
Xác định tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác
Tính chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác
60 bài tập trắc nghiệm hàm số lượng giác có đáp án chi tiết [phần 1]
60 bài tập trắc nghiệm hàm số lượng giác có đáp án chi tiết [phần 2]

Chủ đề: Hàm số lượng giác
Dạng 1: Tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác
Tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác
A. Phương pháp giải & Ví dụ


Ví dụ minh họa

Đáp án và hướng dẫn giải
1.


Vậy tập xác định của hàm số trên là

2.

Vậy tập xác định của hàm số trên là

3.


Vậy tập xác định của hàm số trên là

B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a] tan[2x - π/4]
Lời giải:
a.

b] cot [2x-2]


b. ĐKXĐ: sin[2x-2] 0 2x-2 kπ x kπ/2 + 1 [k z]
Bài 2: Tìm tập xác định và tập giá trị của các hàm số sau:

Lời giải:
a. ĐKXĐ: x 1
Tập giá trị: D= [-1 ,1]
b. ĐKXĐ: cosx 0

Tập giá trị: D= [0,1]
Bài 3: Tìm tập giá trị của các hàm số sau:

Lời giải:


tập giá trị D= R

b. Ta có:

0 1-cosx2 2 tập giá trị = [0,2]
Bài 4: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

Lời giải:
a. Làm giống VD ý 3
b.

Bài 5: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

Lời giải:
a. ĐKXĐ:


b. ĐKXĐ:

Trắc nghiệm tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác
Trắc nghiệm tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác
Bài 1: Tìm tập xác định D của hàm số y = [sinx + 2]/ [sinx.cos2x]
A. D = R\ {kπ/2, k Z}
C. D = R\ {π/2+k2π, k Z}

B. D = R \ {π/2+kπ, k Z}
D. D = R\ {kπ, k Z}

Hiển thị đáp án
Đáp án: A

Bài 2: Tập xác định D của hàm số

A. D = R\ {-π/2+kπ, k Z}
C. D = R

là

B. D = R\ {-π/2+k2π, k Z}

D. D = R\ {π/2+k2π, k Z}


Hiển thị đáp án
Đáp án: B

Bài 3: Tìm tập xác định của hàm số sau: y = 2017/sinx
A. D = R

B. D = R\ {kπ, k Z}
D. D = R\ {π/2+kπ, k Z}

C. D = R\{0}
Hiển thị đáp án
Đáp án: B

ĐKXĐ sinx 0 x kπ , k Z. Đáp án B
Bài 4: Tìm tập giá trị của hàm số sau:
A. D = R

B. D = R\ {-π/2+k2π, k Z}
D. D = R\ {π/2+k2π, k Z}


C. D = R\{0}
Hiển thị đáp án
Đáp án: A

Hàm cot xác định trên toàn bộ R nên tập giá trị D = R. Đáp án A
Bài 5: Tìm tập xác định của hàm số sau
B. D =

A. D = [0,2π]
C. D = R

D. D = [-2,+]

Hiển thị đáp án


Đáp án: C
ĐKXĐ: sinx + 2 0 [luôn đúng do sinx -1]. Đáp án C.

Bài 6: Hàm số

không xác định trong tập nào sau đây?

Hiển thị đáp án
Đáp án: B

Bài 7: Hàm số y = 1/sinx không xác định trong tập nào sau đây?
A. D ={-π/2+kπ, k Z}
C. D = R


B. D = {-π/2+k2π, k Z}

D. D = {π+k2π, k Z}

Hiển thị đáp án
Đáp án: D
Từ bài 3 ta có đáp án là D.
Bài 8: Hàm số y = tanx xác định trong tập nào sau đây?
A. D = {-π/2+kπ, k Z}
C. D = R

B. D = {-π/2+k2π, k Z}

D. D = {π+k2π, k Z}

Hiển thị đáp án


Đáp án: A
ĐKXĐ cosx 0 x π/2+ kπ, k Z. Đáp án A.
Bài 9: Tìm tập giá trị của hàm số sau:
A. D = [0,+]
C. D = R

B. D =

D. D = [1,3]

Hiển thị đáp án
Đáp án: D

Ta có -1 sinx 1 nên 1 sinx+2 3. Đáp án D.
Bài 10: Tìm tập giá trị của hàm số sau: y = 2017/sinx
A. D = R\ {0}

B. D = [-2017,2017]

C. D = R D.

D = [-,-2017][2017,+]

Hiển thị đáp án
Đáp án: D

Bài 11: Tìm tập giá trị của hàm số sau:
A. D = R\ {0}
C. D = R

B. D = [0,1]
D. D =[0,+]

Hiển thị đáp án
Đáp án: B


Ta có -1 sinx 1

Bài 12: Tìm tập xác định của hàm số sau
A. D = R\ {-π/2+kπ, k Z}
C. D = R


B. D = R\ {-π/2+k2π, k Z}

D. D = R\ {π/2+k2π, k Z}

Hiển thị đáp án
Đáp án: C
Ta có -1 sinx 1 nên [2 sinx] [1,3] [luôn dương] nên hàm số đã cho luôn
xác định trên toàn bộ R. Đáp án C
Bài 13: Tìm tập giá trị của hàm số sau
A. D = [1,3]
C. D = R

B. D = [0,1]
D. D = [0,3]

Hiển thị đáp án
Đáp án: A
Từ bài 12 ta có tập giá trị của hàm số đã cho là [1,3]. Đáp án A

Bài 14: Tìm tập xác định của hàm số sau:
A. D = R\ {-π/2+kπ, k Z}
C. D = R

D. D = R\ {π/2+k2π, k Z}

Hiển thị đáp án
Đáp án: C

B. D = [-,2]



Ta có - 1 sin[x+2] 1 nên 1- sin[x+2] 0 với mọi x. Đáp án C.

Bài 15: Tìm tập xác định của hàm số sau:
A. D = R\ {π/2+kπ, k Z}
C. D = R

B. D = R\ {π/2+k2π, k Z}

D. D = R\ {π+kπ, k Z}

Hiển thị đáp án
Đáp án: A

Dạng 2: Tính chẵn, lẻ và chu kì của hàm số lượng giác
Tính chẵn, lẻ và chu kì của hàm số lượng giác
A. Phương pháp giải & Ví dụ
a. Tính tuần hoàn và chu kì:
Định nghĩa: Hàm số y = f[x] có tập xác định được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu
tồn tại một số T0 sao cho với mọi x D ta có:
[x- T] D và [x + T] D
f [x + T] = f[x].
Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số
tuần hoàn đó. Người ta chứng minh được rằng hàm số y = sinx tuần hoàn với chu
kì T = 2 π ; hàm số y = cosx tuần hoàn với chu kì T = 2 π; hàm số y = tanx tuần
hoàn với chu kì T = π; hàm số y = cotx tuần hoàn với chu kì T = π
Chú ý:


Hàm số y = sin[ax + b] tuần hoàn với chu kì T =


Hàm số y = cos[ax + b] tuần hoàn với chu kì T =

Hàm số y = tan[ax + b] tuần hoàn với chu kì T =

Hàm số y = cot[ax + b] tuần hoàn với chu kì T =
Hàm số y = f1[x] tuần hoàn với chu kì T1 và hàm số y = f2[x] tuần hoàn với chu
kì T2 thì hàm số y = f1[x] ± f2[x] tuần hoàn với chu kì T0 là bội chung nhỏ nhất của
T1 và T2 .
b. Hàm số chẵn, lẻ:
Định nghĩa:
Hàm số y = f[x] có tập xác định là D được gọi là hàm số chẵn nếu:
x D và x D.
f[x] = f[-x].
Hàm số y = f[x] có tập xác định là D được gọi là hàm số lẻ nếu:
x D và x D.
f[x] = - f[-x].
Ví dụ minh họa
Bài 1: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của các hàm số sau:


Hướng dẫn giải
a. Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T = 2π/2 = π.
b.

Ta có hàm số y = cosx tuần hoàn với chu kì T = 2 π , hàm số y = cos2x tuần hoàn
với chu kì T = π. Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T = 2 π .
Bài 2: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của các hàm số sau: y = cosx +
cos3x.
Hướng dẫn giải

Giả sử hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T 0. Khi đó ta có:
cos[x + T] + cos[3[x +T]] = cosx + cos3x.
Cho x = 0. Ta có: cosT + cos3T = 2. Vì cosx 1 với mọi x nên ta có:

mà m, k Z [vô lý]. Vậy hàm số đã cho không tuần hoàn.
Bài 3: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
a. y = sinx.
b. y = cos[2x].
c. y = tanx + cos[2x + 1].


Hướng dẫn giải
a. Tập xác định D = R. Lấy x D thì x D. Ta có: sin [-x] = -sinx. Vậy hàm
số đã cho là hàm số lẻ.
b. Tập xác định D = R. Lấy x D thì x D. Ta có: cos[-2x] = cos[2x]. Vậy
hàm số đã cho là hàm số chẵn.
c.

Lấy x D thì x D. Ta có:
tan[-x] + cos[-2x + 1] = -tanx + cos[-2x + 1].
Vậy hàm số đã cho không chẵn, không lẻ.
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của các hàm số sau:
a] y = cos[-2x +4]
b] y = tan[7x + 5]
Lời giải:
a] Hàm số đã cho làm hàm tuần hoàn với chu kì T = 2π/2 = π
b] Hàm số đã cho làm hàm tuần hoàn với chu kì T =π /7.
Bài 2: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của hàm số sau: y = sinx + sin3x
Lời giải:

Ta có y = sinx là hàm tuần hoàn với chu kì T = 2 π và hàm số y = sin3x là hàm
tuần hoàn với chu kì T = [2 π]/3. Vậy hàm số đã cho là hàm tuần hoàn với chu kì
T=2π.


Bài 3: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của các hàm số sau: y = cosx +
2sin5x
Lời giải:
Làm tương tự bài 2 và sử dụng chú ý phần tính tuần hoàn và chu kì, ta có hàm số
đã cho là hàm tuần hoàn với chu kì T = 2 π .
Bài 4: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a] y = cosx + cos2x
b] y = tanx + cotx.
Lời giải:
a] Ta có tập xác định của hàm số là D = R.
cos[-x] + cos[-2x] = cosx + cos2x. Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
b] Ta có tập xác định của hàm số là D = R\{k π/2, k Z}.
tan[-x] + cot[-x] = - tanx cotx. Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
Bài 5: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a] y = cosx + sinx.
b] y = sin2x + cot100x
Lời giải:
a] Ta có tập xác định của hàm số là D = R.
sin [-x] + cos[-x] = - sinx + cosx. Vậy hàm số đã cho là hàm không chẵn, không
lẻ.
b] Ta có tập xác định của hàm số là D = R\{k π /100, k Z}.
sin[-2x] + cot[-100x] = - sin2x cot[100x]. Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
Trắc nghiệm tính chẵn, lẻ và chu kì của hàm số lượng giác



Trắc nghiệm tính chẵn, lẻ và chu kì của hàm số lượng giác
Bài 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
A. y = sinx

B. y = cosx

C. y = tan x

D. y = cotx

Hiển thị đáp án
Đáp án: B
Sử dụng định nghĩa để kiểm tra tính chẵn, lẻ. Ta có hàm số chẵn là y = cosx. Đáp
án B.
Bài 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
A. y = cosx + [sinx]2
C.y = -cosx

B. y = sin x + cosx

D. y = sinx.cos3x

Hiển thị đáp án
Đáp án: D
Ta có sin[-x].cos[-3x] = -sinx.cos3x. Đáp án D.
Bài 3: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?

Hiển thị
đáp án
Đáp án: B

Hàm số chẵn có đồ thị đối xứng qua trục tung. Ta có hàm số
y = sin3 x.cos[x - π/2] = sin4 x là một hàm số chẵn. Đáp án B.
Bài 4: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?


Hiển thị đáp án
Đáp án: A
Hàm số lẻ có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ. Bằng cách kiểm tra tính chẵn, lẻ ta
có y = cot4x là một hàm số lẻ. Đáp án A.
Bài 5: Cho hàm số f[x] = sin2x và g[x] = tan2 x Chọn mệnh đề đúng
A. f[x] là hàm số chẵn, g[x] là hàm số lẻ.
B. f[x] là hàm số lẻ, g[x] là hàm số chẵn.
C. f[x] là hàm số chẵn, g[x] là hàm số chẵn.
D. f[x] và g[x] đều là hàm số lẻ.
Hiển thị đáp án
Đáp án: B
Ta có sin[-2x] = -sin 2x, tan2 [-x] = tan2 x. Vậy đáp án là B
Bài 6: Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kì 2 π
B. Hàm số y = cosx tuần hoàn với chu kì 2 π
C. Hàm số y = tanx tuần hoàn với chu kì 2 π
D. Hàm số y = cotx tuần hoàn với chu kì π
Hiển thị đáp án
Đáp án: C


Sử dụng chú ý phần tính tuần hoàn ta có đáp án là C.
Bài 7: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?
A. y = sin x


B. y = sinx + x

C. y = xcosx

D. y = [sinx] / x

Hiển thị đáp án
Đáp án: A
Ta có y = sinx là hàm tuần hoàn với chu kì 2 π . Đáp án A.
Bài 8: Tìm chu kì T của hàm số y = sin[5x - π/4]
A. T = [2 π]/5

B. T = [5 π]/2

C. T = π/2

D. T = 2π/8

Hiển thị đáp án
Đáp án: A
Sử dụng chú ý phần tính tuần hoàn ta có hàm số đã cho là hàm tuần hoàn với chu
kì
T = 2 π /5. Đáp án A.

Bài 9: Tìm chu kì T của hàm số
A. T = 4π

B. T = 2π

C. T = -2π


D. T = π

Hiển thị đáp án
Đáp án: A
Ta có hàm số đã cho làm hàm tuần hoàn với chu kì T = [2 π]/[0.5 ] = 4 π . Đáp án
A.
Bài 10: Tìm chu kì T của hàm số y = cos2x + sin[x/2]
A. T = 4π

B. T = π

Hiển thị đáp án

C. T = 2π

D. T = π - 1


Đáp án: A
Ta có y = cos2x là hàm tuần hoàn với chu kì T = π. Hàm số y = sinx/2 là hàm tuần
hoàn với chu kì T = 4 π . Vậy hàm số đã cho là hàm tuần hoàn với chu kì 4 π.
Đáp án A.
Tìm tập xác định của hàm số lượng giác
Tìm tập xác định của hàm số lượng giác
A. Phương pháp giải
+ Hàm số y = 1/f[x] xác định khi f[x] 0 .
+ Hàm số y= [f[x]] xác định khi f[x] 0.
+ Hàm số y = 1/[f[x]] xác định khi f[x]> 0
+ Hàm số y= tan [f[x]] xác định khi cos[f[x]] 0 .

+ Hàm số y = cot [f[x]] xác định khi sin[ f[x]] 0
+ Hàm số y= tan[ f[x]]+cot[g[x]] xác định khi cos[f[x]] 0;sin[ g[x]] 0
* Chú ý:
sinx 0 x k.π
cosx 0 x π/2+kπ với k nguyên
sinx 1 x π/2+k2π và sinx -1 x -π/2+k2π
cosx 1 x k2π và cosx -1 x π+k2π
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tìm tập xác định D của hàm số
A.


B.
C.

D.
Lời giải:
Chọn C.
Hàm số xác định khi và chỉ khi
Vậy tập xác định

Ví dụ 2. Tìm tập xác định D của hàm số
A.

.

B.
C.
D.


.
.
.

Lời giải:
Chọn D
Hàm số xác định khi và chỉ khi
Vậy tập xác định

.


Ví dụ 3. Tập xác định của hàm số

. là

A.
B.

C.

D.
Lời giải:
Chọn B
Ta có

.

Vậy hàm số đã cho xác định với mọi xR
Ví dụ 4. Hàm số


chỉ xác định khi:

A.x π/2 +kπ, kZ .
B.x=0 .
C.x kπ,kZ .
D.x= k2π,kZ .
Lời giải:
Chọn D
Hàm số đã cho xác định khi cos x - 1 0, mà cos x - 1 0,xR
Do vậy để hàm số xác định thì cosx=1, x= k2π,kZ


Ví dụ 5. Tập xác định của hàm số

là:

A. R

B.

.

C.

.

D.

.


Lời giải:
Chọn C
Hàm số xác định khi cos[x/2-π/4] 0
x/2-π/4 π/2+kπ x/2 3π/4+kπ
x 3π/2+k2π,k Z

Ví dụ 6: Tập xác định của hàm số D.
A. R\{π/6+kπ/2,k Z}.

B.

C.

.

.

. là:


D.

.

Lời giải:
Chọn A
Hàm số xác định khi sin[2x-π/3] 0
2x-π/3 kπ 2x π/3+ kπ
x π/6+kπ/2,k Z

Ví dụ 7. Xét hai mệnh đề sau:
[I]: Các hàm số y= sin x và y= cosx có chung tập xác định là R
[II]: Các hàm số y= tanx và y= cotx có chung tập xác định là

.

.

A. Chỉ [I] đúng. B. Chỉ [II] đúng. C. Cả hai đều sai. D. Cả hai đều đúng.
Lời giải:
Chọn A
+ Hai hàm số y= sinx và y= cosx có chung tập xác định là D = R
[I] đúng

+ Hàm số y= tanx tập xác định là
Và hàm số y= cot x tập xác định là
suy ra [II] sai

.
.


Ví dụ 8: Tập xác định của hàm số

là:

A.

B.


C.

D.
Lời giải:
Chọn A

ĐK:

.

Tập xác định .

.

Ví dụ 9: Tập xác định của hàm số

A.

. là:

.