- Bước 1: Tính \[y'\], giải phương trình \[y' = 0\] tìm các nghiệm \[{x_1},{x_2},...{x_n}\] thỏa mãn \[a \le {x_1} < {x_2} < ... < {x_n} \le b\]
- Bước 2: Tính các giá trị \[f\left[ a \right],f\left[ {{x_1}} \right],...,f\left[ {{x_n}} \right],f\left[ b \right]\]
Bài viết hướng dẫn phương pháp giải các dạng toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số [GTLN – GTNN của hàm số] trong chương trình Giải tích 12 chương 1.
- TÓM TẮT SÁCH GIÁO KHOA Giả sử hàm số $f$ xác định trên tập hợp $X \subset R.$
- Nếu tồn tại một điểm ${x_0} \in X$ sao cho $f[x] \le f\left[ {{x_0}} \right]$ với mọi $x \in X$ thì số $M = f\left[ {{x_0}} \right]$ được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $f$ trên $X.$ Kí hiệu: $M = \mathop {\max }\limits_{x \in X} f[x].$
- Nếu tồn tại một điểm ${x_0} \in X$ sao cho $f[x] \ge f\left[ {{x_0}} \right]$ với mọi $x \in X$ thì số $m = f\left[ {{x_0}} \right]$ được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số $f$ trên $X.$ Kí hiệu: $m = \mathop {\min }\limits_{x \in X} f[x].$
- PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Tùy theo tập hợp $X$ và hàm số $f$ ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau: Vấn đề 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $f[x]$ trên $X = [a; b].$ 1. PHƯƠNG PHÁP: Nếu hàm số $f[x]$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ và $f[x]$ có đạo hàm trên $[a;b]$, có thể tìm GTLN và GTNN của hàm số $f[x]$ trên đoạn $[a;b]$ theo quy tắc sau: Bước 1. Tìm các điểm ${x_i} \in [a;b]$ $[i = 1,2, \ldots ]$ mà tại các điểm đó hàm số $f[x]$ có đạo hàm bằng $0.$ Bước 2. Tính các giá trị $f\left[ {{x_i}} \right]$ $[i = 1,2, \ldots ]$, $f[a]$ và $f[b].$ Bước 3. Số lớn nhất trong các giá trị trên là GTLN của hàm số $f[x]$ trên đoạn $[a;b].$ Số nhỏ nhất trong các giá trị trên là GTNN của hàm số $f[x]$ trên đoạn $[a;b].$ Chú ý: Khi bài toán không chỉ rõ tập hợp $X$ thì ta hiểu tập $X$ chính là tập xác định $D$ của hàm số.
2. CÁC VÍ DỤ: Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: $f[x] = {x^3} – 3x + 2$ trên đoạn $[0;2].$
Tập xác định: $D = R$, $X = [0;2].$ $f'[x] = 3{x^2} – 3.$ $f'[x] = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 1 \in X}\\ {x = – 1 \notin X} \end{array}} \right..$ Ta có: $f[0] = 2$, $f[1] = 0$ và $f[2] = 4.$ Vì $f$ là hàm số liên tục trên $[0; 2]$ nên ta có: $\mathop {\max }\limits_{x \in [0;2]} f[x] = 4$ đạt tại $x = 2.$ $\mathop {\min }\limits_{x \in [0;2]} f[x] = 0$ đạt tại $x = 1.$
Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: $f[x] = \sqrt {x – 1} + \sqrt {9 – x} .$
Tập xác định: $D = [1;9]$, $X = D = [1;9].$ $f'[x] = \frac{1}{{2\sqrt {x – 1} }} – \frac{1}{{2\sqrt {9 – x} }}$ $ = \frac{{\sqrt {9 – x} – \sqrt {x – 1} }}{{2\sqrt {x – 1} .\sqrt {9 – x} }}.$ $f'[x] = 0$ $ \Leftrightarrow \sqrt {9 – x} = \sqrt {x – 1} $ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x – 1 \ge 0}\\ {9 – x = x – 1} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = 5 \in X.$ Ta có: $f[1] = \sqrt 8 $, $f[5] = 4$ và $f[9] = \sqrt 8 .$ Vì $f$ là hàm số liên tục trên $[1;9]$ nên ta có: $\mathop {\max }\limits_X f[x] = 4$ đạt tại $x = 5.$ $\mathop {\min }\limits_X f[x] = \sqrt 8 $ đạt tại $x = 1$ hay $x = 9.$
3. BÀI TẬP: 1. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số:
- $f[x] = \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} + 3x – 4$ trên $[ – 4;0].$
- $f[x] = \frac{{2{x^2} + 5x + 4}}{{x + 2}}$ trên $[ – 1;1].$
- $f[x] = \left| {{x^2} – 3x + 2} \right| – 3$ trên $[ – 10;10].$
- $f[x] = x – \sin 2x$ trên $\left[ { – \frac{\pi }{2};\pi } \right].$
2. Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y = 5\cos x – \cos 5x$ trên $\left[ { – \frac{\pi }{4}:\frac{\pi }{4}} \right].$
3. Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$ trên $[ – 1;2].$
4. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số:
- $y = x + \sqrt {4 – {x^2}} .$
- $y = x + \sqrt {12 – 3{x^2}} .$
- $y = \sqrt {4 – {x^2}} [x + 2].$
- $y = [3 – x]\sqrt {{x^2} + 1} $ với $x \in [0;2].$
5. Tìm GTLN và GTNN của hàm số: $y = {x^4} – 3{x^3} – 2{x^2} + 9x$ trên $[ – 2;2].$
Vấn đề 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $f$ trên tập $X$ không là một đoạn. 1. PHƯƠNG PHÁP: Phương pháp thường dùng để tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một tập hợp $X \ne [a;b]$ ta thực hiện các bước sau: + Tìm tập xác định $D$ và tập $X.$ + Tìm $y’$ và giải phương trình $y’ = 0.$ + Tìm các giới hạn khi $x$ dần tới các điểm đầu khoảng của $X.$ + Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp $X.$ + Dựa vào bảng biến thiên suy ra GTLN hay GTNN của hàm số trên $X.$
2. CÁC VÍ DỤ: Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số $f[x] = x + \frac{1}{{x – 1}}$ trên khoảng $[1; + \infty ].$
Tập xác định: $D = R\backslash \{ 1\} $, $X = [1; + \infty ].$ $y’ = 1 – \frac{1}{{{{[x – 1]}2}}} = \frac{{{x^2} – 2x}}{{{{[x – 1]}^2}}}.$ $y’ = 0$ $ \Leftrightarrow x = 0$ hay $x = 2.$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f[x] = + \infty $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1 + }} f[x] = + \infty .$ Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra: $\mathop {\min }\limits_X f[x] = 3$ đạt tại $x = 2.$ Hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên $X.$
3. BÀI TẬP: 1. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số:
- $f[x] = \frac{{15\left[ {{x^2} + 1} \right]}}{{2{x^2} + x + 2}}.$
- $y = \frac{{21\left[ {{x^2} + 3} \right]}}{{{x^2} + x + 2}}.$
2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y = x + \sqrt {2{x^2} + 1} .$
Vấn đề 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $f$ trên $X$ bằng cách dùng ẩn phụ. 1. PHƯƠNG PHÁP: Một số hàm số là hàm số phụ thuộc biểu thức $k[x]$, ta có thể đổi biển số và thực hiện các bước sau: Bước 1: Đặt $t = k[x].$ Bước 2: Xác định điều kiện của $t$ bằng cách tìm tập giá trị của hàm số $t = k[x]$ trên $X.$ Giả sử ta được: $x \in X \Leftrightarrow t \in T.$ Bước 3: Đưa hàm số $f[x]$ về dạng hàm số của đối số ta được $f[x] = g[t].$ Bước 4: Tìm GTLN, GTNN của $g[t]$ trên $T.$ Kết luận: $\mathop {\max }\limits_{x \in X} f[x] = \mathop {\max }\limits_{t \in T} g[t]$ và $\mathop {\min }\limits_{x \in X} f[x] = \mathop {\min }\limits_{t \in T} g[t].$
2. CÁC VÍ DỤ: Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số $f[x] = \cos 2x + 2\sin x – 3$ trên $\left[ { – \frac{\pi }{6};\frac{{5\pi }}{6}} \right].$
Đặt $t = \sin x.$ Ta có: $x \in X = \left[ { – \frac{\pi }{6};\frac{{5\pi }}{6}} \right]$ $ \Leftrightarrow t \in \left[ { – \frac{1}{2};1} \right] = T.$ Khi đó: $f[x] = – 2{\sin ^2}x + 2\sin x – 2$ $ = – 2{t^2} + 2t – 2 = g[t].$ Ta có: $g'[t] = – 4t + 2.$ $g'[t] = 0$ $ \Leftrightarrow t = \frac{1}{2} \in \left[ { – \frac{1}{2};1} \right].$ $g\left[ { – \frac{1}{2}} \right] = – \frac{7}{2}$, $g\left[ {\frac{1}{2}} \right] = – \frac{3}{2}$ và $g[1] = – 2.$ Vậy: $\mathop {\max }\limits_X f[x] = \mathop {\max }\limits_T g[t] = g\left[ {\frac{1}{2}} \right] = – \frac{3}{2}.$ $\mathop {\min }\limits_X f[x] = \mathop {\min }\limits_T g[t] = g\left[ { – \frac{1}{2}} \right] = – \frac{7}{2}.$
Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số $f[x] = \sqrt {5 – x} + \sqrt {x – 1} – \sqrt {[x – 1][5 – x]} + 5.$
Tập xác định: $D = [1;5]$, $X = D.$ Đặt $t = \sqrt {5 – x} + \sqrt {x – 1} .$ Ta có: $t’ = \frac{{ – 1}}{{2\sqrt {5 – x} }} + \frac{1}{{2\sqrt {x – 1} }}$ $ = \frac{{\sqrt {5 – x} – \sqrt {x – 1} }}{{2\sqrt {x – 1} .\sqrt {5 – x} }}.$ $t’ = 0 \Leftrightarrow x = 3.$ $t[1] = 2$, $t[3] = 2\sqrt 2 $ và $t[5] = 2.$ Vậy $\mathop {\max }\limits_{[1;5]} t = 2\sqrt 2 $, $\mathop {\min }\limits_{[1;5]} t = 2.$ Do đó: $x \in [1;5]$ $ \Leftrightarrow t \in T = [2;2\sqrt 2 ].$ Khi đó ${t^2} = 4 + 2\sqrt {[5 – x][x – 1]} $ $ \Rightarrow \sqrt {[5 – x][x – 1]} = \frac{{{t^2} – 4}}{2}.$ Do đó: $f[x] = t – \frac{{{t^2} – 4}}{2} + 5$ $ = – \frac{1}{2}{t^2} + t + 7 = g[t].$ Ta có: $g'[t] = – t + 1$, $g'[t] = 0$ $ \Leftrightarrow t = 1 \in [2;2\sqrt 2 ].$ $g[2] = 7$, $g[1] = \frac{{15}}{2}$ và $g[2\sqrt 2 ] = 3 + 2\sqrt 2 .$ Vậy: $\mathop {\max }\limits_X f[x] = \mathop {\max }\limits_T g[t] = g[1] = \frac{{15}}{2}.$ $\mathop {\min }\limits_X f[x] = \mathop {\min }\limits_T g[t] = g[2\sqrt 2 ] = 3 + 2\sqrt 2 .$
3. BÀI TẬP: 1. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số:
- $f[x] = {\cos ^2}2x – 2\sqrt 3 \sin x.\cos x + 6.$
- $f[x] = {\sin ^4}x + {\cos ^2}x + 2.$
- $f[x] = \frac{{9{{\sin }^2}x – \sin x + 1}}{{9{{\sin }^2}x + \sin x + 1}}$ trên $\left[ {0;\frac{\pi }{6}} \right].$
- $f[x] = {\left[ {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} – x + 1}}} \right]^3}$ $ – 3{\left[ {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} – x + 1}}} \right]^2} + 10.$
- $y = \frac{{\sin x + 1}}{{{{\sin }^2}x + \sin x + 1}}.$
2. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số:
- $y = \frac{{{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x}}{{{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x}}.$
- $y = 2[1 + \sin 2x\cos 4x]$ $ – \frac{1}{2}[\cos 4x – \cos 8x].$
Vấn đề 4: Giá trị lớn nhất – nhỏ nhất và điều kiện của tham số thỏa mãn điều kiện về nghiệm của phương trình, bất phương trình. 1. PHƯƠNG PHÁP:
- Để xác định số nghiệm của phương trình $f[x] = m$ $[1]$ trên tập hợp $X$ ta làm như sau: + Lập bảng biến thiên của hàm số $f[x]$ trên tập hợp $X.$ + Dựa vào bảng biến thiên ta xác định được số giao điểm của đồ thị $[C]: y = f[x]$ với đồ thị $[d]: y = m.$ + Từ đó suy ra số nghiệm của phương trình trên tập $X.$ $[1]$ có nghiệm $x \in X$ $ \Leftrightarrow [d]$ và phần đồ thị $[C]$ trên $X$ có giao điểm. $[1]$ có $k$ nghiệm $x \in X$ $ \Leftrightarrow [d]$ và phần đồ thị $[C]$ trên $X$ có $k$ giao điểm.
- Giả sử trên $X$ hàm số đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất. Khi đó: Bất phương trình $f[x] \le m$ có nghiệm $x \in X$ $ \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_{x \in X} f[x] \le m.$ Bất phương trình $f[x] \le m$ thỏa mãn với mọi $x \in X$ $ \Leftrightarrow \mathop {\max }\limits_{x \in X} f[x] \le m.$ Bất phương trình $f[x] < m$ có nghiệm $x \in X$ $ \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_{x \in X} f[x] < m.$ Bất phương trình $f[x] < m$ thỏa mãn với mọi $x \in X$ $ \Leftrightarrow \mathop {\max }\limits_{x \in X} f[x] < m.$
2. CÁC VÍ DỤ: Ví dụ 1: Tìm tham số $m$ để phương trình ${x^3} – 6{x^2} + m = 0$ $[*]$ có ba nghiệm phân biệt.
Ta có: $[*] \Leftrightarrow m = – {x^3} + 6{x^2}.$ Do đó $[*]$ là phương trình hoành độ giao điểm của $[d]:y = m$ và $[C]:y = – {x^3} + 6{x^2}.$ Xét hàm số $y = – {x^3} + 6{x^2}$: Tập xác định: $D = R.$ $y’ = – 3{x^2} + 12x$, $y’ = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0 \Rightarrow y = 0}\\ {x = 4 \Rightarrow y = 32} \end{array}} \right..$ Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có: $[*]$ có nghiệm ba nghiệm phân biệt thuộc $[-1;6]$ $ \Leftrightarrow [d]$ và phần đồ thị $[C]$ với $x \in [ – 1;6]$ có ba giao điểm phân biệt $ \Leftrightarrow 0 < m \le 7.$
Ví dụ 2: Tìm tham số $m$ để phương trình $x\sqrt x + \sqrt {x + 16} = m[\sqrt {25 – x} + \sqrt {9 – x} ]$ $[1]$ có nghiệm.
Điều kiện: $0 \le x \le 9.$ Khi đó: $[1] \Leftrightarrow m = \frac{{x\sqrt x + \sqrt {x + 16} }}{{\sqrt {25 – x} + \sqrt {9 – x} }} = F[x].$ Ta có: $f[x] = x\sqrt x + \sqrt {x + 16} $ có $f'[x] = \frac{{3\sqrt x }}{2} + \frac{1}{{2\sqrt {x + 16} }} > 0$, $\forall x \in [0;9].$ $ \Rightarrow f[x]$ tăng trên $[0;9]$ và $f[x] > 0$, $\forall x \in [0;9].$ $g[x] = \sqrt {25 – x} + \sqrt {9 – x} $ có $g'[x] = \frac{{ – 1}}{{2\sqrt {25 – x} }} + \frac{{ – 1}}{{2\sqrt {9 – x} }} < 0$, $\forall x \in [0;9].$ $ \Rightarrow g[x]$ giảm trên $[0;9]$ và $g[x] > 0$, $\forall x \in [0;9].$ Do đó $F[x]$ là hàm số tăng trên $[0;9].$ Ta có bảng biến thiên:
Do đó $[1]$ có nghiệm $ \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le m \le 8.$
Ví dụ 3: Tìm $m$ để bất phương trình $x + \sqrt {2{x^2} + 2} > m$ $[1]$ có tập nghiệm là $R.$
Xét hàm số $f[x] = x + \sqrt {2{x^2} + 2} .$ Tập xác định: $D = R.$ $f'[x] = 1 + \frac{{4x}}{{2\sqrt {2{x^2} + 2} }}$ $ = \frac{{\sqrt {2{x^2} + 2} + 2x}}{{\sqrt {2{x^2} + 2} }}.$ $f'[x] = 0 \Leftrightarrow \sqrt {2{x^2} + 2} = – 2x$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \le 0}\\ {2{x^2} + 2 = 4{x^2}} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = – 1.$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f[x]$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left[ {1 + \sqrt {2 + \frac{2}{{{x^2}}}} } \right] = + \infty .$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f[x]$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } x\left[ {1 – \sqrt {2 + \frac{2}{{{x^2}}}} } \right] = + \infty .$ Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có: $[1]$ có tập nghiệm là $R$ $ \Leftrightarrow m < 1.$
Ví dụ 4: Tìm $m$ để bất phương trình $\sqrt {4x – 8} + \sqrt {16 – 4x} \le m$ $[1]$ có nghiệm.
Xét hàm số $f[x] = \sqrt {4x – 8} + \sqrt {16 – 4x} .$ Tập xác định: $D = [2;4].$ $f'[x] = \frac{4}{{2\sqrt {4x – 8} }} + \frac{{ – 4}}{{2\sqrt {16 – 4x} }}$ $ = 2.\frac{{\sqrt {16 – 4x} – \sqrt {4x – 8} }}{{\sqrt {16 – 4x} .\sqrt {4x – 8} }}.$ $f'[x] = 0$ $ \Leftrightarrow \sqrt {16 – 4x} = \sqrt {4x – 8} $ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{1}{2} \le x \le 4}\\ {16 – 4x = 4x – 8} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = 3.$ Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có: $[1]$ có nghiệm $ \Leftrightarrow m \ge 2\sqrt 2 .$
3. BÀI TẬP:
- Phương trình: 1. Cho phương trình ${\sin ^6}x + {\cos ^6}x = m\sin 2x.$ Với giá trị nào của tham số $m$ thì phương trình có nghiệm.
2. Tìm tham số $m$ để phương trình $\sqrt {1 + x} + \sqrt {3 – x} – \sqrt {[1 + x][3 – x]} = m$ có nghiệm.
3. Cho phương trình $\sin 2x + 2\sin x = m.$ Tìm $m$ để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn $\left[ {0;\frac{{5\pi }}{4}} \right].$
4. Tìm $m$ để phương trình $\frac{{4\sin x + 2}}{{\sin x + 2}} = m$ có đúng hai nghiệm thuộc đoạn $[0;\pi ].$
5. Cho phương trình $4\cos x.\cos 2x.\cos 3x + m$ $ = 14\left[ {{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x} \right].$ Với giá trị nào của tham số $m$ thì phương trình có nghiệm thuộc đoạn $\left[ { – \frac{\pi }{3}; – \frac{\pi }{6}} \right].$
II. Bất phương trình: 1. Tìm $m$ để bất phương trình $m\sqrt {2{x^2} + 9} < x + m$ có nghiệm.
2. Tìm $m$ để bất phương trình $\sqrt {[1 + x][3 – x]} \ge m + \left[ {{x^2} – 2x – 3} \right]$ nghiệm đúng $\forall x \in [ – 1;3].$