Như đã trình bày ở bài viết trước, ta nhận thấy rằng định nghĩa cổ điển về xác suất có hai hạn chế, thứ nhất là số kết quả của phép thử là hữu hạn, thứ hai các kết quả của phép thử phải đồng khả năng xuất hiện. Định nghĩa thống kê của xác suất khắc phục được hạn chế thứ hai. Để khắc phục hạn chế thứ nhất [đồng thời vẫn giả thiết các kết quả đồng khả năng], người ta đưa vào định nghĩa xác suất theo hình học.
Bài viết giới thiệu phương pháp, một số dạng toán và ví dụ minh họa cách tính xác suất của một biến cố bằng phương pháp hình học.
- PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Xét một phép thử có vô hạn kết cục đồng khả năng. Giả sử ta có thể biểu thị tập hợp mọi kết cục này bởi một miền hình học $G$ nào đó: một đoạn thẳng, một miền phẳng, một mảnh mặt cong hay một khối không gian … và những kết cục thích hợp cho sự kiện $A$ bởi các điểm thuộc miền cong $g ⊂ G.$ Với các giả thiết trên, xác suất của sự kiện $A$ được tính như sau: $P\left[ A \right] = \frac{{{\rm{kích\:thước\:miền\:g}}}}{{{\rm{kích\:thước\:miền\:G}}}}.$ Tùy theo $G$ là đoạn thẳng, miền phẳng hay khối không gian mà kích thước được hiểu là độ dài, diện tích hay thể tích.
- CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH Dạng toán 1. Bài toán tính xác suất tỉ số độ dài. Phương pháp giải toán: + Xác định tập hợp kết cục đồng khả năng là miền độ dài $G$. + Xác định tập hợp kết cục thuận lợi cho biến cố $A$ là miền độ dài $g < G.$ + Tính $P\left[ A \right] = \frac{{{\rm{độ\:dài\:miền\:g}}}}{{{\rm{độ\:dài\:miền\:G}}}}.$
Ví dụ 1. Đường dây điện thoại ngầm nối hai trạm $A$, $B$ bỗng nhiên bị đứt. Dây dài $800$ mét chôn trong lòng đất đồng chất. Hãy tính xác suất của sự kiện: chỗ đứt cách $A$ không quá $100$ mét.
Rõ ràng dây có đứt tại một điểm bất kỳ trên đoạn thẳng $AB$ [như hình vẽ] với cùng khả năng như nhau, do đó có thể biểu thị tập hợp mọi kết cục đồng khả năng của phép thử bởi đoạn thẳng $AB.$ Các kết cục thích hợp cho sự kiện chỗ đứt cách $A$ không quá $100$ mét được biểu thị bởi đoạn $AC.$ Do đó: $P = \frac{{100}}{{800}} = \frac{1}{8}.$
Ví dụ 2. Trên một vòng tròn bán kính $R$ có một điểm $A$ cố định. Chọn ngẫu nhiên trên vòng tròn đó một điểm. Tính xác suất để điểm này cách $A$ không quá $R.$
Điểm $M$ có thể chọn tùy ý trên vòng tròn nên miền đồng khả năng là cả vòng tròn. Muốn biến cố: “Điểm $M$ cách $A$ không quá $R$” xảy ra thì điểm M chỉ được nằm trên cung $IJ$ [như hình vẽ]. Vậy: $P\left[ A \right] = \frac{{{\rm{độ\:dài\:IJ}}}}{{{\rm{độ\:dài\:}}\left[ O \right]}} = \frac{1}{3}.$
Dạng toán 2. Bài toán xác suất tỉ số diện tích. Phương pháp giải toán: + Xác định tập hợp kết cục đồng khả năng là miền diện tích $G.$ + Xác định tập hợp kết cục thuận lợi cho biến cố $A$ là miền diện tích $g ⊂ G.$ + Tính $P\left[ A \right] = \frac{{{\rm{diện\:tích\:miền\:g}}}}{{{\rm{diện\:tích\:miền\:G}}}} = \frac{{{S_g}}}{{{S_G}}}.$
Ví dụ 3. Trên đoạn thẳng $OA$ ta chọn ngẫu nhiên hai điểm $B$ và $C$ có độ dài tương ứng là $OB = x$, $OC = y$ $[y ≥ x]$. Tìm xác suất sao cho độ dài của đoạn $BC$ bé hơn độ dài của đoạn $OB.$
Giả sử đoạn thẳng $OA$ có chiều dài bằng $l.$ Với mỗi cách chọn hai điểm $B$ và $C$ có độ dài tương ứng là $OB = x$, $OC = y$ $[y ≥ x]$ sẽ cho ta tương ứng một điểm $M[x;y]$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy.$ Vì: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0 \le x \le l}\\ \begin{array}{l} 0 \le y \le l\\ y \ge x{\rm{ }} \end{array} \end{array}} \right.$ suy ra miền biểu diễn điểm $M[x;y]$ là tam giác $OMP$ như hình vẽ bên dưới. Để độ dài của đoạn $BC$ bé hơn độ dài của đoạn $OB$ thì $y-x