A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. PHÉP BIẾN HÌNH
Định nghĩa:
Quy tắc tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm duy nhất M’ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.
Kí hiệu: F[M] = M’
Nếu H là hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu: H’ = F[H] là tập hợp các điểm M’ = F[M] với mọi M thuộc H. khi đó, ta nói F là phép biến hình H thành hình H’.
Trong đó:M’ là ảnh của M qua phép biến hình F
Ví dụ:
– M’ là điểm đối xứng của M qua I. ta gọi M’ là ảnh của M qua phép biến hình F đối xứng tâm I.
Đường kính AB của đường tròn [O] là trục đối xứng. Lấy dây M’M vuông góc AB tại H. ta gọi M’ là ảnh của M qua phép biến hình F đối xứng trục AB…
2. PHÉP TỊNH TIẾN:
Định nghĩa:
Trong mặt phẳng cho vectơ . phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho:
Kí hiệu:
Tính chất:
Định lí 1:
Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M và N lần lượt thành M’ và N’ thì .
Định lí 2:
Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó.
Hệ quả:
Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính, biến góc thành góc bằng nó.
Xem thêm: Hướn Dẫn Cách Tắt Định Vị Zenly, Bật Tắt Chế Độ Tàng Hình Trên Zenly
Biểu thức tọa độ của Phép tịnh tiến:
Trong mặt phẳng
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Lý thuyết, các dạng toán và bài tập phép tịnh tiến, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.
Nội dung bài viết Lý thuyết, các dạng toán và bài tập phép tịnh tiến: PHÉP TỊNH TIẾN. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM. Khi đẩy một cánh cửa trượt sao cho chốt của dịch chuyển từ vị trí A đến vị trí B ta thấy từng điểm của cánh cửa cũng được dịch chuyển một đoạn bằng AB và theo hướng từ A đến B. Khi đó ta nói cánh cửa được tình tiến theo vectơ AB. Định nghĩa. Trong mặt phẳng cho vectơ v. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M sao cho MM’ = v được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v. Phép tịnh tiến theo vectơ v thường được ký hiệu là T được gọi là vectơ tịnh tiến. Phép tịnh tiến theo vectơ. không chính là phép đồng nhất. Phép tịnh tiến Tbiến các điểm A, B, C tương ứng thành các điểm A, B, C. Phép tịnh tiến T biển hình H thành hinh. Tính chất. Tính chất. Nếu T[M] = M, T[N] = N’ thì M’N’ = MN và từ đó suy ra M’N’ = MN. Nói cách khác, phép tính tiền bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Từ tính chất 1 ta chứng minh được tính chất sau. Tính chất 2. Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. Biểu thức tọa độ trong mặt phẳng Oxy cho điểm M[x; y] và vectơ v = [a; b]. Gọi M [x; y] = T[M]. Ta có: Đây là biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến theo vectơ v. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP. Dạng 1. Xác định ảnh của một hình qua một phép tịnh tiến. Phương pháp giải: Dùng định nghĩa, tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến. Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho v = [2; -1] và đường thẳng d có phương trình 5x + 3y – 1 = 0. Thế x, y vào phương trình của đó. Vậy phương trình đường thẳng d’: 5x + 3y – 8 = 0. Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn [C] có phương trình x + y – 4x + 2y – 4 = 0. Tìm ảnh của [C] qua phép tịnh tiến theo vectơ v = [3; 2]. Cách 1. Biểu thức tọa độ của T là y = y’- 2. Thay vào phương trình của [C]. Vậy ảnh của [C] qua T là: [C]:x + y2 – 10x – 2y + 17 = 0. Cách 2. Đường tròn có tâm I[2; -1] và bán kính r = 3. Ảnh I’ = T[I] có tọa độ [5; 1]. Đường tròn ảnh [C] có tâm I[1; 1] và bán kính r’ = r = 3 nên có phương trình: [x – 5] + [y – 1] = 92x + y – 10x – 2y + 17 = 0. Dạng 2. Dùng phép tịnh tiến để tìm tập hợp điểm di động. Phương pháp giải: Chứng minh tập hợp điểm phải tìm là ảnh của một hình đã biết qua một phép tịnh tiến. Ví dụ: Cho đường tròn [C] qua điểm A cố định và có bán kính R không đổi. Một đường thẳng d có phương không đổi đi qua tâm I của [C]. Đường thẳng d cắt [C] tại hai điểm M và M. Tìm tập hợp các điểm M và M’. Tập hợp các điểm I là đường tròn [I], tâm A, bán kính R. Vì IM có phương không đổi [phương của d] và IM = R [không đổi] nên IM=v [vectơ hằng]. Do đó: M = T [I]. Vậy, tập hợp điểm M là đường tròn [I], ảnh của [1] qua T. Tương tự, IM’ = -v nên M’ = T [I]. Vậy tập hợp những điểm M là đường tròn [I”] ảnh của [I] qua T. Dạng 3. Dùng phép tịnh tiến để dựng hình Phương pháp giải: Muốn dựng một điểm, N chẳng hạn, ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Xác định điểm M và phép tịnh tiến theo vectơ v sao cho T [M] = N. Bước 2. Tìm cách dựng điểm M rồi suy ra N. Ví dụ: Cho hai điểm cố định A, B phân biệt và hai đường thẳng d, d, không song song với nhau. Giả sử điểm M thuộc d và điểm N thuộc d, sao cho ABMN là hình bình hành. Hãy dựng điểm N. Giả sử bài toán đã giải xong, ta có M c d , Ned, và ABMN là hình bình hành. Vì ABMN là hình bình hành nên NM = AB, suy ra M = TAB [N]. Gọi d’ là ảnh của dã qua TB thì M = dody’. Cách dựng M: Dựng d = TAB[d]. Gọi d = M , M là điểm phải dựng. Vì d, không song song với du [giả thiết] nên d’ cắt d tại một điểm duy nhất. Bài toán luôn luôn có một lời giải. Để dựng N, ta dựng ảnh của M trong TP.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho đường thẳng d. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng d thành chính nó? Vectơ tịnh tiến có giá song song với d. Câu 2. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d”. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng d thành đường thẳng do? Vì phép tịnh tiến biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đó. Câu 3. Cho hai đường thẳng song song d và d”. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng d thành đường thẳng do? Vectơ tịnh tiến có giá không song song với d. Câu 4. Cho hai đường thẳng song song a và ao, một đường thẳng c không song song với chúng. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng a thành đường thẳng a và biến đường thẳng c thành chính nó? Giả sử c cắt a và ao tại A và A’. Vectơ tịnh tiến phải là AA’. Câu 5. Cho bốn đường thẳng a, b, ao, bỏ trong đó a || a’, b || b’ và a cắt b. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng a thành đường thẳng a và biến mỗi đường thẳng b và bỏ thành chính nó? Giả sử b cắt a tại A và A”. Vectơ tịnh tiến phải là AA’.