GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Phương phápCơ sở của phương pháp tìm giao điểm I của đường thẳng d và mặt phẳng [P ] là xét hai khả năng xảy ra:
- Trường hợp 1: [P ] chứa đường thẳng
Khi đó:
- Trường hợp 2: [P ] không chứa đường thẳng nào cắt d.
+ Tìm
+ Tìm I=d\cap \Delta ;
Bài tập áp dụng
Bài 1. Cho tứ diện ABCD có các điểm M,N lần lượt là trung điểm của AC,BC. Lấy điểm K thuộc BD [K không là trung điểm của BD]. Tìm giao điểm của CD,AD và [MNK].
Bài 2. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AC,BC,BD lần lượt lấy các điểm M,N,P sao cho MN không song song với AB. Tìm giao điểm của CD,AB,AD với mặt phẳng [MNP].
Bài 3. Cho tứ diện SABC. Trên các cạnh SA,SB lấy hai điểm M,N tùy ý. Gọi O là điểm thuộc miền trong tam giác ABC. Tìm giao điểm của [OMN] với các cạnh của của tứ diện.
Bài 4. Cho bốn điểm không đồng phẳng A,B,C,D. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AC,BC. Tìm giao điểm của CD với [MNP].
Bài 5. Cho tứ diện ABCD. Gọi I,J là các điểm lần lượt nằm trên AB,AD sao cho
Bài 6. Cho tứ diện ABCD. Gọi I,J và L lần lượt là các điểm trên các cạnh AB,BC và CD sao cho
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD. Lấy M,N,P lần lượt là các điểm trên SA,AB và BC sao cho chúng không trùng với trung điểm của các đoạn ấy. Tìm giao điểm [nếu có] của mặt phẳng [MNP] với các đường thẳng BD, CD.
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M,N tương ứng là các điểm thuộc các cạnh SC và BC. Tìm giao điểm của SD với [AMN].
Bài 9. Cho bốn điểm không đồng phẳng A,B,C,D. Gọi I,K theo thứ tự là hai điểm trong của tam giác ABC và BCD. Giả sử IK cắt [ACD] tại J. Hãy xác định điểm J.
Bài 10. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB,AC,AD lần lượt lấy các điểm M,N,P. Gọi O là điểm tùy ý trong tam giác BCD.
a] Tìm giao điểm của BC và [ADO]; giao tuyến của [ABC] với [ADO].
b] Tìm giao điểm của OA với [MNP].
Bài 11. Cho hình bình hành ABCD và điểm S nằm ngoài mặt phẳng [ABCD].
a] Trên SC lấy điểm M. Tìm giao điểm của AM với [SBD].
b] Giả sử M là trung điểm của SC. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAD. Tìm giao điểm của MG với các mặt phẳng [ABCD], [SAB].
Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD.
a] Trên SA lấy điểm M. Tìm giao điểm của CM với [SBD].
b] Trên phần kéo dài của BC về phía C ta lấy điểm N. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAD. Tìm giao điểm của NG với các mặt phẳng [SCD], [SBD], [SAB].
Bài 13. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm I và J,K lần lượt là các điểm thuộc miền trong của các tam giác BCD và ACD. Gọi L là giao điểm của JK và [ABC].
a] Xác định điểm L.
b] Tìm giao tuyến của [IJK] với các mặt của tứ diện ABCD.
Bài 14. Cho tam giác ABC và điểm S không thuộc mặt phẳng [ABC]. Gọi M là trung điểm AC, N là trung điểm SA, G là trọng tâm của tam giác SBC.
a] Tìm giao điểm của NG với [ABC]; b] Tìm giao tuyến của NG với [SBM].
Bài 15. Trong mặt phẳng [P] cho tứ giác lồi ABCD có các cặp cạnh đối không song song và ngoài [P] cho điểm S.
a] Trên SA lấy điểm M. Tìm giao điểm của BM và [SCD].
b] Trên phần kéo dài của BC về phía C ta lấy điểm N. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAD. Tìm giao điểm của đường thẳng NG với các mặt phẳng [SCD], [SBD], [SAB].
Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với đáy lớn AD. Gọi M,N lần lượt là hai điểm bất kỳ thuộc SB,SD. Tìm giao điểm của:
a] SA và [MCD]; b] MN và [SAC]; c] SA và [MNC].
Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và Mlà trung điểm SC.
a] Tìm giao điểm I của AM và [SBD].
b] Tìm giao điểm J của SD và [ABM].
c] Gọi N là điểm thuộc AB. Tìm giao điểm của MN và [SBD].
Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh đối không song song. Gọi M,N,P lần lượt là các điểm thuộc SA,AB,BC. Tìm giao điểm của:
a] MP và [SBD]; b] SD và [MNP]; c] SC và [MNP].
Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SB,AD và G là trọng tâm của tam giác SAD.
a] Tìm giao điểm I của GM và [ABCD].
b] Tìm giao điểm J của AD và [OMG].
c] Tìm giao điểm K của SA và [OMG].
Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD có M,I lần lượt là trung điểm của SA,AC, lấy điểm P thuộc AB sao cho 2PB=AB và điểm N thuộc SC sao cho SC=3SN. Tìm giao điểm của:
a] SI và [MNP]; b] AC và [MNP]; c] BC và [MNP].
Bài 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song và I là điểm thuộc SA. Tìm giao tuyến của:
a] SD và [IBC]; b] IC và [SBD]; c] SB và [ICD].
Bài 22. Cho tứ diện ABCD có M thuộc đoạn AC, N thuộc đoạn AD và P nằm bên trong tam giác BCD. Tìm giao điểm của:
a] CD và [ABP]; b] MN và [ABP]; c] AP và [BMN].
Bài 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang đáy lớn AB. Lấy I,J,K nằm trên SA,CD,BC.
a] Tìm giao tuyến của [IJK] và [SAB];
b] Tìm giao tuyến của [IJK] và [SAC];
c] Tìm giao tuyến của [IJK] và [SAD];
d] Tìm giao điểm của SB và [IJK];
e] Tìm giao điểm của IC và [SJK].
Bài 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang đáy lớn AB. Lấy điểm K thuộc đoạn BC, I là trung điểm của SA, J thuộc đoạn AB.
a] Tìm giao điểm của KI và [SBD]; b] Tìm giao tuyến của [IJK] và [SCD].
Bài 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
a] Tìm giao tuyến của [SAD] và [SBC]; [SAB] và [SCD].
b] Lấy điểm M thuộc SC. Tìm giao điểm N của SD và [ABM]. Tứ giác ABMN là hình gì?
Bài 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M,H,K lần lượt là trung điểm của AD,SA,SB.
a] Tìm giao tuyến của [SAD] và [SBC].
b] Tìm giao tuyến của [SCD] và [MHK].
c] Tìm giao điểm N của BC và [MHK]. Tứ giác MHKN là hình gì?
Bài 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB. Gọi I,J,K lần lượt là trung điểm của AD,BC,SB.
a] Tìm giao tuyến của [SAB] và [SCD].
b] Tìm giao tuyến của [SCD]và [IJK].
c] Tìm giao điểm M của SD và [IJK].
d] Tìm giao điểm N của SA và [IJK].
e] Xác định thiết diện của hình chóp với [IJK]. Thiết diện là hình gì?
Bài 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của SB,BC,SD.
a] Tìm giao tuyến của [SCD] và [MNP].
b] Tìm giao điểm của CD với [MNP].
c] Tìm giao điểm của AB với [MNP].
d] Tìm giao tuyến của [SAC] với [MNP]. Suy ra thiết diện của hình chóp với [MNP].
Bài 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M,E,F lần lượt là trung điểm của AB,SA,SD.
a] Tìm giao tuyến của [MEF] và [ABCD].
b] Tìm giao điểm của BC và [MEF].
c] Tìm giao tuyến của SC và [MEF].
d] Gọi O là giao điểm của AC và BD. Tìm giao điểm của SO và [MEF].
Bài 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của OB,SO,BC.
a] Tìm giao tuyến của [NPO] và [SCD].
b] Tìm giao tuyến của [SAB] và [AMN].
c] Tìm giao điểm E của SAvới [MNP].
d] Chứng minh ME và PN song song nhau.
e] Tìm giao điểm của MN và [SCD].
f] Tìm thiết diện của hình chóp và [MNP].
Bài tập tổng hợp
Bài 1. Cho hình chóp $S.ABCD$. Gọi $M$ là điểm thuộc miền trong của tam giác SCD.
a] Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng [SMB] và [SAC].
b] Tìm giao điểm của đường thẳng BM và mặt phẳng [SAC].
c] Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng [ABM].
Bài 2. Cho hai hình thang không phải là hình bình hành ABCD và ABEF có chung đáy lớn AB và không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a] Xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng [ACE] và [BDF]; [BCE] và [ADF].
b] Lấy M trên đoạn DF. Tìm giao điểm của AM và mặt phẳng [BCE].
c] Chứng minh hai đường thẳng AC và BF không cắt nhau.
Bài 3. Cho hình chóp S.ABC. Gọi I,H theo thứ tự là trung điểm của SA,AB. Lấy điểm K trên đoạn SC sao cho CK=3KS.
a] Tìm giao điểm của BC và mặt phẳng [IHK].
b] Gọi M là trung điểm của HI. Tìm giao điểm của KM và [ABC].
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD, M là điểm thuộc BC, N là điểm thuộc SD.
a] Tìm giao điểm I của BN và [SAC], J là giao điểm của MN và [SAC].
b] DM và AC cắt nhau tại K, chứng minh S,K,J thẳng hàng.
c] Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng [BCN].
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD, G là trọng tâm của tam giác SAB, E là trung điểm của SD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
a] [CGE] và [ABCD]; b] [CGE] và [SAD].
Bài 6. Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AC,BC, K là điểm trên đoạn BD, BK>KD. Tìm giao điểm của:
a] CD và [MNK] b] AD và [MNK].
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác có các cạnh đối không không song song. Gọi M,N lần lượt là các điểm trên SA,SB. Giả sử MN cắt [SCD]. Tìm giao điểm của chúng.
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I,J,K là ba điểm lần lượt trên các cạnh SA,AB,BC. Giả sử JK cắt CD và AD. Tìm giao điểm của mặt phẳng [IJK] với các đường thẳng SD,SC.
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SD; E là điểm trên cạnh BC.
a] Tìm giao điểm N của SC với [AME].
b] Tìm giao tuyến của [AME] với [SAC].
c] Gọi K là giao điểm của SA với [MBC]. Chứng minh K là trung điểm SA.
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi F là trung điểm CD; E là điểm trên cạnh SC sao cho SE=2EC. Tìm thiết diện tạo bởi [AEF] với hình chóp.
Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm SD; E là trung điểm của cạnh SB.
a] Tìm giao điểm F của CD với mặt phẳng [AIE].
b] Tìm giao tuyến d của [AIE] với [SBC].
c] Chứng minh BC,AF,d đồng qui.
Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. F là trung điểm SC; E là điểm trên cạnh BC sao cho BE=2EC.
a] Tìm giao điểm của SB với mặt phẳng [AEF].
b] Tìm tiết diện tạo bởi mặt phẳng [AEF] với hình chóp.
Bài 13. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm SB và G là trọng tâm của tam giác SAD.
a] Tìm giao điểm I của GM với [ABCD] và chứng minh I nằm trên đường thẳng CD và IC=2ID.
b] Tìm giao điểm J của [OMG] với AD. Tính tỉ số
c] Tìm giao điểm K của [OMG] với SA. Tính tỉ số