SỐ TRUNG BÌNH CỘNG
I/ Tóm tắt lý thuyết
1. Số trung bình cộng
a] Khái niệm
Số trung bình cộng của một dấu hiệu X, kí hiệu \[\overline X \] là số dùng làm đại diện cho một dấu hiệu khi phân tích hoặc so sánh nó với các biến lượng cùng loại.
b] Quy tắc tìm số trung bình cộng
Số trung bình cộng của một dấu hiệu được tính từ bảng tần số theo cách sau:
- Nhân từng giá trị với tần số tương ứng
- Cộng tất cả các tích vừa tìm được
- Chia tổng đó cho các giá trị [tức tổng các tần số]
Ta có công thức: \[\overline X = \frac{{{x_1}{n_1} + {x_2}{n_2} + {x_3}{n_3} + ... + {x_k}{n_k}}}{N}\]
Trong đó:
c] Ý nghĩa của số trung bình cộng
- Ý nghĩa: Số trung bình cộng thường được dùng làm "đại diện" cho dấu hiệu, đặc biệt là khi muốn so sánh các dấu hiệu cùng loại.
- Chú ý:
+ Khi các giá trị của dấu hiệu có khảng cách chênh lệch rất lớn đối với nhau thì không nên lấy số trung bình cộng là “đại diện” cho dấu hiệu đó.
Ví dụ: Xét dấu hiệu X có dãy giá trị là: \[4000\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1000\,\,\,\,\,\,\,\,\,500\,\,\,\,\,\,\,\,\,100.\]
Không thể lấy số trung bình cộng \[\overline X = 1400\] là đại diện cho X vì có sự chênh lệch rất lớn giữa các giá trị [chẳng hạn \[4000\] và \[100\]].
+ Số trung bình cộng có thể không thuộc dãy giá trị của dấu hiệu.
2. Mốt của dấu hiệu
Mốt của dấu hiệu là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng tần số. Kí hiệu là \[{M_0}.\]
3. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Xạ thủ A và B thi bắn súng, mỗi người bắn 10 phát súng, kêt quả điểm như sau:
Tính điểm trung bình của mỗi xạ thủ và cho biết ai bắn tốt hơn.
Phương pháp:
Lời giải chi tiết:
Ví dụ 2: Điểm của Ban giám khảo cho các thí sinh A và B như sau:
Tính điểm trung bình của mỗi thí sinh và cho biết ai được bước tiếp vào vòng trong.
Lời giải chi tiết:
Ví dụ 3: Trung bình cộng của tám số là 12. Do thêm số thứ chín nên trung bình cộng của chín số là 13. Tìm số thứ chín.
Lời giải chi tiết:
Tổng của tám số lúc đầu là: 12.8=96.
Tổng của chín số là: 13.9=117.
Số thứ chín là: 117-96=21.
Vậy số thứ chín là 21.
Ví dụ 4: Một bảng thống kê cho biết tỉ số giữa số nữ và số nam là 11:10. Tuổi thọ trung bình của nữ là 34, tuổi thọ trung bình của nam là 32. Tính tuổi trung bình của những người được thống kê.
Lời giải chi tiết:
Dạng 1: Câu hỏi trắc nghiệm:
Chọn đáp án trước câu trả lời đúng:
Câu 1: Phát biểu nào sau đây là sai:
A. Số trung bình cộng thường được dùng để làm đại diện cho dấu hiệu, đặc biệt là khi so sánh các dấu hiệu cùng loại.
B. Số trung bình cộng luôn thuộc dãy giá trị của dấu hiệu.
C. Mốt của dấu hiệu là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng “tần số”
D. Khi các giá trị của dấu hiệu có khoảng chênh lệch rất lớn đối với nhau thì không nên lấy số trung bình cộng làm “đại diện” cho dấu hiệu đó.
Câu 2: Trung bình cộng của sáu số là 4. Do thêm số thứ bảy nên trung bình cộng của bảy số là 5. Số thứ bảy là:
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
Câu 3: Trung bình cộng của các giá trị thay đổi như thế nào nếu mỗi giá trị tăng a đơn vị:
A. Giảm a đơn vị B. Giảm 2a đơn vị
C. Tăng 2a đơn vị D. Tăng a đơn vị
Câu 4: Điểm trung bình 10 bộ môn của An như sau:
6,2 6,3 7,2 7,5 7,5 8,4 8,6 8,8 8,8 9,0
Điểm trung bình của An là:
A. 7,1 B. 7,08 C. 7,2 D. 7,09
Câu 5: Một học sinh viết 27 số rồi tính trung bình cộng của chúng, nhưng sau đó học sinh này lại viết tiếp số trung bình cộng đó bên cạnh rồi tính luôn số trung bình cộng của 28 số. Số trung bình cộng lúc sau lớn hơn, nhỏ hơn hay bằng số trung bình cộng lúc đầu?
A. Lớn hơn B. Nhỏ hơn
C. Bằng D. Không thể biết được
Đáp án: 1B, 2A, 3D, 4B, 5C
Dạng 2: Bài tập tự luận
Bài 1:
Lời giải chi tiết:
Bài 2: Quan sát bảng “tần số” [bảng 24] và cho biết có nên dùng số trung bình cộng làm “đại diện” cho dấu hiệu không? Vì sao?
Lời giải chi tiết:
Số trung bình cộng này chênh lệch quá lớn so với các giá trị trong bảng. Do đó trong trường hợp này không nên dùng số trung bình cộng làm “đại diện” cho dấu hiệu.
Bài 3: Đo chiều cao của 100 học sinh lớp 6 [đơn vị đo: cm] và được kết quả theo bảng sau:
a] Bảng này có gì khác so với những bảng “tần số” đã biết?
b] Ước tính số trung bình cộng trong trường hợp này.
Phương pháp:
- Kẻ thêm vào sau cột chiều cao là cột số trung bình cộng của từng lớp; sau cột tần số là cột tích giữa trung bình cộng.
- Nhân từng giá trị của trung bình cộng mỗi lớpvới tần số tương ứng
- Cộng tất cả các tích vừa tìm được
- Chia tổng đó cho các giá trị [tức tổng các tần số] để tìm số trung bình cộng.
Lời giải chi tiết:
a] Bảng này có khác so với bảng tần số đã học.
Các giá trị khác nhau của biến lượng được "phân lớp" trong các lớp đều nhau [10 đơn vị] mà không tính riêng từng giá trị khác nhau.
b] Số trung bình cộng
Để tiện việc tính toán ta kẻ thêm vào sau cột chiều cao là cột số trung bình cộng của từng lớp; sau cột tần số là cột tích giữa trung bình cộng.
Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây:
>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
Table of Contents
Như chúng ta đã được học ở Lớp 4 thì muốn tính trung bình cộng của hai hay nhiều số ta cộng tất cả các số đó lại và chia cho số các số hạng đó. Vậy thì số trung bình cộng của dấu hiệu có được tính giống như vậy hay không? Để trả lời cho câu hỏi này chúng ta cùng nhau tìm hiểu qua bài viết sau đây nhé.
1. Cách tính số trung bình cộng của dấu hiệu
Số trung bình cộng của dấu hiệu kí hiệu là: và được gọi tắt là số trung bình cộng.
Để tính được số trung bình cộng của dấu hiệu, ta phải dựa vào bảng tần số các giá trị của dấu hiệu. Nếu chưa có bảng tần số thì ta phải lập bảng tần số, sau đó mới tính được số trung bình cộng.
Các bước để tính số trung bình cộng của dấu hiệu như sau:
- Bước 1: Ta nhân từng giá trị của dấu hiệu với tần số tương ứng của chúng
- Bước 2: Cộng tất cả các tích vừa tìm được ở bước 1
- Bước 3: Chia tổng vừa tìm được ở bước 2 cho số các giá trị của dấu hiệu.
Khi đó, với x1; x2; x3; ... ; xt là t giá trị khác nhau của dấu hiệu X, n1; n2; n3; ... ; nt là t tần số tương ứng, N là số các giá trị [hay tổng các tần số], ta sẽ có công thức sau:
Ví dụ minh họa: Hãy tính số trung bình cộng của dấu hiệu Q biết bảng tần số của dấu hiệu Q như sau:
| Giá trị [x] | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Tần số [n] | 3 | 2 | 2 | 1 |
Giải:
Ta có: N = 3 + 2 + 2 + 1 = 8
Áp dụng công thức tính số trung bình cộng của dấu hiệu, ta có:
2. Ý nghĩa của số trung bình cộng của dấu hiệu
Số trung bình cộng của dấu hiệu X là một đại diện cho dấu hiệu đó khi cần phải trình bày một cách ngắn gọn hoặc khi phải so sánh với một dấu hiệu cùng loại.
*Chú ý:
- Không nên lấy số trung bình cộng của dấu hiệu để làm đại diện cho dấu hiệu đó khi độ chênh lệch giữa các giá trị của dấu hiệu rất lớn.
- Số trung bình cộng của dấu hiệu có thể thuộc hoặc không thuộc dãy giá trị của dấu hiệu.
3. Mốt của dấu hiệu
Để tìm được mốt của dấu hiệu ta cũng dựa vào bảng tần số của dấu hiệu.
Giá trị có tần số lớn nhất trong bảng tần số chính là mốt của dấu hiệu
Mốt được kí hiệu là Mo
*Chú ý: Mốt của dấu hiệu có thể có một hoặc nhiều giá trị.
» Xem thêm: Mốt của dấu hiệu là gì? Cách tìm mốt của dấu hiệu đơn giản
4. Các dạng bài tập thường gặp về cách tính số trung bình cộng của dấu hiệu
4.1. Bài tập củng cố công thức tính số trung bình cộng của dấu hiệu
*Phương pháp giải:
Áp dụng công thức tính số trung bình cộng của dấu hiệu
Ví dụ: Tính số trung bình cộng điểm tổng kết các môn học của bạn Hải biết rằng điểm tổng kết các môn học của bạn Hải được cho trong bảng sau:
| Điểm số [n] | 7,9 | 8,3 | 8,0 | 7,3 | |
| Số lần xuất hiện | 3 | 2 | 4 | 3 | N= 12 |
Giải:
Dựa vào công thức tính số trung bình cộng ta có:
4.2. Dựa vào bảng tần số để tìm mốt của dấu hiệu
*Phương pháp giải:
Dựa vào bảng tần số để tìm ra giá trị có tần số lớn nhất, đó chính là mốt cần tìm
Ví dụ: Dựa vào bảng tần số điểm tổng kết các môn học của bạn Hải ta thấy điểm 8,0 có tần số lớn nhất là 4. Vậy mốt là M0 = 8,0.
4.3. Bài tập có kiến thức tổng hợp
*Phương pháp giải:
Tùy vào yêu cầu của từng bài tập để phân tích, suy luận đưa ra phương pháp giải chính xác và phù hợp nhất.
5. Một số bài tập vận dụng cách tính số trung bình cộng của dấu hiệu
Bài 1: Hãy lập bảng số liệu thống kê ban đầu về số dân trong độ tuổi từ 13 đến 20 tuổi của 8 thôn trong xã của em [đơn vị: người].
Sau đó trả lời các câu hỏi sau:
- Hãy chỉ ra dấu hiệu là gì? Có tất cả bao nhiêu giá trị của dấu hiệu đó?
- Có tất cả bao nhiêu giá trị khác nhau của dấu hiệu
- Hãy lập bảng tần số các giá trị của dấu hiệu đó
- Hãy tính dân số trung bình trong độ tuổi từ 13 đến 20 tuổi của 8 thôn trong xã của em.
- Độ tuổi nào có số lượng nhiều nhất? Đó có phải là mốt không? Nếu không phải thì em hãy tìm mốt của dấu hiệu đó.
Bảng số liệu thống kê ban đầu về số dân trong độ tuổi từ 13 đến 20 tuổi của 8 thôn của xã em.
a. Dấu hiệu ở đây là: Dân số trong độ tuổi từ 13 đến 20 tuổi của 8 thôn trong xã của em.
Có tất cả 8 giá trị.
b. Có tất cả 5 giá trị khác nhau.
c. Bảng tần số các giá trị của dấu hiệu :
| Số lượng [x] | 21 | 11 | 19 | 30 | 3 | |
| Tần số [n] | 2 | 2 | 1 | 2 | 1 | N=8 |
d.
Vậy dân số trung bình trong độ tuổi này là: 18,25
e. Độ tuổi có số lượng nhiều nhất là: 16 và 17 với số lượng là 30 người.
Đây không phải là mốt. Vì mốt là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng tần số chứ không phải là dấu hiệu có số lượng nhiều nhất trong bảng số liệu thống kê ban đầu
Dựa vào bảng tần số ta thấy có ba giá trị với tần số lớn nhất là 21; 11; 30 [với tần số đều là 2]
Vậy mốt là: Mo = 21; Mo = 11; Mo = 30.
Bài 2: Cô Yến là cô giáo mới năm đầu tiên đảm nhận công tác chủ nhiệm lớp. Cô đưa ra một phong trào thi đua giữa các tổ dựa vào điểm trung bình cộng của tất cả các bạn trong tổ theo từng học kì.
Cách tính điểm của từng người như sau: Điểm số ban đầu của từng thành viên là 10 điểm. Nếu vi phạm 1 lỗi trừ 0,1 điểm.
Tổ em có 9 bạn và điểm số của các bạn trong tổ em trong học kì 1 được cho trong bảng sau:
| 7,9 | 9,6 | 8,7 | 7,9 | 5,3 | 9,6 | 8,7 | 7,9 | 6,5 |
Giả sử em là người đảm nhận việc tính điểm trung bình cộng của tổ mình. Em hãy dựa vào bảng trên để tính điểm trung bình cộng của tổ mình.
ĐÁP ÁNDấu hiệu ở đây là: điểm số của các bạn trong tổ em trong học kì 1
Em sẽ lập bảng tần số của điểm số của các bạn trong tổ em như sau:
| Điểm số [x] | 5,3 | 6,5 | 7,9 | 8,7 | 9,6 |
| Tần số [n] | 1 | 1 | 3 | 2 | 2 |
Từ đó em sẽ tính được điểm trung bình của tổ em bằng cách áp dụng công thức để tính số trung bình cộng của dấu hiệu:
Vậy điểm trung bình cộng của tổ em là: 8,01
Trên đây là tổng hợp các kiến thức về cách tính số trung bình cộng của dấu hiệu, các dạng bài tập cơ bản của số trung bình cộng cùng với một số bài tập vận dụng có lời giải chi tiết. Hy vọng sẽ giúp ích cho các bạn học sinh trong quá trình học tập của mình.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang