Bài toán về hai tiếp tuyến cắt nhau
I. Hướng dẫn giải
Vận dụng các tính chất về hai tiếp tuyến cắt nhau:
SA = SB.
SO là tia phân giác của góc ASB và góc AOB.
II. Bài tập mẫu
Bài 1. Cho đường tròn [O; R] và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn [B, C là các tiếp điểm]
a. Chứng minh 4 điểm A, B, O, C cùng nằm trên một đường tròn.
b. Gọi E là giao điểm của BC và OA. Chứng minh OE.OA = .
c. Trên cung nhỏ BC của đường tròn [O; R] lấy điểm K bất kì [K khác B, C]. Tiếp tuyến tại K của đường tròn [O, R] cắt AB, AC theo thứ tự tại P, Q. Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC.
Giải
a. AB, AC là hai tiếp tuyến của đường tròn [O] nên:
B, C nằm trên đường tròn đường kính OA
Vậy 4 điểm A, B, O, C cùng nằm trên đường tròn đường kính OA.
b. AB, AC là hai tiếp tuyến kẻ từ cùng một điểm nên:
AB = ACABC cân tại A.
Cũng có: OA là tia phân giác của góc BAC [tính chất của hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm]
Suy ra: OA là đường cao củaABC
OA BC hay OA BE
XétAOB vuông tại B, đường cao BE, ta có:
OA.OE = [đpcm]
c. PB, PK là hai tiếp tuyến kẻ từ điểm P nên PB = PK
QC, QK là hai tiếp tuyến kẻ từ điểm Q nên QC = QK
Do đó, chu vi tam giác APQ
Vậy chu vi tam giác APQ luôn bằng 4R không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC.
Bài 2. Cho đường tròn [O] đường kính AB = 10. Dây cung CD vuông góc với AB tại E sao cho AE = 1. Các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn [O] cắt nhau tại K, AK và CE cắt nhau tại M.
a. Chứng minh tam giác AEC đồng dạng với tam giác OBK.
b. Tính BK.
[Đề thi vào khối THPT chuyên Sư phạm Hà Nội năm 2011]
Giải
a. Ta có: OA = OC [=R]AOC cân tại O
KB, KC là hai tiếp tuyến kẻ từ điểm K OK là tia phân giác của góc BOC
III. Bài tập vận dụng
Bài 1. Cho đường tròn tâm O và điểm A ở bên ngoài đường tròn. Một cát tuyến qua A cắt đường tròn tại B, C phân biệt. Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại D. Đường thẳng qua D vuông góc với OA cắt đường tròn E và F [E thuộc đoạn DF]. Gọi M là trung điểm của đoạn BC. Chứng minh:
a. 5 điểm A, E, M, O, F cùng thuộc một đường tròn.
b. AE, AF là các tiếp tuyến của đường tròn [O].
[Đề thi vào lớp chuyên toán Đại học Sư phạm TP HCM năm 2006]
Bài 2. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O [AB