Giới thiệu Bài toán chứng minh các đường thẳng đồng quy
Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Bài toán chứng minh các đường thẳng đồng quy.
Tài liệu ôn thi vào 10 môn Toán và hướng dẫn giải các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất nhé.
Tài liệu Bài toán chứng minh các đường thẳng đồng quy
Các em học sinh Đăng ký kênh youtube để học thêm về môn Toán nhé.
1 Chủ đề Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy 6 CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐỒNG QUY F. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐỒNG QUY MỤC LỤC F. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐỒNG QUY ……………………………………………………. 1 Bài tập có giải …………………………………………………………………………………………………………….. 2 Một số bài tập tự rèn: ……………………………………………………………………………………………….. 16 CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG ĐƯỢC SỬ DỤNG Cách 1. Lợi dụng định lí về các đường đồng quy trong tam giác Sử dụng định lí ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm Sử dụng định lí ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đó gọi là trọng tâm của tam giác. Sử dụng các định lí: 1.Ba đường phân giác của tam giác đồng quy tại một điểm. Giao điểm của hai đường phân giác ngoài nằm trên đường phân giác trong của góc thứ ba. Sử dụng định lí ba đường trung trực của tam giác đồng quy tại một điểm. Cách 2. Sử dụng tính chất các đường chéo cắt nhau tai trung điểm mỗi đường của của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông. Cách 3. Lùi về quen thuộc, chứng minh ba điểm thẳng hàng hoặc giao điểm của hai đường nằm trên đường thẳng thứ ba. Chúc các em học sinh học tập tốt! Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 2 Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy Bài tập có giải Sử dụng tính chất các đường chéo cắt nhau tai trung điểm mỗi đường của của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông. Bài 1: Trên hình vẽ bên, cho ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng: a] EFGH là hình bình hành. b] Các đường thẳng AC , BD, EF , GH đồng quy. Hướng dẫn giải a] Chứng minh rằng = EG HF = ; EH GF . b] Gọi O là giao điểm của AC và EF . Tứ giác AECF có AE = CF , AE / /CF nên là hình bình hành.. Suy ra O là trung điểm của AC , EF . ABCD là hình bình hành, O là trung điểm của AC nên O là trung điểm của BD . EGHF là hình bình hành, O là trung điểm của EF nên O là trung điểm của GH . Vậy AC , BD, EF , GH đồng quy tại O . Lợi dụng các đường đồng quy trong tam giác: đồng quy tại trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Bài 2: Từ một điểm C ở ngoài đường tròn [ O ] kẻ I các tuyến CBA . Gọi IJ là đường kính vuông góc với AB . Các đường thẳng CI , CJ theo thứ tự cắt M A đường tròn [ O ] tại M , N . Chứng minh rằng IN , JM , AB đồng quy tại một điểm D . B C D O Hướng dẫn giải M thuộc đường tròn đường kính IJ nên = 90° hay JM ⊥ CI JMI Tương tự IN ⊥ CJ Tam giác CIJ có 3 đường cao CA, JM , IN đồng quy tại D . Vậy IN , JM , AB đồng quy tại một điểm D . Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. N J 3 Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy Bài 3: Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn [O] có đường kính MC. đường thẳng BM cắt đường tròn [O] tại. D. đường thẳng AD cắt đường tròn [O] tại S. 1. Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp. 2. Chứng minh CA là tia phân giác của góc SCB. 3. Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn [O]. Chứng minh rằng các đường thẳng BA, EM, CD đồng quy. 4. Chứng minh DM là tia phân giác của góc ADE. 5. Chứng minh điểm M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE. Hướng dẫn giải C C 2 1 12 3 D 3 2 1 S F H×nh a O O S M E 1 2 2 3 A 1 D 2 M F E 1 1 2 B 1 2 A 3 1 2 H×nh b B = 900 [ vì tam giác ABC vuông tại A]; MDC = 900 [ góc nội tiếp chắn nửa 1. Ta có CAB = 900 như vậy D và A cùng nhìn BC dưới một góc bằng 900 nên đường tròn ] => CDB A và D cùng nằm trên đường tròn đường kính BC => ABCD là tứ giác nội tiếp. = C [ nội tiếp cùng chắn cung AB]. 2. ABCD là tứ giác nội tiếp => D 1 3 = C => SM = C [hai góc nội tiếp đường tròn [O] chắn hai cung bằng => C = EM D 1 3 2 3 nhau] => CA là tia phân giác của góc SCB. TH2 [Hình b] [cùng phụ [cùng bù = CDS ABC = CME ACB ]; ADC ] => CME ABC = CDS =CS ⇒ SM =EM => SCM = ECM => CA là tia phân giác của góc SCB. => CE 3. Xét ∆CMB Ta có BA⊥CM; CD ⊥ BM; ME ⊥ BC như vậy BA, EM, CD là ba đường cao của tam giác CMB nên BA, EM, CD đồng quy. = = EM => D 4. Theo trên Ta có SM D2 => DM là tia phân giác của góc ADE.[1] 1 Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 4 Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy = 900 [nội tiếp chắn nửa đường tròn [O]] => MEB = 900 . 5. Ta có MEC = 900 ; MEB = 900 => MAB + MEB = Tứ giác AMEB có MAB 1800 mà đây là hai góc . đối nên tứ giác AMEB nội tiếp một đường tròn => A2 = B 2 [ nội tiếp cùng chắn cung CD] Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp => A1 = B 2 => A1 = A2 => AM là tia phân giác của góc DAE [2] Từ [1] và [2] ta có M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE. Bài 4: Cho đường tròn [O] đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì [ H không trùng O, B]; trên đường thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đường tròn; MA và MB thứ tự cắt đường tròn [O] tại C và. D. Gọi I là giao điểm của AD và BC. 1. Chứng minh MCID là tứ giác nội tiếp. 2. Chứng minh các đường thẳng AD, BC, MH đồng quy tại I. 3. Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH là tứ giác nội Hướng dẫn giải M C 0 = BDA=90 1. BCA [ nội tiếp chắn nửa đường tròn ] …. + IDM = => MCI 1800 mà đây là hai góc đối của tứ giác MCID nên MCID là tứ giác nội tiếp. 2. AD, MC, MH là ba đường cao của tam giác BAM nên K I A O H D B đồng quy tại I. 3. Chỉ ra KCI là tam giác cân, từ đó CIK = HIB = CAB = ACO = 900 …. [tự chứng minh] = KCI + OCI = 900 . Từ đó chỉ ra OCK ACO + OCI Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn [O;R]. Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn [O;R] cắt nhau tại T, đường thẳng AT cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D khác A. 1.Chứng minh rằng ∆ABT ” ∆ BDT . 2. Chứng minh rằng : AB.CD = BD.AC 3. Chứng minh rằng hai đường phân giác góc BAC; BDC và đường thẳng BC đồng quy tại một điểm Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 5 Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy Hướng dẫn giải 1. Xét tam giác ABT và tam giác BDT có: chung BTD = TBD [góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp BAT tuyến và dây cùng chắn cung BD]. => ∆ABT ” ∆ BDT . [g-g] 2. Có ∆ABT ” ∆ BDT . [g-g] AB AT = > = [1] BD BT Chứng minh được ∆ACT ” ∆CDT [g-g] AC AT = > =[2] CD CT Tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại T nên BT = CT [3] AB AC BD. AC = = > AB.CD = Từ [1], [2], [3] có BD CD 3. Phân giác góc BAC cắt BC tại I, theo tính chất phân giác trong tam giác ta có: IB AB = IC AC AB BD IB BD > == > = Từ AB.CD = BD.AC = AC CD IC CD => DI là phân giác góc BDC Do đó hai đường phân giác góc BAC và BDC và đường thẳng BC đồng quy. Bài 6: Cho nửa đường tròn [ O] đường kính AB. Vẽ 2 tiếp tuyến Ax và By. Lấy M trên đường tròn sao cho AM < BM. AM cắt By tại F, BM cắt Ax tại E. a. Chứng minh: AB 2 = AE.BF b. Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt AE, BF tại C và D. Chứng minh C và D là trung điểm của AE và BF. c. Chứng minh các đường thẳng AB, CD, EF đồng quy. Hướng dẫn giải = 90º [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn] ⇒ AM ⊥ BE a. Ta có AMB Xét ∆EAB và ∆ABF có: ] AEB = FAB [cùng phụ với EAM EAB=ABF; Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 6 Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy Suy ra ∆EAB ~ ∆ABF [ g.g] ⇒ AB AE ⇔ AB2 = AE. BF = BF AB b. CA = CM và CO là tia phân giác của ACM ⇒ ∆AMC cân tại C và CO là đường cao ⇒ CO ⊥ AM Do đó trong ∆ABE có OA=OB, OC//BE nên CA=CE. c. Gọi giao điểm của AB và EF là S. Ta sẽ chứng minh S, C, D thằng hàng. Giả sử SC cắt BF tại D’. Vì AE // BF nên theo định lí Ta-let, có: AC BD' = =1 ⇒ D’ là trung điểm của BF CE D'F ⇒ D trùng với D’ hay S, C, D thẳng hàng. Vậy ba đường thẳng AB, EF, CD đồng quy tại S. Bài 7: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn [O; R] . H là trực tâm của tam giác ABC . Vẽ đường kính AD của đường tròn [O ] ; vẽ OM BC tại M . 1 2 a] Chứng minh rằng OM AH b] Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Chứng minh rằng H ,G,O thẳng hàng và HG 2GO . c] Gọi B ,C lần lượt là trung điểm của các cạn CA, AB . Đường thẳng d1 qua M song song với OA , đường thẳng d2 qua B song song với OB , đường thẳng d3 qua C song song với OC . Chứng minh rằng các đường thẳng d1, d2 , d3 đồng qui. d1 A Hướng dẫn giải N a] HB AC [ H là trực tâm của ABC ] 900 BH AC , DC AC AD là đường kính nên ACD BH DC Chứng minh tương tự có: CH DB Do đó tứ giác BHCD là hình bình hành Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. H B G O C M D 7 Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy Ta có: O A BC M là trung điểm của HD OM là đường trung bình của AHD nên OM 1 AH 2 2 3 b] ABC có AM là đường trung tuyến, G thuộc đoạn thẳng AM và AG AM nên G là trọng tâm của tam giác AHD . HO là đường trung tuyến nên HO đi qua G và HG 2GO Gọi N là giao điểm của d1 với AH HAD có MN AD , M là trung điểm của HD N là trung điểm của AH 1 2 Ta có: NH OM [ AH ], NH OM Do đó HNOM là hình bình hành. d1 đi qua trung điểm I của OH Chứng minh tương tự có d2 , d3 đi qua I Vậy các đường thẳng d1, d2 , d3 đồng quy Bài 8: Trên các cạnh AB, BC của tam giác ABC dựng ra phía ngoài tam giác các hình vuông ACA1A2 và BCB1B2 . Chứng minh rằng các đường thẳng AB1, A1B, A2B2 đồng quy. B1 Hướng dẫn giải Trường hợp 1: C 900 . Rõ ràng AB1, A1B, A2B2 đồng quy tại C . A2 Trường hợp 2: C 900 Các đường tròn ngoại tiếp hình vuông ACA1A2 và BCB1B2 Có điểm chung c sẽ cắt nhau tại M [khác C ] C B2 A2 A 450 [góc nội tiếp chắn cung một phần tư đường tròn] Ta có: AMA 2 A MC A AC 900 [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn] 2 2 450 Tương tự: CMB 1 Vì tia MA2 nằm giữa hai tia MA và MC ,tia MC nằm giữa hai tia MB và MA2 A 450 900 450 1800 MC CMB nên AMA 2 2 1 Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. B 8 Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy hay A, M , B thẳng hàng. Chứng minh tương tự A1, M , B và A2 , M , B2 thẳng hàng Vậy AB1, A1B và A2B2 cùng đi qua M Hay AB1, A1B và A2B2 đồng quy. Bài 9: Cho đường tròn [O; R] , đường kính BC , A là điểm trên đường tròn [ A khác B và C ]. Kẻ AH vuông góc với BC [ H thuộc BC ]. Đường tròn tâm I đường kính AH cắt AB, AC và đường tròn [O] tại D, E , F a] Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp b] Chứng minh OA vuông góc với DE c] Chứng minh các đường thẳng AF , DE , BC đồng quy d] Cho biết sđ AB= 60° . Tính theo R diện tích tứ giác BDEC Hướng dẫn giải A E F S D B I H O C a] Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp: Ta có: ADH= AEH= 90° [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn] ADE = AHE [góc nội tiếp cùng chắn cung AE ] Ta lại có: ] AHE = ACB [cùng phụ với EHC Vậy tứ giác BDEC nội tiếp [góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện] Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 9 Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy b] Chứng minh OA ⊥ DE : = OB = R] Ta có: ∆OAB cân tại O [ OA = . Mà OBA + OBA ACB =° 90 [ ∆ABC vuông tại A ] ⇒ OAB AHE = ACB + ⇒ OAB ADE =° 90 hay OA ⊥ DE c] Chứng minh các đường thẳng AF , DE , BC đồng quy: Gọi S là giao điểm của AF và BC ∆SAO có: AH ⊥ BC [gt] OI ⊥ AS [tính chất đường nối tâm của 2 đtr cắt nhau] ⇒ SI ⊥ OA [đường cao thứ ba trong ∆SAO ] Mà OA ⊥ DE [câu b] ⇒ S , D, I , E thẳng hàng hay đường thẳng DE qua S . Vậy các đường thẳng AF , DE , BC đồng quy d] Tính theo R diện tích tứ giác BDEC : sd AB 60° Ta có: ∆ABC vuông tại A , ACB= = = 30° 2 1 R. R; AB BC.sin= 30° 2= = 2 2 3 = AC BC.cos = R. R 3 30° 2= 2 AB. AC R.R 3 R 3 = = BC 2R 2 AH .BC = AB. AC ⇒ AH= Ta lại có: ∆ADE đồng dạng ∆ACB 2 S ACB BC BC 2 R 4 R 16 = ⇒ = = = = S ADE DE AH R 3 R 3 3 2 2 2 S ACB S ADE S ACB − S ADE S BDEC 13.S ACB 13 AB. AC 13 R.R 3 13R 2 3 ⇒ = = = ⇒ S BDEC = =⋅ =⋅ = 16 3 16 − 3 13 16 16 2 16 2 32 Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 10 Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A , I là một điểm trên cạnh AC . Đường tròn đường kính IC cắt BC ở E và cắt BI ở D . a] Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn. b] Chứng minh DB là phân giác của góc ADE . c] Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE . d] Chứng minh AB, CD, EI đồng qui. Hướng dẫn giải a] Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn. Ta có C = 90° [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn]. BDC = 90° [ tam giác ABC vuông tại A ]. CAB E Mặt khác hai đỉnh D, A cùng nhìn BC dưới một góc D 90° . I Vậy tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn. b] Chứng minh DB là phân giác của góc ADE . K A Do tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn. Nên ADB = ACB [cùng chắn cung AB ]. = IDE ACB [cùng chắn cung IE của đường tròn đường kính IC ]. . ⇒ ADB = BDE ADE . Vậy DB là phân giác của góc c] Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE . Chứng minh được tứ giác ABEI nội tiếp được trong đường tròn. = [cùng chắn cung IE ]. ⇒ CAE CBD Mặt khác vì tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn. Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. B 11 Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy = CBD [cùng chắn cung CD ]. Nên CAD = ⇒ AC là phân giác của góc DAE . ⇒ CAE CAD Mà DB cắt AC tại I . Do đó I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE . d] Chứng minh AB, CD, EI đồng qui. Gọi K là giao điểm của AB và CD . = 90° [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn] ⇒ BD ⊥ KC . Ta có BDC = 90° [ tam giác ABC vuông tại A ] ⇒ CA ⊥ KB . CAB ∆CKB có BD và CA là hai đường cao cắt nhau tại I nên I là trực tâm của ∆CKB ⇒ KE là đường cao của ∆CKB ⇒ KE ⊥ BC [1] . = 90° [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn] ⇒ IE ⊥ CE ⇒ IE ⊥ BC [2] . Mặt khác IEC Từ [1], [2] suy ra E , I , K thẳng hàng. Vậy AB, CD, EI đồng qui tại K . Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại A . Trên cạnh AC lấy điểm M không trùng với A và C . Vẽ đường tròn đường kính MC , cắt cạnh BC tại D . Các đường thẳng BM và AD lần lượt cắt đường tròn tại các điểm E , F . Chứng minh rằng: a] ∆ABC ∽ ∆DMC . Suy ra AB.MC = BC.DM . b] Các tứ giác ABDM và AECB nội tiếp c] AB //EF . d] Các đường thẳng AB, CE , MD đồng quy. Hướng dẫn giải Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 12 Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy B D F A C M E I = MDC = 90° và BCA chung nên ∆ABC ∽ ∆DMC . a] Vì BAC Do đó AB BC = ⇒ AB.MC = BC.DM . DM MC + MDB = b] Vì BAM 180° nên tứ giác AMDB nội tiếp. = BEC = 90° nên tứ giác AECB nội tiếp. Vì BAC ABM = ADM [ cùng chắn AM ] c] Ta có: = ] MEF ADM [ cùng chắn MF ⇒ AB //EF . ABM = MEF Suy ra d] Giả sử AB cắt EC tại I . Ta có CA, BE là đường cao của tam giác BIC . ⇒ M là trực tâm của ∆BIC ⇒ IM ⊥ BC . Mà MD ⊥ BC ⇒ I , M , D thẳng hàng. Vậy AB, EC , MD đồng quy tại M . Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 13 Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy Bài 12: Hai đường tròn [ O; R ] và [ O '; r ] tiếp xúc ngoài tại C [ R > r ] gọi AC và BC là hai đường kính đi qua C của đường tròn [ O ] và [ O ‘] . DE là dây cung của đường tròn [ O ] vuông góc với AB tại trung điểm M của AB. Tia DC cắt đường tròn [ O ‘] tại điểm thứ 2 là F a] Tứ giác ADBE là hình gì? Vì sao? b] Chứng minh ba điểm B, F, E thẳng hàng c] DB cắt đường tròn [ O ‘] tại điểm thứ hai là G. Chứng minh DF, EG và AB đồng quy d] Chứng minh MF là tiếp tuyến của [ O ‘] Hướng dẫn giải a] Tứ giác ADBE là hình thoi vì AM = MB; MD = ME và DE ⊥ AB b] Ta có BE / / DA . Nối BF ta có ADF = BFD = 900 ⇒ BF / / DA . Như vậy BE / / DA và BF / / DA mà qua B chỉ có duy nhất một đường thẳng song song với DA do đó 3 điểm B, F, E phải thẳng hàng c] Ta có CG vuông góc với DB, mặt khác EC vuông góc với DB. Nhưng qua C chỉ tồn tại duy nhất một đường vuông góc với DB nên E, C , G phải thẳng hàng và DF, EG, AB phải đồng quy tại điểm C, chính là trực tâm tam giác EDB +O mà MEF =F và O +F = d] Nhận thấy MEF ‘ BF = 900 nên F ‘ BF = F 900 , suy ra 2 1 1 2 ’ = 900 . Vậy MF là tia tiếp tuyến của đường tròn tâm O’. MFO Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 14 Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy = 900 ]. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của AB, Bài 13: Cho ∆ABC [AC > AB, BAC AC. Các đường tròn đường kính AB, AC cắt nhau tại điểm thứ hai D; tia BA cắt đường tròn [K] tại điểmt hứ hai E; tia CA cắt đường tròn [I] tại điểm thứ hai F a] Chứng minh B, C, D thẳng hàng b] Chứng minh tứ giác BFEC nội tiép c] Chứng minh ba đường thẳng AD, BF, CE đồng quy. d] Gọi H là giao điểm thứ hai của tia DF với đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF, hãy so sánh DH và DE. Hướng dẫn giải a] ] Áp dụng định lý góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, ta có : � = 900 . � = 900 ; ADC ADB + ADC = Suy ra ADB 1800 . Vậy B, D, C thẳng hàng. b] Áp dụng định lý góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, ta có: � = 900 ; CEA � = 900 ; BFA BEC suy ra = BFC =[ 90 0 ] . Khi đó E; F là hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn BC dưới một góc bằng nhau. Vậy tứ giác BFEC nội tiếp. c] Xét tam giác ABC có AD ⊥ BC ; BF ⊥ AC ; CE ⊥ AB . Suy ra AD , BF , CE là ba đường cao. Vậy chúng cắt nhau tại một điểm S . d] Ta có AEHF = FAB mặt khác FAB = FDB ⇒ EHF = FDB nội tiếp nên EHF ⇒ HE / / BC ⇒ AD ⊥ HE . [1] Vận dụng góc nội tiếp, tứ giác nội tiếp ta có: FDA = FBA = FCE = ADE ⇒ DA là đường phân giác EDF [2] Từ [1] và [2] suy ra DEH cân tại D suy ra DE = DH . Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 15 Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy Bài 14: Cho tam giác ABC vuông tại A và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn [O] đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn [O] tại các điểm thứ hai là F, G. Chứng minh rằng : a] Các tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp b] AD.AB = AG.AE c] AC//FG d] AC, DE và BF đồng quy. Hướng dẫn giải 0 90 a] CAD = = , CED 90 0 ⇒ tứ giác ADEC nội tiếp. 0 90 = CAB = , CFB 90 0 ⇒ tứ giác AFBC nội tiếp. b] Ta có ∆AED ” ∆ABG [ g.g ] ⇒ AE AD = ⇒ AD. AB = AE. AG. AB AG . =E c] Tứ giác ACED nội tiếp ⇒ C 1 1 . Tứ giác DFGE nội tiếp ⇒ F1 = E 1 = F ⇒ AC / /GF . Suy ra C 1 1 d] ∆BCD có CA , BF , DE là đường cao ⇒ CA , BF , DE đồng quy. Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 16 Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy Một số bài tập tự rèn: Bài 1: Cho hai đường tròn [O] và [ O’] cắt nhau tại A, B. Kẻ đường kính AC của [O] cắt đường tròn [O’] tại F. Kẻ đường kính AE của [ O’] cắt đường tròn [O] tạo G. Chứng minh: a] Tứ giác GFEC nội tiếp ; b] GC, FE, AB đồng quy. Bài 2: Cho đường tròn [O] đường kính AB, gọi I là trung điểm của OA, dây CD vuông góc với AB tại I. Lấy K tùy ý trên dây cung BC nhỏ, AK cắt CD tại H. a. Chứng minh tứ giác BIHK nội tiếp. b. Chứng minh AH.AK có giá trị không phụ thuộc vị trí điểm K c. Kẻ DN CB, DM AC. Chứng minh các đường thẳng MN, AB, CD đồng quy. Bài 3: Cho đường tròn [O] đường kính AB, gọi I là trung điểm của OA, dây CD vuông góc với AB tại I. Lấy K tùy ý trên dây cung BC nhỏ, AK cắt CD tại H. a] Chứng minh tứ giác BIHK nội tiếp. b] Chứng minh AH.AK có giá trị không phụ thuộc vị trí điểm K c] Kẻ DN CB, DM AC. Chứng minh các đường thẳng MN, AB, CD đồng quy Bài 4: Cho đường tròn [O] đường kính AB, Gọi I là trung điểm OA. Dây CD vuông góc với AB tại I. Lấy K tùy ý trên cung BC nhỏ. AK cắt CD tại H a, Chứng minh tứ giác BIHK nội tiếp b, Chứng minh AH.AK có giá trị không phụ thuộc vào vị trí điểm K . c, kẻ DN CB, DM AC . chứng minh MN,AB, CD đồng quy . d, Cho BC = 25cm . Hãy tính diện tích xung quanh hình trụ tạo thành khi cho tứ giác MCND quay quanh MD. Chúc các em học sinh học tập tốt! Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.