+] Áp dụng định lý: Nếu hàm số y = f[x] liên tục trên đoạn [a; b] và f[a].f[b] < 0, thì phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng [a; b].
+] Các bước làm bài chứng minh phương trình có nghiệm.
– Bước 1: Biến đổi phương trình cần chứng minh về dạng f[x] = 0.
Bạn đang xem: Cách chứng minh phương trình luôn có nghiệm
– Bước 2: Tìm 2 số a và b [a < b] sao cho f[a] . f[b] < 0
– Bước 3: Chứng minh hàm số y = f[x] liên tục trên đoạn [a; b].
Từ đó suy ra phương trình f[x] = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc [a; b].
Lưu ý: Các bước trên có thể thay đổi thứ tự.
+] Một số chú ý:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình 4x3 – 8x2 + 1 = 0 có nghiệm trong khoảng [–1;2].
Hướng dẫn giải:
Hàm số f[x] = 4x3 – 8x2 + 1 liên tục trên R.
Ta có: f[-1] = -11, f[2] = 1 nên f[-1].f[2] < 0.
Do đó theo tính chất hàm số liên tục, phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng [–1;2].
Ví dụ 2: Chứng minh rằng phương trình x3 + x – 1 = 0 có nghiệm.
Hướng dẫn giải:
Đặt f[x] = x3 + x – 1
Hàm f[x] là hàm đa thức nên f[x] liên tục trên R [định lý cơ bản về tính liên tục]
Suy ra hàm f[x] liên tục trên đoạn [0; 1] [vì [0; 1] ⊂ R] [1]
Ta có: f[0] = 03 + 0 – 1 = – 1 ; f[1] = 13 + 1 – 1 = 1
⇒ f[0] . f[1] = – 1. 1 = – 1 < 0 [2]
Từ [1] và [2] suy ra f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc [0; 1] [tính chất hàm số liên tục].
Vậy phương trình x3 + x – 1 = 0 có nghiệm [đpcm].
Ví dụ 3: Chứng minh 4x4 + 2x2 – x – 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng [-1; 1].
Hướng dẫn giải:
+ Đặt f[x] = 4x4 + 2x2 – x – 3
Vì f[x] là hàm đa thức nên f[x] liên tục trên R.
Suy ra f[x] liên tục trên các đoạn [-1 ; 0] và [0; 1].
+ Ta có: f[-1] = 4.[-1]4 + 2.[-1]2 – [-1] – 3 = 4
f[0] = 4.0 + 2.0 – 0 – 3 = -3
f[1] = 4.14 + 2.12 – 1 – 3 = 2
+ Vì f[-1].f[0] = 4.[-3] = -12 < 0 nên phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc [-1; 0]
Vì f[0] . f[1] = -3 . 2 = -6 < 0 nên phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc [0; 1]
Mà hai khoảng [-1; 0] và [0; 1] không giao nhau. Từ đó suy ra phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc [-1; 1]. [đpcm]
Ví dụ 4: Chứng minh rằng phương trình x5 – 5x3 + 4x – 1 = 0 có đúng 5 nghiệm.
Hướng dẫn giải:
Đặt f[x] = x5 – 5x3 + 4x – 1 thì f[x] liên tục trên R [vì f[x] là hàm đa thức].
Ta có:
Ví dụ 5: Chứng minh rằng phương trình [m2 – m + 3]x2n – 2x – 4 = 0 với n ∈ N* luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.
Hướng dẫn giải:
Đặt f[x] = [m2 – m + 3]x2n – 2x – 4
Ta có:
Mặt khác hàm số f[x] xác định là liên tục trên R nên hàm số liên tục trên đoạn [-2; 0]
Do đó phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng [-2; 0].
Vậy phương trình đã cho luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.
Ví dụ 6: Chứng minh rằng với mọi a, b, c phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0 luôn có nghiệm.
Hướng dẫn giải:
Bài 1. Chứng minh phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng [-2;1]: 2x5-5x3-1=0.
Bài 2. CMR phương trình:2x3-5x2+x+1=0 có ít nhất hai nghiệm.
Bài 3. CMR phương trình: 3x3 + 2x – 5 = 0 có ít nhất một nghiệm.
Bài 4. CMR phương trình: 4x4 + 2x2 – x = 3 có ít nhất hai nghiệm phân biệt trên khoảng [-1; 1].
Bài 5. CMR phương trình 2x3 – 6x + 1 = 0 có ba nghiệm phân biệt trên đoạn
Bài 6. Chứng minh phương trình sau có nghiệm:
[m2 – 4][x – 1]6 + 5x2 – 7x + 1=0
Bài 7. Chứng minh rằng phương trình:
a. x5 + 7x4 – 3x2 + x + 2 = 0 có ít nhất một nghiệm.
b. cos2x = 2sinx – 2 có ít nhất hai nghiệm trong [-p/6; p]
c. x5 – 5x3 + 4x – 1 = 0 có năm nghiệm phân biệt
d. [m2 – 1]x5 – [11m2 – 10]x + 1 = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc [0;2]*
Bài 8. CMR các phương sau luôn có nghiệm:
a] m[x – 1][x – 2] + 2x + 1 = 0
b] [m2 – 2m]x3 + 2x – 1 = 0
c] cosx + mcoss2x = 0
d] [1 – m2][x + 1]3 + x2 – x – 3 = 0
Bài 9. Chứng minh rằng phương trình:
a. 2x5 + 3x4 + 3×2 – 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm.
b. 2x3 + 3x2 + 10x + 200 = 0 luôn có nghiệm.
c. 4x4 + 2x2 – x – 28 = 0 luôn có nghiệm
Đăng bởi: Đại Học Đông Đô
Chuyên mục: Lớp 11, Toán 11
Xét hàm số f[x] = x5 − 5x – 1 trên các đoạn [−2; −1], [−1; 0], [0; 3]
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Chứng minh rằng phương trình: mx − 13.[x2 − 4] + x4 – 3 = 0 luôn có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của tham số m
Xem đáp án » 30/04/2020 4,701
Cho dãy số [un] xác định bởi u1 = 1un+1 = 2un + 3un + 2 với n≥1
a] Chứng minh rằng un > 0 với mọi n.
b] Biết [un] có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.
Xem đáp án » 30/04/2020 4,160
Giả sử hai hàm số y = f[x] và y = f[x + 0,5] đều liên tục trên đoạn [0; 1] và f[0] = f[1]. Chứng minh rằng phương trình f[x] − f[x + 0,5] = 0 luôn có nghiệm trong đoạn [0; 0,5]
Xem đáp án » 30/04/2020 3,568
Chứng minh rằng hàm số f[x] = cos[1/x] không có giới hạn khi x → 0
Xem đáp án » 30/04/2020 3,201
Chứng minh rằng phương trình: x3 - 3x = m có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của m ∈ [-2; 2]
Xem đáp án » 30/04/2020 1,918
Từ độ cao 63m của tháp nghiêng PISA ở Italia [H.5] người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng 1/10 độ cao mà quả bóng đạt được ngay trướcđó.
Tính độ dài hành trình của quả bóng từ thờiđiểm ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất.
Xem đáp án » 30/04/2020 1,869