Dạng 1: Rút gọn biểu thức
I/ Biểu thức số học
Phương pháp:
Dùng các Phương pháp biến đổi căn thức [đưa ra ; đưa vào; ;khử; trục; cộng,trừ căn thức đồng dạng; rút gọn phân số…] để rút gọn biểu thức.
Bài tập:Thực hiện phép tính:
II/ Biểu thức đại số:
Phương pháp:
– Phân tích đa thức tử và mẫu thành nhân tử;
– Tìm ĐKXĐ [Nếu bài toán chưa cho ĐKXĐ]
– Rút gọn từng phân thức[nếu được]
– Thực hiện các phép biến đổi đồng nhất như:
+ Quy đồng[đối với phép cộng trừ] ; nhân ,chia.
+ Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đơn ; đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức
+ Thu gọn: cộng, trừ các hạng tử đồng dạng.
+ Phân tích thành nhân tử – rút gọn
Chú ý: – Trong mỗi bài toán rút gọn thường có các câu thuộc các loại toán: Tính giá trị biểu thức; giải Phương trình; bất Phương trình; tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên; tìm giá trị nhỏ nhất ,lớn nhất…Do vậy ta phải áp dụng các Phương pháp giải tương ứng, thích hợp cho từng loại bài.
Bài tập:
Bài 1: Cho biểu thức$ A =\left[ \frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{1}{2\sqrt{x}} \right]\left[ \frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}-\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} \right]$
a. Rút gọn biểu thức A;
b. Tìm giá trị của x để A > – 6.
Các dạng phương trình nghiệm nguyên và cách giải
Sử dụng phương pháp hình học để tìm GTLN, GTNN
Sử dụng phương pháp xét từng khoảng giá trị để tìm GTLN, GTNN
Sử dụng phương pháp miền giá trị để tìm GTLN, GTNN
Sử dụng biểu thức phụ để tìm để tìm GTLN, GTNN
Sử dụng phương pháp đặt biến phụ để tìm GTLN, GTNN
Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản để tìm GTLN, GTNN
Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập bộ bài tập Rút gọn biểu thức chứa căn - Ôn thi vào 10 môn Toán, tài liệu bao gồm 5 trang, tuyển chọn bài tập Rút gọn biểu thức chứa căn đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải chi tiết và bài tập, giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kì thi môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.
Tài liệu Rút gọn biểu thức chứa căn gồm các nội dung chính sau:
A. Phương pháp giải
- tóm tắt lý thuyết ngắn gọn.
B. Ví dụ minh họa
- gồm 5 ví dụ minh họa đa dạng của các phương pháp giải trên có lời giải chi tiết.
C. Bài tập vận dụng
- gồm 10 bài tập vận dụng giúp học sinh tự rèn luyện cách giải các dạng bài tập Rút gọn biểu thức chứa căn.
Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:
RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN
A. Phương pháp giải
Cho biểu thức P, để rút gọn biểu thức P ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức P [nếu đầu bài chưa cho sẵn]
Bước 2: Tìm mẫu thức chung và quy đồng
Bước 3: Sử dụng các hằng đẳng thức, trục căn thức, … để khử, triệt tiêu và rút gọn biểu thức.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức P=x22x+x2+2x−2x−2 với x>0;x≠2
Hướng dẫn giải:
P=x22x2+x+2x−2x−2x+2=x2+x+2x+2=x+22+x=1
Vậy P = 1.
Ví dụ 2. Cho biểu thức: A=4x2+x+8x4−x:x−1x−2x−2x
a] Tìm điều kiện xác định của A
b] Rút gọn A.
Hướng dẫn giải
a] Ta nhận thấy: 4−x=2+x2−x và x−2x=xx−2
Do đó, điều kiện xác định của biểu thức là: .x≠04−x≠0x≥0⇔x≠0x≠4x≥0⇔x≠4x>0
b] A=4xx−22+xx−2−8x2+xx−2:x−1xx−2−2x−2xx−2
=4x−8x−8x2+xx−2:x−1−2x+4xx−2=−4x−8x2+xx−2:3−xxx−2=−4xx+22+xx−2.xx−23−x=4xx−3
Ví dụ 3. Cho biểu thức: M=2xx+x−xxx−1−x+xx−1.x−12x+x−1+x2x−1. Hãy tìm điều kiện của x để biểu thức có nghĩa, sau đó rút gọn biểu thức M.
Xem thêmTài liệu gồm 185 trang, được tổng hợp bởi thầy giáo Nguyễn Chí Thành, tuyển tập 200 bài tập rút gọn biểu thức và bài toán liên quan trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán, có đáp án và lời giải chi tiết.
Trích dẫn tài liệu 200 bài tập rút gọn biểu thức và bài toán liên quan trong đề thi vào 10 môn Toán: + Cho biểu thức A và B. a] Tính giá trị biểu thức B khi x = 25. b] Biết P = B : A. Chứng minh rằng: P. c] Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên. + Cho biểu thức A. a] Rút gọn biểu thức A. b] Tính giá trị của x để A = 4/5. c] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A. + Cho hai biểu thức A và B với x >= 0 và x khác 1. a] Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4. b] Rút gọn biểu thức C = A + B.
c] So sánh giá trị của biểu thức C với 1.
Rút gọn biểu thức là dạng toán thường gặp, thường là bài đầu tiên trong đề thi môn Toán tuyển sinh vào lớp 10 THPT.
Trong bài viết này Học Toán 123 chia sẻ với các em cách làm và một số bài tập tổng hợp trong các đề thi, giúp các em ôn tập hiệu quả.
PHƯƠNG PHÁP
– Phân tích đa thức tử và mẫu thành nhân tử;
– Tìm điều kiện xác định [Nếu bài toán chưa cho ĐKXĐ]
– Rút gọn từng phân thức[nếu được]
– Thực hiện các phép biến đổi đồng nhất như:
+ Quy đồng [đối với phép cộng trừ]; nhân, chia.
+ Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đơn; đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức
+ Thu gọn: cộng, trừ các hạng tử đồng dạng.
+ Phân tích thành nhân tử – rút gọn
*Chú ý: Trong mỗi bài toán rút gọn thường có các câu thuộc các loại toán:
+ Tính giá trị biểu thức;
+ Giải phương trình; bất phương trình;
+ Tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên;
+ Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất…
VÍ DỤ
Cho biểu thức: $ P=\left[ {\dfrac{1}{{a-\sqrt{a}}}+\dfrac{1}{{\sqrt{a}-1}}} \right]:\dfrac{{\sqrt{a}+1}}{{a-2\sqrt{a}+1}}$
a/ Rút gọn $P$.
b/ Tìm giá trị của a để biểu thức $P$ có giá trị nguyên.
Giải:
a/ Rút gọn $P$:
– Phân tích: $ P=\left[ {\dfrac{1}{{\sqrt{a}[\sqrt{a}-1]}}+\dfrac{1}{{\sqrt{a}-1}}} \right]:\dfrac{{\sqrt{a}+1}}{{{{{[\sqrt{a}-1]}}^{2}}}}$
– ĐKXĐ:$ \left\{ \begin{array}{l}a>0;\\\sqrt{a}-1\ne 0\Leftrightarrow a\ne 1\end{array} \right.$
– Quy đồng: $ P=\dfrac{{1+\sqrt{a}}}{{\sqrt{a}[\sqrt{a}-1]}}.\dfrac{{{{{[\sqrt{a}-1]}}^{2}}}}{{\sqrt{a}+1}}$
– Rút gọn:$ P=\dfrac{{\sqrt{a}-1}}{{\sqrt{a}}}.$
b/ Tìm giá trị của a để P có giá trị nguyên:
– Chia tử cho mẫu ta được: $ P=1-\dfrac{1}{{\sqrt{a}}}$ .
– Lý luận: $P$ nguyên $ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt{a}}}$ nguyên $ \Leftrightarrow \sqrt{a}$ là ước của 1 là $ \pm 1$
$ \Rightarrow \sqrt{a}=\left\{ \begin{array}{l}-1[ktm]\\1\Leftrightarrow a=1\end{array} \right.$
Vậy với $a = 1$ thì biểu thức $P$ có giá trị nguyên.
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1: Cho biểu thức $ A =\left[ \dfrac{\sqrt{x}}{2}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \right]\left[ \dfrac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} \right]$
a. Rút gọn biểu thức $A$;
b. Tìm giá trị của $x$ để $A > – 6$.
Bài 2: Cho biểu thức $ B =\left[ {\dfrac{{\sqrt{x}}}{{x-4}}+\dfrac{2}{{2-\sqrt{x}}}+\dfrac{1}{{\sqrt{x}+2}}} \right]:\left[ {\sqrt{x}-2+\dfrac{{10-x}}{{\sqrt{x}+2}}} \right]$
a] Rút gọn biểu thức $B$;
b] Tìm giá trị của $x$ để $A > 0$.
Bài 3: Cho biểu thức $ C =\dfrac{1}{{\sqrt{x}-1}}-\dfrac{3}{{x\sqrt{x}+1}}+\dfrac{1}{{x-\sqrt{x}+1}}$
a] Rút gọn biểu thức $C$;
b] Tìm giá trị của $x$ để $C < 1$.
Bài 4: Rút gọn biểu thức: $ D =\dfrac{{x+2+\sqrt{{{{x}^{2}}-4}}}}{{x+2-\sqrt{{{{x}^{2}}-4}}}}+\dfrac{{x+2-\sqrt{{{{x}^{2}}-4}}}}{{x+2+\sqrt{{{{x}^{2}}-4}}}}$
Bài 5: Cho các biểu thức: $ P =\dfrac{{2x-3\sqrt{x}-2}}{{\sqrt{x}-2}}$và $ Q =\dfrac{{\sqrt{{{{x}^{3}}}}-\sqrt{x}+2x-2}}{{\sqrt{x}+2}}$
a] Rút gọn biểu thức $P$ và $Q$;
b] Tìm giá trị của $x$ để $P = Q$.
Bài 6: Cho biểu thức: $ P =\dfrac{{2x+2}}{{\sqrt{x}}}+\dfrac{{x\sqrt{x}-1}}{{\text{x}-\sqrt{x}}}-\dfrac{{x\sqrt{x}+1}}{{\text{x}+\sqrt{x}}}$
a] Rút gọn biểu thức $P$
b] So sánh $P$ với $5$.
c] Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức $ \dfrac{8}{\text{P}}$ chỉ nhận đúng một giá trị nguyên.
Bài 7: Cho biểu thức: $ P =\left[ {\dfrac{{3x+\sqrt{{9x}}-3}}{{x+\sqrt{x}-2}}+\dfrac{1}{{\sqrt{x}-1}}+\dfrac{1}{{\sqrt{x}+2}}} \right]:\dfrac{1}{{\text{x}-1}}$
a] Tìm điều kiện để $P$ có nghĩa, rút gọn biểu thức $P$;
b] Tìm các số tự nhiên $x$ để $ \dfrac{1}{\text{P}}$ là số tự nhiên;
c] Tính giá trị của $P$ với $x = 4 – 2 \sqrt{3}$.
Bài 8: Cho biểu thức : $ P =\left[ {\dfrac{{\sqrt{x}+2}}{{\text{x}-5\sqrt{x}+6}}-\dfrac{{\sqrt{x}+3}}{{\text{2}-\sqrt{x}}}-\dfrac{{\sqrt{x}+2}}{{\sqrt{x}-3}}} \right]:\left[ {2-\dfrac{{\sqrt{x}}}{{\sqrt{x}+1}}} \right]$
a] Rút gọn biểu thức P;
b] Tìm $x$ để $ \dfrac{1}{\text{P}}\le -\dfrac{5}{2}$
Bài 9: Cho biểu thức : $P= \left[ {\dfrac{{1-a\sqrt{a}}}{{1-\sqrt{a}}}+\sqrt{a}} \right].\left[ {\dfrac{{1+a\sqrt{a}}}{{1+\sqrt{a}}}-\sqrt{a}} \right]$
a] Rút gọn $P$
b] Tìm $a$ để $P < 7-4\sqrt{3}$
Bài 10: Cho biểu thức: $P= \left[ {\dfrac{{2\sqrt{x}}}{{\sqrt{x}+3}}+\dfrac{{\sqrt{x}}}{{\sqrt{x}-3}}-\dfrac{{3x+3}}{{x-9}}} \right]:\left[ {\dfrac{{2\sqrt{x}-2}}{{\sqrt{x}-3}}-1} \right]$
a] Rút gọn $P$
b] Tìm $x$ để $P < \dfrac{1}{2}$
c] Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 11: Cho biểu thức : $P= \left[ {\dfrac{{x-3\sqrt{x}}}{{x-9}}-1} \right]:\left[ {\dfrac{{9-x}}{{x+\sqrt{x}-6}}-\dfrac{{\sqrt{x}-3}}{{2-\sqrt{x}}}-\dfrac{{\sqrt{x}-2}}{{\sqrt{x}+3}}} \right]$
a] Rút gọn $P$
b] Tìm giá trị của $x$ để $P 0
a] Rút gọn $P$
b] Tính $x$ theo m để $P = 0$.
c] Xác định các giá trị của m để x tìm được ở câu b thoả mãn điều kiện $x >1$
Bài 14: Cho biểu thức : $P= \dfrac{{{{a}^{2}}+\sqrt{a}}}{{a-\sqrt{a}+1}}-\dfrac{{2a+\sqrt{a}}}{{\sqrt{a}}}+1$
a] Rút gọn $P$
b] Tìm a để $P = 2$
c] Tìm giá trị nhỏ nhất của $P$ ?
Bài 15: Cho biểu thức $ P = \left[ {\dfrac{{\sqrt{a}+1}}{{\sqrt{{ab}}+1}}+\dfrac{{\sqrt{{ab}}+\sqrt{a}}}{{\sqrt{{ab}}-1}}-1} \right]:\left[ {\dfrac{{\sqrt{a}+1}}{{\sqrt{{ab}}+1}}-\dfrac{{\sqrt{{ab}}+\sqrt{a}}}{{\sqrt{{ab}}-1}}+1} \right]$
a] Rút gọn $P$
b] Tính giá trị của $P$ nếu $a = 2-\sqrt{3}$ và b =$ \dfrac{{\sqrt{3}-1}}{{1+\sqrt{3}}}$
c] Tìm giá trị nhỏ nhất của $P$ nếu $ \sqrt{a}+\sqrt{b}=4$
Bài 16: Cho biểu thức: $P= \dfrac{{a\sqrt{a}-1}}{{a-\sqrt{a}}}-\dfrac{{a\sqrt{a}+1}}{{a+\sqrt{a}}}+\left[ {\sqrt{a}-\dfrac{1}{{\sqrt{a}}}} \right]\left[ {\dfrac{{\sqrt{a}+1}}{{\sqrt{a}-1}}+\dfrac{{\sqrt{a}-1}}{{\sqrt{a}+1}}} \right]$
a] Rút gọn $P$
b] Với giá trị nào của $a$ thì $P = 7$
c] Với giá trị nào của $a$ thì $P > 6$
Bài 17: Cho biểu thức: $P = {{\left[ {\dfrac{{\sqrt{a}}}{2}-\dfrac{1}{{2\sqrt{a}}}} \right]}^{2}}\left[ {\dfrac{{\sqrt{a}-1}}{{\sqrt{a}+1}}-\dfrac{{\sqrt{a}+1}}{{\sqrt{a}-1}}} \right]$
a] Rút gọn $P$
b] Tìm các giá trị của $a$ để $P < 0$
c] Tìm các giá trị của $a$ để $P = -2$
Bài 18: Cho biểu thức: $P= \dfrac{{{{{\left[ {\sqrt{a}-\sqrt{b}} \right]}}^{2}}+4\sqrt{{ab}}}}{{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}.\dfrac{{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}}{{\sqrt{{ab}}}}$
a] Tìm điều kiện để $P$ có nghĩa.
b] Rút gọn $P$
c] Tính giá trị của $P$ khi $a = 2\sqrt{3}$ và $b = \sqrt{3}$
Bài 19: Cho biểu thức : $P= \left[ {\dfrac{{x+2}}{{x\sqrt{x}-1}}+\dfrac{{\sqrt{x}}}{{x+\sqrt{x}+1}}+\dfrac{1}{{1-\sqrt{x}}}} \right]:\dfrac{{\sqrt{x}-1}}{2}$
a] Rút gọn $P$
b] Chứng minh rằng $P > 0 \forall x \ne 1$
Bài 20: Cho biểu thức : $P= \left[ {\dfrac{{2\sqrt{x}+x}}{{x\sqrt{x}-1}}-\dfrac{1}{{\sqrt{x}-1}}} \right]:\left[ {1-\dfrac{{\sqrt{x}+2}}{{x+\sqrt{x}+1}}} \right]$
a] Rút gọn $P$
b] Tính $ \sqrt{P}$ khi x =$ 5+2\sqrt{3}$
Bài 21: Cho biểu thức: $P= 1:\left[ {\dfrac{1}{{2+\sqrt{x}}}+\dfrac{{\dfrac{{3x}}{2}}}{{4-x}}-\dfrac{2}{{4-2\sqrt{x}}}} \right]:\dfrac{1}{{4-2\sqrt{x}}}$
a] Rút gọn $P$
b] Tìm giá trị của $x$ để $P = 20$
Bài 22: Cho biểu thức : $P= \left[ {\dfrac{{x-y}}{{\sqrt{x}-\sqrt{y}}}+\dfrac{{\sqrt{{{{x}^{3}}}}-\sqrt{{{{y}^{3}}}}}}{{y-x}}} \right]:\dfrac{{{{{\left[ {\sqrt{x}-\sqrt{y}} \right]}}^{2}}+\sqrt{{xy}}}}{{\sqrt{x}+\sqrt{y}}}$
a] Rút gọn $P$
b] Chứng minh $P \ge 0$
Bài 23: Cho biểu thức :
$P= \left[ {\dfrac{1}{{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}+\dfrac{{3\sqrt{{ab}}}}{{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}}} \right].\left[ {\left[ {\dfrac{1}{{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}-\dfrac{{3\sqrt{{ab}}}}{{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}}} \right]:\dfrac{{a-b}}{{a+\sqrt{{ab}}+b}}} \right]$
a] Rút gọn $P$
b] Tính $P$ khi $a =16$ và $b = 4$
Bài 24: Cho biểu thức: $P= 1+\left[ {\dfrac{{2a+\sqrt{a}-1}}{{1-a}}-\dfrac{{2a\sqrt{a}-\sqrt{a}+a}}{{1-a\sqrt{a}}}} \right].\dfrac{{a-\sqrt{a}}}{{2\sqrt{a}-1}}$
a] Rút gọn $P$
b] Cho $P = \dfrac{{\sqrt{6}}}{{1+\sqrt{6}}}$ tìm giá trị của $a$
c] Chứng minh rằng $P > \dfrac{2}{3}$
Bài 25: Cho biểu thức: $P= \left[ {\dfrac{{x-5\sqrt{x}}}{{x-25}}-1} \right]:\left[ {\dfrac{{25-x}}{{x+2\sqrt{x}-15}}-\dfrac{{\sqrt{x}+3}}{{\sqrt{x}+5}}+\dfrac{{\sqrt{x}-5}}{{\sqrt{x}-3}}} \right]$
a] Rút gọn $P$
b] Với giá trị nào của $x$ thì $P < 1$
Bài 26: Cho biểu thức: $P= \left[ {\dfrac{{3\sqrt{a}}}{{a+\sqrt{{ab}}+b}}-\dfrac{{3a}}{{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}}+\dfrac{1}{{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}} \right]:\dfrac{{\left[ {a-1} \right].\left[ {\sqrt{a}-\sqrt{b}} \right]}}{{2a+2\sqrt{{ab}}+2b}}$
a] Rút gọn $P$
b] Tìm những giá trị nguyên của a để $P$ có giá trị nguyên
Bài 27: Cho biểu thức: $P= \left[ {\dfrac{1}{{\sqrt{a}-1}}-\dfrac{1}{{\sqrt{a}}}} \right]:\left[ {\dfrac{{\sqrt{a}+1}}{{\sqrt{a}-2}}-\dfrac{{\sqrt{a}+2}}{{\sqrt{{a-1}}}}} \right]$
a] Rút gọn $P$
b] Tìm giá trị của a để $P > \dfrac{1}{6}$
Bài 28: Cho biểu thức: $P= \left[ {\left[ {\dfrac{1}{{\sqrt{x}}}+\dfrac{1}{{\sqrt{y}}}} \right].\dfrac{2}{{\sqrt{x}+\sqrt{y}}}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}} \right]:\dfrac{{\sqrt{{{{x}^{3}}}}+y\sqrt{x}+x\sqrt{y}+\sqrt{{{{y}^{3}}}}}}{{\sqrt{{{{x}^{3}}y}}+\sqrt{{x{{y}^{3}}}}}}$
a] Rút gọn $P$
b] Cho $x.y=16$. Xác định $x, y$ để $P$ có giá trị nhỏ nhất
Bài 29: Cho biểu thức: $P = \dfrac{{\sqrt{{{{x}^{3}}}}}}{{\sqrt{{xy}}-2y}}-\dfrac{{2x}}{{x+\sqrt{x}-2\sqrt{{xy}}-2\sqrt{y}}}.\dfrac{{1-x}}{{1-\sqrt{x}}}$
a] Rút gọn $P$
b] Tìm tất cả các số nguyên dương $x$ để $y=625$ và $P