Với cách giải các dạng toán về hình chữ nhật môn Toán lớp 8 Đại số gồm phương pháp giải chi tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập các dạng toán về hình chữ nhật lớp 8. Mời các bạn đón xem:
Các dạng toán về Hình chữ nhật và cách giải - Toán lớp 8
- Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa: Hình chữ nhật là tứ giác có 4 góc vuông
Tứ giác ABCD là hình chữ nhật⇔A^=B^=C^=D^=90o
Nhận xét: Hình chữ nhật cũng là một hình bình hành, một hình thang cân
2. Tính chất
- Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành và hình thang cân.
- Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
3. Dấu hiệu nhận biết:
- Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
- Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.
- Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
- Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
4. Áp dụng vào tam giác vuông:
- Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
- Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.
II. Các dạng toán và ví dụ minh họa
Dạng 1: Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật
Phương pháp giải: Vận dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật.
- Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
- Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.
- Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
- Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M bất kì trên cạnh BC. Gọi D và E theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC. Tứ giác ADME là hình gì? Tại sao?
Lời giải:
∆ABC vuông tại A nên BAC^=90o; mà D thuộc cạnh AB, E thuộc cạnh AC nên DAE^=90o
Vì MD⊥AB tại D nên ADM^=90o
ME⊥AC tại E nên AEM^=90o
Xét tứ giác ADME có:
DAE^=ADM^=AEM^=90o
Vậy tứ giác ADME là hình chữ nhật [theo dấu hiệu nhận biết].
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Gọi D là điểm đối xứng với G qua M, gọi E là điểm đối xứng với G qua N. Tứ giác BEDC là hình gì? Vì sao?
Lời giải:
Ta có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác ABC.
Theo tính chất trọng tâm tam giác ta có:
BG=2GMCG=2GN[1]
Lại có: G đối xứng với với D qua M⇒GM = MD⇒GD = 2GM [2]
G đối xứng với E qua N⇒GN = EN⇒GE = 2GN [3]
Từ [1]; [2]; [3]⇒BG=GDCG=GE⇒G là trung điểm của BD; G là trung điểm CE
Xét tứ giác BCDE có:
G là trung điểm của đường chéo BD
G là trung điểm đường chéo CE
Do đó: tứ giác BCDE là hình bình hành
Lại có:
ΔABC cân tại A nên AB = AC. Mà M là trung điểm của AC, N là trung điểm AB nên BN = CM
Xét tam giác BNC và tam giác CMB có:
BC chung
BN = CM
NBC^=MCB^ [do tam giác ABC cân tại A]
Do đó: ΔBNC=ΔCMB [c – g –c]
⇒CN = BM [hai cạnh tương ứng]
Mà CN=34ECBM=34BD
Do đó EC = BD.
Xét hình bình hành BCDE có hai đường chép EC và BD bằng nhau
⇒Hình bình hành BCDE là hình chữ nhật [dấu hiệu nhận biết].
Dạng 2: Vận dụng tính chất của hình chữ nhật để chứng minh các tính chất hình học
Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa và các tính chất về cạnh, góc và đường chéo của hình chữ nhật và các kiến thức đã học về tứ giác đặc biệt.
Ví dụ: Tứ giác ABCD có AB⊥CD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của BC, BD, AD, AC. Chứng minh rằng EG = FH.
Lời giải:
Vì E là trung điểm của BC, H là trung điểm của AC nên EH là đường trung bình của ∆ABC⇒EH // AB [*] và EH=12AB [tính chất đường trung bình của tam giác] [1]
Tương tự ta chứng minh được GF là đường trung bình của ∆ABC⇒GF // AB và GF=12AB [tính chất đường trung bình của tam giác] [2]
Từ [1] và [2]⇒HE // GF; HE = GF⇒GHEF là hình bình hành [theo dấu hiệu nhận biết] [**]
Mặt khác ta cũng chứng minh được EF là đường trung bình của ∆BCD⇒EF // CD [3]
Kết hợp với AB⊥CD [gt] [4]
Kết hợp [*], [3] và [4]⇒HE⊥EF⇒HEF^=90o[***]
Từ [**] và [***] ta có EFGH là hình chữ nhật [theo dấu hiệu nhận biết]. Từ đó suy ra hai đường chéo EG = FH [tính chất của hình chữ nhật].
Dạng 3: Sử dụng định lý thuận và đảo của đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông
Phương pháp giải: Sử dụng định lý về tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông để tính độ dài đoạn thẳng hoặc chứng minh các hình bằng nhau hoặc chứng minh tam giác vuông.
Ví dụ 1: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BD. Biết HB = 2 cm, HD = 6 cm. Tính độ dài AB, AD.
Lời giải:
Ví dụ 2: Cho ∆ABC vuông tại A, trung tuyến AM. Biết AB = 3cm, AC = 4cm. Tính độ dài AM.
Lời giải:
Ví dụ 3: Cho hình thang vuông ABCD [A^=D^=90o] có các điểm E, F thuộc cạnh AD sao cho AE = DF và BFC^=90o. Chứng minh BEC^=90o
Lời giải:
Gọi N là trung điểm của EF
⇒NE = NF, mà AE = DF [gt]
⇒AE + NE = DF + NF
⇒AN = DN
⇒N là trung điểm của AD
Gọi M là trung điểm của BC
Khi đó: MN là đường trung bình của hình thang ABCD
⇒MN // AB.
Mặt khác AB⊥AD [do hình thang ABCD vuông tại A và D]
Nên MN⊥AD⇒MN⊥EF
Xét ΔMEF có:
MN là đường cao,
MN là đường trung tuyến [do N là trung điểm của EF]
⇒ΔMEF cân tại M nên ME = MF [1]
Lại có:
ΔBFC vuông tại F
M là trung điểm của BC
Nên MF = MB = MC [tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông] [2]
Từ [1] và [2]⇒ME = MB = MC.
⇒∆BEC vuông tại E [định lý đường trung tuyến ứng với cạnh huyền]
⇒BEC^=90o [đpcm].
Dạng 4. Tìm điều kiện để tứ giác là hình chữ nhật
Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật.
Ví dụ: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.
- Chứng minh EFGH là hình bình hành.
- Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để EFGH là hình chữ nhật.
Lời giải:
- Ta có:
E là trung điểm của AB, H là trung điểm của AD nên HE là đường trung bình của ∆ABC⇒HE // BD; HE=12BD[1]