I. Khái niệm cung và góc lượng giác
1. Đường tròn định hướng và cung lượng giác
Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm.
Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ làm chiều dương.
* Chú ý
Trên một đường tròn định hướng, lấy hai điểm A và B thì:
Kí hiệu $\mathop {AB}\limits^ \curvearrowright $ chỉ một cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B.
2. Góc lượng giác
Trên một đường tròn định hướng, cho một cung lượng giác $\mathop {CD}\limits^ \curvearrowright $. Một điểm M chuyển động trên đường tròn từ C đến D tạo nên cung lượng giác $\mathop {CD}\limits^ \curvearrowright $ nói trên. Khi đó tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC tới vị trí OD. Ta nói tia OM tạo ra một góc lượng giác, có tia đầu là OC, tia cuối là OD. Kí hiệu góc lượng giác đó là [OC, OD].
3. Đường tròn lượng giác
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ đường tròn định hướng tâm O bán kính R = 1.
Đường tròn này cắt hai trục tọa độ tại bốn điểm $A\left[ {1;0} \right],A'\left[ { - 1;0} \right],B\left[ {0;1} \right],B'\left[ {0; - 1} \right]$. Ta lấy $A\left[ {1;0} \right]$ làm điểm gốc của đường tròn đó.
Đường tròn xác định như trên được gọi là đường tròn lượng giác [gốc A].
II. Số đo của cung và góc lượng giác
1. Độ và rađian
a] Đơn vị rađian
Trên đường tròn tùy ý, cung có độ dài bằng bán kinh được gọi là cung có số đo 1 rad.
b] Quan hệ giữa độ và rađian
${1^0} = \frac{\pi }{{180}}rad$ và $1rad = {\left[ {\frac{{180}}{\pi }} \right]^0}$
* Bảng chuyển đổi thông dụng
c] Độ dài của một cung tròn
Cung có số đo $\alpha $ rad của đường tròn đường kính R có độ dài
$l = R\alpha $
2. Số đo của một cung lượng giác
Số đo của một cung lượng giác $\mathop {AM}\limits^ \curvearrowright \left[ {A \ne M} \right]$ là một số thực, âm hay dương.
Kí hiệu của số đo của cung $\mathop {AM}\limits^ \curvearrowright $ là sđ $\mathop {AM}\limits^ \curvearrowright $.
sđ $\mathop {AM}\limits^ \curvearrowright = \alpha + k2\pi ,k \in Z$
sđ $\mathop {AM}\limits^ \curvearrowright = {a^0} + k{360^0},k \in Z$
3. Số đo của một góc lượng giác
Số đo của góc lượng giác [OA, OC] là số đo của cung lượng giác $\mathop {AC}\limits^ \curvearrowright $ tương ứng.
4. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác
Để biểu diễn cung lượng giác có số đo $\alpha $ trên đường tròn lượng giác, ta chọn điểm A [1; 0] làm điểm đầu của cung vì vậy chỉ cần xác định điểm cuối M trên đường tròn lượng giác sao cho cung $\mathop {AM}\limits^ \curvearrowright $ có sđ $\mathop {AM}\limits^ \curvearrowright = \alpha $.
Page 2
SureLRN
§1. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC A. KIẾN THỨC CĂN BẢN Đường tròn định hướng và cung lượng giác Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiểu ngược lại gọi là chiều âm. Ta quy ước chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ làm chiều dương. Với hai điểm A, B đã cho trên đường tròn định hướng ta có vô số cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B. Mỗi cung như vậy đều được kí hiệu là AB . Góc lượng giác Trên đường tròn định hướng cho một cung lượng giác CDI. Một điểm M chuyển động trên đường tròn từ c tới D tạo nên cung lượng giác CD nói trên. Khi đó tia OM quay xung quanh gốc o từ vị trí oc tới vị trí OD. Ta nói tia OM tạo ra một góc lượng giác, có tia đầu là oc, tia cuối là OD. Kí 3. Đường tròn lượng giác y Trong mặt phẳng toạ độ Oxy B[0; 1] đường tròn lượng giác là đường tròn định hướng tâm 0 / bán kính R = 1. / \\ A'[-1; 0] Ị ỊA[1;0]~ \ ° / x B'[0;-1] Độ và rađian Đơn vị rađian Trên đường tròn tuỳ ý, cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo 1 rad. Quan hệ giữa độ và radian -0 n 0 b]^ = ^-=33°45' 16 16 c] -2 = -2 180° 114°35'30" 3 3 180 42°58'19" 4. Một đường tròn có bán kính 20cm. Tim độ dài của các cung trên đường tròn đó có số đo: a] b] 1,5; c] 37°. ốjiàl Áp dụng công thức 1 = R.a a] 1 = 20.-ị* 4,19cm; 15 b] 1 = 20.1,5 = 30cm c] a = 37° = 37.0,01745 « 0,65 rad => 1 = 20.0,65 = 12,91 cm. 5. Trên đường tròn lượng giác hãy biểu diễn các cung có số đo b] 135°; a] Cung - 571 ốýiái là AM [M là trung điểm 4 của A'B]. Cung 135° cũng là cung AM ở trên. A Cung là ẤN [với AN = |ẤB'] 3 3 Cung -225° cũng là cung AN ở trên. 1071 6. Trên đường tròn lượng giác gốc A, xác định các điểm M khác nhau, biết rằng cung AM có sô’ đo tương ứng là [trong đỏ k là một số nguyên tuỳ ỷ]. a] kỉt; b] k|; 7. Ố^iải Cung AM có sô' đo là kĩi [k e Z] thì điểm M trùng với A [nếu k chẵn] hoặc trùng với A' [nếu k lẻ]. Cung AM có số đo [k e Z] thì điểm M trùng với A nếu k = 4n, n e Z; M trùng với B nếu k = 4n + 1; M trùng với A' nếu k = 4n + 2; M trùng với B' nếu k = 4n + 3, n e z. Cung AM có sô' đo [k e Z] thì 3 điểm M trùng với A nếu k = 6n [n e Z]; M trùng với M] nếu k = 6n + 1; M trùng với Mọ nếu k = 6n + 2; M trùng với A' nếu k = 6n + 3; M trùng với M3 nếu k = 6n + 4; M trùng với M., nếu k = 6n + 5. Trên đường tròn Lượng giác cho điểm M xác định bởi sđ AM = a [0