Đề bài
Cho hai đường tròn \[[O;16cm]\] và \[[O';9cm]\] tiếp xúc ngoài tại \[A\]. Gọi \[BC\] là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn \[[B\in [O], C\in [O']]\]. Kẻ tiếp tuyến chung tại \[A\] cắt \[BC\] ở \[M\].
a] Tính góc \[OMO'\].
b] Tính độ dài \[BC\].
c] Gọi \[I\] là trung điểm của \[OO'\]. Chứng minh rằng \[BC\] là tiếp tuyến của đường tròn tâm \[I\], bán kính \[IM\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
* Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
- Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm
* Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh bằng nửa cạnh huyền.
* Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
Lời giải chi tiết
a]\[MO\] là tia phân giác của\[\widehat {AMB}\] [tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau].
\[ \Rightarrow \widehat {BMO} = \widehat {OMA} = \dfrac{1}{2}\widehat {AMB}\]
\[MO'\] là tia phân giác của\[\widehat {AMC}\][tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau].
\[ \Rightarrow \widehat {CMO'} = \widehat {O'MA} = \dfrac{1}{2}\widehat {AMC}\]
Ta có: \[\widehat {OMO'} = \widehat {OMA} + \widehat {O'MA} \]
\[ \Rightarrow \widehat {OMO'}= \dfrac{1}{2}\widehat {AMB} + \dfrac{1}{2}\widehat {AMC} \]\[\,= \dfrac{1}{2}\left[ {\widehat {AMB} + \widehat {AMC}} \right]\]\[\, = \dfrac{1}{2}{.180^o} = {90^o}\]
b] Xét \[\Delta OMO'\] vuông tại \[M\] ta có:
\[\begin{array}{l}
M{A^2} = OA.O'A = 16.9 = 144\\
\Rightarrow MA = \sqrt {144} = 12\,\left[ {cm} \right].
\end{array}\]
Lại có \[MA=MB=MC\] [tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau].
\[ \Rightarrow MB = MC = 12\,\left[ {cm} \right].\]
\[ \Rightarrow BC = MB + MC = 12 + 12 \]\[\,= 24\,\left[ {cm} \right].\]
c]
\[\left. \begin{array}{l}
OB \bot BC\\
O'C \bot BC
\end{array} \right\} \Rightarrow OB//O'C\]
Do đó tứ giác \[OBCO'\] là hình thang.
Có \[MB=MC;IA=IB\] nên \[IM\] là đường trung bình của hình thang\[OBCO'\]. Do đó \[IM//OB//O'C\].
Mà \[OB\bot BC\] nên \[IM\bot BC\].
\[\Delta OMO'\] vuông tại \[M\] có \[IM\] là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên\[IM = \dfrac{1}{2}OO'\].
Do đó \[IM\] là bán kính của đường tròn tâm \[I\] lại vuông góc với \[BC\] tại \[M\] nên \[BC\] là tiếp tuyến của \[[I;IM]\].