SKKN : THAM SỐ TRONG PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ. GV : VŨ HỮU VIÊN . Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Vũng Tàu C.NỘI DUNG : Lời giải cho các bài toán sau đây chỉ cần vận dụng các kiến thức cơ bản trong chương trình đại số lớp 10, trong đó tư tưởng hàm số và đồ thị được tiếp cận và khai thác một cách thích hợp. Vấn đề 1. Giải và biện luận phương trình, bất phương trình vô tỉ: Đây là một nhiệm vụ tối thiểu phải hoàn thành của học sinh, vấn đề là nên đưa ra các bài tập ở mức độ thích hợp với từng đối tượng. Bài toán 1: Giải và biện luận theo tham số m các phương trình sau: a] b] c] Phân tích: Nhóm bài tập nói ở đây không yêu cầu về điều kiện của ẩn khi biến đổi tương đương. Mục đích kiểm tra kiến thức cơ bản, có thể lồng ghép nhiều dạng trong một. [1] TH1: : phương trình [1] vô nghiệm; TH2: Câu 1.a: Yêu cầu kiến thức đơn giản Câu 1.b: Kết hợp với kiến thức về phương trình bậc 2 thu gọn, không điều kiện. Câu 1.c: Kết hợp với kiến thức về phương trình ax = b, không điều kiện. Bài toán 2: Giải và biện luận theo tham số m các phương trình sau: a] b] c] d]* Phân tích: Các bài tập đều có yêu cầu về điều kiện của ẩn ở các mức độ khác nhau. Tuy nhiên, sau bước biến đổi tương đương ; chỉ đưa đến phương trình bậc nhất, hoặc bậc hai có nghiệm đặc biệt, không “làm khó” học sinh. Vấn đề còn lại là chọn cách trình bày thích hợp. Giải: * Xét câu 2.a: . Biện luận: 1] pt 2.a có tập nghiệm . 2] : pt 2.a có tập nghiệm . * Câu 2.b và 2.c trình bày tương tự, với yêu cầu cao hơn. * Xét câu 2.d: Biện luận [1] : a] : [1] vô nghiệm. b] . Kết luận : - Với m = 0: nên tập nghiệm 2.d là Với [1] vô nghiệm nên tập nghiệm 2.d là ; - Với : [1] có nghiệm nên tập nghiệm 2.d là Bài toán 3: Giải và biện luận theo tham số m các bất phương trình sau: a] c] d] Giải: Với lập luận cơ bản sau và Các câu 3.a và 3.b chỉ yêu cầu ở mức độ vận dụng hai phép biến đổi trên. Câu 3.c là bài toán “ hai trong một”, kiểm tra được kiến thức kép. . Xét câu 3.d]* Bài toán sẽ đơn giản hơn nếu là . Tuy nhiên ta có thể đưa bài toán về dạng “dễ chịu” hơn với việc đặt ẩn phụ: . Bài toán trở thành: . Tiếp theo cần so sánh 0 và 1 – m2 để có tập nghiệm theo t. Từ đó suy ra tập nghiệm theo x. Vấn đề về ẩn phụ sẽ được bàn tiếp ở phần sau. Bài toán 4: Giải và biện luận theo tham số m các bất phương trình sau: a] Giải: Câu 4.a nếu làm như sau: Thì việc biện luận [I] là đơn giản, nhưng đối với [II] là quá phức tạp. Có thể vận dụng kết hợp giữa ẩn phụ và tính chất hàm số bậc hai : Đặt ;Bất phương trình trở thành :. Xét hàm số trên khoảng , với bảng biến thiên : Ta có thể biện luận đơn giản hơn như sau : a] : bpt vô nghiệm. b] : Hoành độ các giao điểm của [d] : y = m và [P]: y = f[t] là + Với nên tập nghiệm theo t là , suy ra tập nghiệm theo x là + Với nên tập nghiệm theo t là , suy ra tập nghiệm theo x là . Việc sử dụng bảng biến thiên hoặc đồ thị hàm số kết hợp với phép toán đại số cho ta một phương pháp “ tích hợp” rất thú vị. Câu 4 hoàn toàn có thể thực hiện tương tự: Giải: Đặt ;Bất phương trình trở thành :. Cũng với ý tưởng tích hợp đó cho bài toán tiếp sau đây: Bài toán 5: Giải và biện luận theo tham số m các phương trình, bất phương trình sau: a] Phân tích: Việc chọn biểu thức trong câu 5.a để đặt điều kiện, cũng như việc chọn các biểu thức ở hai vế cho thích hợp ở câu 5.b là cần thiết để bài toán không phức tạp quá mức; cho học sinh còn có hứng thú giải quyết bài toán một cách trọn vẹn. Vấn đề 2. Một số bài toán chứa tham số khác: 2.1 Tìm tất cả giá trị của tham số để hai phương trình, bất phương trình tương đương, hoặc là hệ quả. Phương pháp: giải trực tiếp bằng biến đổi đại số hoặc gián tiếp vận dụng chiều biến thiên của hàm số. Bài toán 6: Tìm tất cả giá trị của tham số m sao cho [1] tương đương với [2]. Giải: [1] có tập xác định là tập rỗng nên [1] vô nghiệm. Vậy bài toán trở thành tìm m để [2] vô nghiệm. [2]: . Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng .ĐS:. Bài toán 7: [1] là hệ quả của [2] Giải: Tập xác định của [2] là D = [1;2]. Sử dụng phương pháp so sánh: ta suy ra [2] có tập nghiệm là S = [1;2]. Vậy bài toán tương đương: Tìm m để [1] có tập nghiệm chứa S, hay [1] thoả với mọi giá trị x thuộc [1;2]. Biến đổi [1]: Với , [ dùng phương pháp miền giá trị hàm số] Bài toán tương đương: Tìm m sao cho bất phương trình thoả với mọi . Lập bảng biến thiên của hàm số , kết quả . Một số bài toán phát triển từ bài toán 7: Bài toán 8: [1] tương đương với [2] Giải: [2] có nghiệm duy nhất x = 3 [ dùng đánh giá như bài 7] Điều kiện cần: [1] có nghiệm x = 3 , suy ra m = 12. Điều kiện đủ: Giải phương trình Vậy không có m thoả yêu cầu bài toán. Bài toán 9: [1] là hệ quả của [2] Giải: [2] có nghiệm duy nhất x = 3 [ dùng đánh giá như bài 7] Vậy bài toán tương đương: x = 3 là nghiệm của [1] [3] 2.2 Tìm tất cả giá trị tham số để phương trình, bất phương trình có một số nghiệm, khoảng nghiệm thoả tính chất theo yêu cầu: Bài toán 10: Tìm m sao cho phương trình [*] có nghiệm duy nhất. * Phân tích: . Đây là dạng bài toán ứng dụng đồ thị hàm số quen thuộc, cần chú ý chọn sao cho hoành độ điểm cực trị của hàm số thuộc miền xét để đa dạng hoá tình huống. Lập bảng biến thiên [ hoặc vẽ đồ thị] và cho kết quả. Có thể mở rộng bài toán với yêu cầu: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình [*]. Bài toán 11: Tìm m sao cho phương trình [*] có đúng hai nghiệm. Phân tích: . Đặt , từ chiều biến thiên của hàm số trên khoảng ta có tập giá trị của t là và tương ứng [t - x] là tương ứng [1 – 1] [ song ánh] Như vậy, bài toán tương đương: Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm trên khoảng . Tiếp tục dùng phương pháp hàm như trên. Lưu ý: bài toán rất phức tạp nếu tương ứng [t - x] không đơn thuần là [1-1], yêu cầu này chỉ nên dành cho đối tượng học sinh khá giỏi. Trong chương trình đại số 10, học sinh chỉ được biết về chiều biến thiên của hàm đa thức bậc 1, 2. Khi thực hiện yêu cầu bài toán theo hướng sử dụng hàm, một số bài có thể là hàm phân thức hữu tỉ, xét chiều biến thiên của chúng là điều quá sức đối với học sinh lớp 10. Có thể dùng kỹ thuật “ đa thức hoá”như sau: Bài toán 12: Cho bất phương trình [ ẩn ]: . Tìm tất cả giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm. Giải: Sử dụng phương pháp hàm với kỹ thuật “ đa thức hoá” *[1] * không là nghiệm của [1] với mọi m, vậy [1] * Đặt ; [1] trở thành: * Xét hàm số ; có tập giá trị là . Kết luận: bất phương trình có nghiệm . Bài toán 13: Tìm m sao cho bất phương trình thoả với mọi x thuộc tập xác định. Giải: Tập xác định của bất phương trình là D = [1;5]. Trên D, ta có , dấu = chỉ tại x = 2. Với mọi m, x = 2 là một nghiệm Bài toán đưa về việc tìm m để thoả Sử dụng phương pháp hàm với kỹ thuật đa thức hoá : . , với , với . Hàm số trong có giá trị lớn nhất là 8. Vậy là giá trị cần tìm. Bài toán 14: Tìm m sao cho bất phương trình có đúng một nghiệm nguyên. Giải: Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ: * xác định . Vậy nghiệm nguyên của bất phương trình chỉ có thể thuộc tập {-1;0;1}. * Vậy bài toán tương đương với: Tìm m để chỉ một trong 3 số -1; 0; 1 là nghiệm của bất phương trình [*] Với , bài toán [*] tương đương với . D.KẾT LUẬN : Như vậy, với việc chọn lọc các bài toán với mức độ thích hợp và đa dạng về cách giải quyết, học sinh được củng cố sâu về kiến thức, rèn luỵên về kỹ năng và phát triển tư duy toán học. Giúp các em không những chỉ giải quyết được các vấn đề của tham số trong phương trình đại số mà còn các lãnh vực khác của toán học cũng như trong cuộc sống. Vũng tàu, 30 /1/ 2015. Người viết: Vũ Hữu Viên
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề : Các phương pháp giải phương trình vô tỉ", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 1. Bình phương 2 vế của phương trình Phương pháp Thông thường nếu ta gặp phương trình dạng : , ta thường bình phương 2 vế , điều đó đôi khi lại gặp khó khăn hãy giải ví dụ sau và ta sử dụng phép thế :ta được phương trình : Ví dụ Giải phương trình sau : Giải: Đk Bình phương 2 vế không âm của phương trình ta được:, để giải phương trình này dĩ nhiên là không khó nhưng hơi phức tạp một chút . Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trình : Bình phương hai vế ta có : Thử lại x=1 thỏa Nhận xét : Nếu phương trình : Mà có : , thì ta biến đổi phương trình về dạng : sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả Bài 2. Giải phương trình sau : Giải: Điều kiện : Bình phương 2 vế phương trình ? Nếu chuyển vế thì chuyển như thế nào? Ta có nhận xét : , từ nhận xét này ta có lời giải như sau : Bình phương 2 vế ta được: Thử lại : l nghiệm Qua lời giải trên ta có nhận xét : Nếu phương trình : Mà có : thì ta biến đổi 2. Trục căn thức 2.1. Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung Phương pháp Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm như vậy phương trình luôn đưa về được dạng tích ta có thể giải phương trình hoặc chứng minh vô nghiệm , chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía vô nghiệm Ví dụ Bài 1 . Giải phương trình sau : Giải: Ta nhận thấy : v Ta có thể trục căn thức 2 vế : Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình . Bài 2. Giải phương trình sau [OLYMPIC 30/4 đề nghị] : Giải: Để phương trình có nghiệm thì : Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng , để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách như sau : Dễ dàng chứng minh được : Bài 3. Giải phương trình : Giải :Đk Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình Ta chứng minh : Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3 2.2. Đưa về “hệ tạm “ a] Phương pháp Nếu phương trình vô tỉ có dạng , mà : ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của . Ta có thể giải như sau : , khi đĩ ta có hệ: b] Ví dụ Bài 4. Giải phương trình sau : Giải: Ta thấy : không phải là nghiệm Xét Trục căn thức ta có : Vậy ta có hệ: Thử lại thỏa; vậy phương trình có 2 nghiệm : x=0 v x= Bài 5. Giải phương trình : Ta thấy : , như vậy không thỏa mãn điều kiện trên. Ta có thể chia cả hai vế cho x và đặt thì bài toán trở nên đơn giản hơn Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau : [HSG Toàn Quốc 2002] [OLYMPIC 30/4-2007] 3. Phương trình biến đổi về tích Sử dụng đẳng thức Bài 1. Giải phương trình : Giải: Bi 2. Giải phương trình : Giải: + , không phải là nghiệm + , ta chia hai vế cho x: Bài 3. Giải phương trình: Giải: pt Bài 4. Giải phương trình : Giải: Đk: Chia cả hai vế cho : Dùng hằng đẳng thức Biến đổi phương trình về dạng : Bài 1. Giải phương trình : Giải: Đk: khi đó pt đ cho tương đương : Bài 2. Giải phương trình sau : Giải: Đk: phương trình tương đương : Bài 3. Giải phương trình sau : Giải : pttt II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ 1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để giải chúng ta có thể đặt và chú ý điều kiện của nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo thì việc đặt phụ xem như “hoàn toàn ” .Nói chung những phương trình mà có thể đặt hoàn toàn thường là những phương trình dễ . Bài 1. Giải phương trình: Điều kiện: Nhận xét. Đặt thì phương trình có dạng: Thay vào tìm được Bài 2. Giải phương trình: Giải Điều kiện: Đặt thì . Thay vào ta có phương trình sau: Ta tìm được bốn nghiệm là: Do nên chỉ nhận các gái trị Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình l: Cách khác: Ta có thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện Ta được: , từ đó ta tìm được nghiệm tương ứng. Đơn giản nhất là ta đặt : và đưa về hệ đối xứng [Xem phần dặt ẩn phụ đưa về hệ] Bài 3. Giải phương trình sau: Điều kiện: Đặt thì phương trình trở thnh: [ với Từ đó ta tìm được các giá trị của Bài 4. [THTT 3-2005] Giải phương trình sau : Giải: đk Đặt pttt Bài 5. Giải phương trình sau : Giải: Điều kiện: Chia cả hai vế cho x ta nhận được: Đặt , ta giải được. Bài 6. Giải phương trình : Giải: không phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được: Đặt t=, Ta có : Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau Nhận xét : đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết được một lớp bài đơn giản, đôi khi phương trình đối với lại quá khó giải 2. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến : Chúng ta đã biết cách giải phương trình: [1] bằng cách Xét phương trình trở thành : thử trực tiếp Các trường hợp sau cũng đưa về được [1] Chúng ta hãy thay các biểu thức A[x] , B[x] bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng này . a] . Phương trình dạng : Như vậy phương trình có thể giải bằng phương pháp trên nếu Xuất phát từ đẳng thức : Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như: Để có một phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai giải “ nghiệm đẹp” Bài 1. Giải phương trình : Giải: Đặt Phương trình trở thành : Tìm được: Bài 2. Giải phương trình : Bài 3: giải phương trình sau : Giải: Đk: Nhận xt : Ta viết Đồng nhất thức ta được: Đặt , ta được: Ta được : Bài 4. Giải phương trình : Giải: Nhận xét : Đặt ta hãy biến pt trên về phương trình thuần nhất bậc 3 đối với x và y : Pt có nghiệm : b].Phương trình dạng : Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưg nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên. Bài 1. giải phương trình : Giải: Ta đặt : khi đó phương trình trở thành : Bài 2.Giải phương trình sau : Giải Đk . Bình phương 2 vế ta có : Ta có thể đặt : khi đó ta có hệ : Do . Bài 3. giải phương trình : Giải: Đk . Chuyển vế bình phương ta được: Nhận xét : không tồn tại số để : vậy ta không thể đặt . Nhưng may mắn ta có : Ta viết lại phương trình: . Đến đây bài toán được giải quyết . Các em hãy tự sáng tạo cho mình những phương trình vô tỉ “đẹp “ theo cách trên 3. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn Từ những phương trình tích , Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát . Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau . Bài 1. Giải phương trình : Giải: , ta có : Bài 2. Giải phương trình : Giải: Đặt : Khi đó phương trình trở thnh : Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có chẵn : Từ một phương trình đơn giản : , khai triển ra ta sẽ được pt sau Bài 3. Giải phương trình sau : Giải: Nhận xét : đặt , pttt: [1] Ta rút thay vào thì được pt: Nhưng không có sự may mắn để giải được phương trình theo t không có dạng bình phương . Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách 3x theo Cụ thể như sau : thay vào pt [1] ta được: Bài 4. Giải phương trình: Giải . Bình phương 2 vế phương trình: Ta đặt : . Ta được: Ta phải tách làm sao cho có dạng chính phương . Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt được mục đích 4. Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích Xuất phát từ một số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo ra được những phương trình vô tỉ mà khi giải nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đưa về hệ Xuất phát từ đẳng thức , Ta có Từ nhận xét này ta có thể tạo ra những phương trình vô tỉ có chứa căn bậc ba . Bài 1. Giải phương trình : Giải : , ta có : , giải hệ ta được: Bài 2. Giải phương trình sau : Giải . Ta đặt : , khi đó ta có : Bài 3. Giải các phương trình sau 5. Đặt ẩn phụ đưa về hệ: 5.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường Đặt và tìm mối quan hệ giữa và từ đó tìm được hệ theo u,v Bài 1. Giải phương trình: Đặt Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau: , giải hệ này ta tìm được . Tức là nghiệm của phương trình là Bài 2. Giải phương trình: Điều kiện: Đặt Ta đưa về hệ phương trình sau: Giải phương trình thứ 2: , từ đó tìm ra rồi thay vào tìm nghiệm của phương trình. Bài 3. Giải phương trình sau: Điều kiện: Đặt thì ta đưa về hệ phương trình sau: Vậy Bài 8. Giải phương trình: Giải Điều kiện: Đặt . Khi đó ta được hệ phương trình: 5.2 Xây dựng phương trình vô tỉ từ hệ đối xứng loại II Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải phương trình bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II Ta xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau : việc giải hệ này thì đơn giản Bây giời ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách đặt sao cho [2] luôn đúng , , khi đó ta có phương trình : Vậy để giải phương trình : ta đặt lại như trên và đưa về hệ Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc 2 : , ta sẽ xây dựng được phương trình dạng sau : đặt , khi đó ta có phương trình : Tương tự cho bậc cao hơn : Tóm lại phương trình thường cho dưới dạng khai triển ta phải viết về dạng : v đặt để đưa về hệ , chú ý về dấu của ??? Việc chọn thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng : là chọn được. Giải phương trình: Điều kiện: Ta có phương trình được viết lại là: Đặt thì ta đưa về hệ sau: Trừ hai vế của phương trình ta được Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là: Bài 6. Giải phương trình: Giải Điều kiện Ta biến đổi phương trình như sau: Đặt ta được hệ phương trình sau: Với Với Kết luận: Nghiệm của phương trình là Các em hãy xây dựng một sồ hệ dạng này ? Dạng hệ gần đối xứng Ta xt hệ sau : đây không phải là hệ đối xứng loại 2 nhưng chúng ta vẫn giải hệ được , và từ hệ này chúng ta xây dưng được bài toán phương trình sau : Bài 1 . Giải phương trình: Nhận xét : Nếu chúng ta nhóm như những phương trình trước : Đặt thì chúng ta không thu được hệ phương trình mà chúng ta có thể giải được. Để thu được hệ [1] ta đặt : , chọn sao cho hệ chúng ta có thể giải được , [đối xứng hoặc gần đối xứng ] Ta có hệ : Để giải hệ trên thì ta lấy [1] nhân với k cộng với [2]: và mong muốn của chúng ta là có nghiệm Nên ta phải có : , ta chọn được ngay Ta có lời giải như sau : Điều kiện: , Đặt Ta có hệ phương trình sau: Với Với Kết luận: tập nghiệm của phương trình là: Chú ý : khi đã làm quen, chúng ta có thể tìm ngay bằng cách viết lại phương trình ta viết lại phương trình như sau: khi đó đặt , nếu đặt thì chúng ta không thu được hệ như mong muốn , ta thấy dấu của cùng dấu với dấu trước căn. Một cách tổng quát . Xét hệ: để hệ có nghiệm x = y thì : A-A’=B và m=m’, Nếu từ [2] tìm được hàm ngược thay vào [1] ta được phương trình Như vậy để xây dựng pt theo lối này ta cần xem xét để có hàm ngược và tìm được và hơn nữa hệ phải giải được. Một số phương trình được xây dựng từ hệ. Giải các phương trình sau Giải [3]: Phương trình : Ta đặt : Các em hãy xây dựng những phương trình dạng này ! III. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 1. Dùng hằng đẳng thức : Từ những đánh giá bình phương : , ta xây dựng phương trình dạng Từ phương trình ta khai triển ra có phương trình : 2. Dùng bất đẳng thức Một số phương trình được tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức: nếu dấu bằng ỏ [1] và [2] cùng dạt được tại thì là nghiệm của phương trình Ta có : Dấu bằng khi và chỉ khi và , dấu bằng khi và chỉ khi x=0. Vậy ta có phương trình: Đôi khi một số phương trình được tạo ra từ ý tưởng : khi đó : Nếu ta đoán trước được nghiệm thì việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, nhưng có nhiều bài nghiệm là vô tỉ việc đoán nghiệm không được, ta vẫn dùng bất đẳng thức để đánh giá được Bài 1. Giải phương trình [OLYMPIC 30/4 -2007]: Giải: Đk Ta có : Dấu bằng Bài 2. Giải phương trình : Giải: Đk: Biến đổi pt ta có : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: Áp dụng bất đẳng thức Côsi: Dấu bằng Bài 3. giải phương trình: Ta chứng minh : và Bài tập đề nghị . Giải các phương trình sau 3. Xây dựng bài toán từ tính chất cực trị hình học 3.1 Dùng tọa độ của véc tơ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho các véc tơ: khi đó ta có Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi hai véc tơ cùng hướng , chú ý tỉ số phải dương , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi 3.2 Sử dụng tính chất đặc biệt về tam giác Nếu tam giác là tam giác đều , thì với mọi điểm M trên mặt phẳng tam giác, ta luôn có với O là tâm của đường tròn .Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi . Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M tùy ý trong mặt mặt phẳng Thì MA+MB+MC nhỏ nhất khi điểm M nhìn các cạnh AB,BC,AC dưới cùng một góc Bài tập IV. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 1.Xây dựng phương trình vô tỉ dựa theo hàm đơn điệu Dựa vào kết quả : “ Nếu là hàm đơn điệu thì ” ta có thể xây dựng được những phương trình vô tỉ Xuất phát từ hàm đơn điệu : mọi ta xây dựng phương trình : , Rút gọn ta được phương trình Từ phương trình thì bài toán sẽ khó hơn Để gải hai bài toán trên chúng ta có thể làm như sau : Đặt khi đó ta có hệ : cộng hai phương trình ta được: = Hãy xây dựng những hàm đơn điệu và những bài toán vô tỉ theo dạng trên ? Bài 1. Giải phương trình : Giải: Xét hàm số , là hàm đồng biến trên R, ta có Bài 2. Giải phương trình Giải . Đặt , ta có hệ : Xét hàm số : , là hàm đơn điệu tăng. Từ phương trình Bài 3. Giải phương trình : V. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA 1. Một số kiến thức cơ bản: Nếu thì có một số t với sao cho : và một số y với sao cho Nếu thì có một số t với sao cho : và một số y với sao cho Với mỗi số thực x có sao cho : Nếu : , là hai số thực thỏa: , thì có một số t với , sao cho Từ đó chúng ta có phương pháp giải toán : Nếu : thì đặt với hoặc với Nếu thì đặt , với hoặc , với Nếu : , là hai số thực thỏa: , thì đặt với Nếu , ta có thể đặt : , với , tương tự cho trường hợp khác x là số thực bất kỳ thi đặt : Tại sao lại phải đặt điều kiện cho t như vậy ? Chúng ta biết rằng khi đặt điều kiện thì phải đảm bảo với mỗi có duy nhất một , và điều kiện trên để đảm bào điều này . [xem lại vòng tròn lượng giác ] 2. Xây dựng phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng giác như thế nào ? Từ công phương trình lượng giác đơn giản: , ta có thể tạo ra được phương trình vô tỉ Chú ý : ta có phương trình vô tỉ: [1] Nếu thay bằng ta lại có phương trình : [2] Nếu thay x trong phương trình [1] bởi : [x-1] ta sẽ có phương trình vố tỉ khó: [3] Việc giải phương trình [2] và [3] không đơn giản chút nào ? Tương tự như vậy từ công thức sin 3x, sin 4x,.hãy xây dựng những phương trình vô tỉ theo kiểu lượng giác . 3. Một số ví dụ Bài 1. Giải phương trình sau : Giải: Điều kiện : Với : thì [ptvn] ta đặt : . Khi đó phương trình trở thành: vậy phương trình có nghiệm : Bài 2. Giải các phương trình sau : HD: Đs: HD: chứng minh vô nghiệm Bài 3 . Giải phương trình sau: Giải: Lập phương 2 vế ta được: Xét : , đặt . Khi đó ta được mà phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm vậy đó cũng chính là tập nghiệm của phương trình. Bài 4. .Giải phương trình Giải: đk: , ta có thể đặt Khi đó ptt: Phương trình có nghiệm : Bài 5 .Giải phương trình : Giải: đk Ta có thể đặt : Khi đó pttt. Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm Bài tập tổng hợp Giải các phương trình sau [HSG Toàn Quốc 2002] [OLYMPIC 30/4-2007] CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ PHƯƠNG PHÁP BIỂN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Dạng 1 : Phương trình Lưu ý: Điều kiện [*] được chọn tuỳ thuôc vào độ phức tạp của hay Dạng 2: Phương trình Dạng 3: Phương trình +] [chuyển về dạng 2] +] và ta sử dụng phép thế :ta được phương trình : Bài 1: Giải phương trình: a] b] c] e] f] g] h] i] Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: Bài 3: Cho phương trình: -Giải phương trình khi m=1 -Tìm m để phương trình có nghiệm. Bài 4: Cho phương trình: -Giải phương trình khi m=3 -Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm. II.PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường. -Nếu bài toán có chứa và khi đó đặt [với điều kiện tối thiểu là . đối với các phương trình có chứa tham số thì nhất thiết phải tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ]. -Nếu bài toán có chứa , và [với k là hằng số] khi đó có thể đặt : , khi đó -Nếu bài toán có chứa và khi đó có thể đặt: suy ra -Nếu bài toán có chứa thì đặt với hoặc với -Nếu bài toán có chứa thì đặt với hoặc với -Nếu bài toán có chứa ta có thể đặt với Bài 1: Giải phương trình: a] b] c] d] e] f] g] h] i] Bài 2: Giải phương trình: a] b] c] d] e] f] Bài 3: Cho phương trình: -Giải phương trình với -Tìm m để phương trình có nghiệm. Bài 4: Cho phương trình: -Giải phương trình với m = 9 -Tìm m để phương trình có nghiệm. 2. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn Là việc sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một phương trình với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x. -Từ những phương trình tích , Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát. Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau . Bài 1. Giải phương trình : Giải: , ta có : Bài 2. Giải phương trình : Giải: Đặt : Khi đó phương trình trở thnh : Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có chẵn Từ một phương trình đơn giản : , khai triển ra ta sẽ được pt sau Bài 3. Giải phương trình sau : Giải: Nhận xét : đặt , pttt: [1] Ta rt thay vo thì được pt: Nhưng không có sự may mắn để giải được phương trình theo t không có dạng bình phương . Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách 3x theo Cụ thể như sau : thay vào pt [1] ta được: Bài 4. Giải phương trình: Giải . Bình phương 2 vế phương trình: Ta đặt : . Ta được: Ta phải tách làm sao cho có dạng chình phương . Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt được mục đích. Bài tập: Giải các phương trình sau: a] b] c] d] 3. Phương pháp đặt ẩn phụ chuyển về hệ. a] Dạng thông thường: Đặt và tìm mối quan hệ giữa và từ đó tìm được hệ theo u,v. Chẳng hạn đối với phương trình: ta có thể đặt: từ đó suy ra . Khi đó ta có hệ Bài tập: Giải các phương trình sau: a] b] c] b] Dạng phương trình chứa căn bậc hai và lũy thừa bậc hai: với Cách giải: Đặt: khi đó phương trình được chuyển thành hệ: ->giải Nhận xét: Dể sử dụng được phương pháp trên cần phải khéo léo biến đổi phương trình ban đầu về dạng thỏa mãn điều kiện trên để đặt ẩn phụ.Việc chọn thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng : là chọn được. c] Dạng phương trình chứa căn bậc ba và lũy thừa bậc ba. với Cách giải: Đặt khi đó phương trình được chuyển thành hệ: Bài tập: Giải các phương trình sau: 1] 2] 3] 4] 5] 6] 7] 8] 9] 10] 11] 12] PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là dạng toán khá quen thuộc. Ta có 3 hướng áp dụng sau đây: Hướng 1: Thực hiện theo các bước: Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: Bước 2: Xét hàm số Bước 3: Nhận xét: Với do đó là nghiệm Với do đó phương trình vô nghiệm Với do đó phương trình vô nghiệm Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình Hướng 2: thực hiện theo các bước Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: Bước 2: Dùng lập luận khẳng định rằng và g[x] có những tính chất trái ngược nhau và xác định sao cho Bước 3: Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình. Hướng 3: Thực hiện theo các bước: Bước 1: Chuyển phương trình về dạng Bước 2: Xét hàm số , dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu Bước 3: Khi đó Ví dụ: Giải phương trình : pt Xét hàm số , là hàm đồng biến trên R, ta có Bài tập: Giải phương trình: ,,,,,