Cấp số cộng và cấp số nhân là những kiến thức quan trọng mà trong kỳ thi tốt nghiệp THPT sẽ có. Ở nội dung bài viết này, chúng tôi sẽ đem đến kiến thức về Công thức cấp số cộng cấp số nhân.
Cấp số cộng là gì?
Trong Toán học, cấp số cộng là một dãy số mà trong đó, kể từ số hạng thứ 2 trở đi đều sẽ là tổng của số hạng đứng trước nó với một số không đổi khác 0 được gọi là công sai.
Tính chất cấp số cộng
+ Un+1 – Un = Un+2 – Un+1
+ Nếu như có 3 số bất kì m, n, q lập thành CSC thì 3 số đó luôn thỏa mãn m + q = 2n
+ Số hạng tổng quát: Un = U1 + d[n−1]
+ Nếu muốn tính tổng n số hạng đầu, ta có công thức:
Cấp số nhân là gì?
Cấp số nhân là dãy số mà trong đó có số hạng đầu là một số khác 0 và kể từ số hạng thứ 2 trở đi đều bằng tích của số hạng đứng liền ngay trước nó với một số không đổi khác 0 gọi là công bội q.
Tính chất cấp số nhân
Nếu [un] là một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai, bình phương của mỗi số hạng [trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn] bằng tích của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là:
U2k = Uk-1 . Uk+1
+ Số hạng tổng quát: Un=U1.qn−1
+ Tổng n số hạng đầu tiên: Sn=U1+U2+…+Un
+ Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: Với |q| < 1 thì Sn=U1+U2+…+Un
Công thức cấp số cộng:
Công thức tính tổng cấp số cộng: ∀n ∈ N*, Un+1 = Un + d
Giải thích:
+ Với d được gọi là công sai
+ Un+1 – Un = d với mọi n ∈ N* [ trong đó d là hằng số còn Un+1; Un là hai số liên tiếp của dãy số CSC]
+ Khi hiệu số Un+1 – Un phụ thuộc vào n thì không thể là cấp số cộng
Ví dụ:
Tìm công sai d của cấp số cộng
Cho cấp số cộng [un] với u1 = 3, u2 = 9. Tìm công sai của cấp số cộng:
Hướng dẫn giải:
Cấp số cộng Un với số hạng tổng quát Un = U1 + d[n−1]
Với số hạng đầu U1 và công sai d
Từ đó ta có: U2 = U1 + d ⇔ 9 = 3 + d ⇔ d = 6
Vậy, công sai của cấp số cộng là 6.
Công thức cấp số nhân:
Ta có công thức tổng quát:
Un+1 = Un.q
Trong đó
+ n ∈ N*
+ Công bội là q
+ Hai số liên tiếp trong công bội là Un, Un+1
Bài tập vận dụng cấp số cộng cấp số nhân
Bài tập cấp số cộng
Câu 1. Cho cấp số cộng [un] với u1 = 3, u2 = 9. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
Hướng dẫn giải
Câu 2.Cho một cấp số cộng có u1=−3;u6=27. Tìm d ?
Hướng dẫn giải
Dựa vào công thức cấp số cộng ta có:
u6=27⇔u1+5d=27⇔−3+5d=27⇔d=6
Câu 3:Tìm 4 số hạng liên tiếp của một CSC biết tổng của 4 số = 20 và tổng các bình phương của 4 số đó là 120.
Hướng dẫn giải
Giả sử bốn số hạng đó là a + x, a – 3x, a – x, a + 3x với công sai là d = 2x.Khi đó, ta có:
{[a−3x]+[a−x]+[a+x]+[a+3x]=20[a−3x]2+[a−x]2+[a+x]2+[a+3x]2=120⇔{4a=204a2+20x2=120⇔{a=5x=±1
Vậy 4 số đó: 2, 4, 6, 8.
Câu 4.Cho dãy số [un] có d = –2; S8 = 72. Tính u1 ?
Hướng dẫn giải
Ta có:
⎧⎩⎨Sn=n[u1+un]2d=un−u1n−1⇒{u1+u8=2S8:8u8−u1=7d⇒{u8+u1=18u8−u1=−14⇒u1=16.
Câu 5. Xác định a để 3 số : 1+3a;a2+5;1−a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?
Hướng dẫn giải
Ba số : 1+3a;a2+5;1−a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi
a2+5−[1+3a]=1−a−[a2+5]⇔a2−3a+4=−a2−a−4⇔a2−a+4=0
PT vô nghiệm
Bài tập cấp số nhân
Câu 1. Cho CSN [un] vớiu1=−2; q = – 5. Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát un ?
Hướng dẫn giải
Từ công thức cấp số nhân:
u2=u1.q=[−2].[−5]=10;u3=u2.q=10.[−5]=−50;u4=u3.q=−50.[−5]=250.
Số hạng tổng quát un=u1.qn−1=[−2].[−5]n−1.
Câu 2. Cho cấp số nhân [un] với u1=−1; q=−110. Số 110103 là số hạng thứ mấy của [un] ?
Hướng dẫn giải
un=u1.qn−1⇒110103=−1.[−110]n−1⇒n−1=103⇒n=104
Câu 3: Xét xem dãy số sau có phải là CSN hay không? Nếu phải hãy xác định công bội.
un=−3n−15
Hướng dẫn giải
Dựa vào công thức cấp số nhân ở trên ta thấy:
un+1un=3⇒[un] là CSN với công bội q = 3
Câu 4: Cho cấp số nhân: −15; a; −1125. Giá trị của a là:
Hướng dẫn giải
Dựa vào công thức cấp số nhân: a2=[−15].[−1125]=1625⇔a=±125
Câu 5. Hãy tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn [un] với un=12n
Hướng dẫn giải
Ta có:
n = 1 => u1=121=12
n = 2 =>u2=122=14
Như vậy, công sai là q=12
Sử dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn nêu ở trên, ta có: S=u11−q=121−12=1
Trên đây là nội dung bài viết Công thức cấp số cộng cấp số nhân, cảm ơn Quý khách hàng đã quan tâm theo dõi bài viết của chúng tôi.