Đề bài
Quay hình phẳng \[\displaystyle Q\] giới hạn bởi các đường \[\displaystyle {y_1} = \sin x\] và \[\displaystyle {y_2} = \frac{{2x}}{\pi }\] quanh trục \[\displaystyle Ox\], ta được một khối tròn xoay. Khi đó thể tích của khối tròn xoay này bằng
A. \[\displaystyle \frac{1}{6}\] B. \[\displaystyle \frac{\pi }{6}\]
C. \[\displaystyle 8\] D. \[\displaystyle \frac{{{\pi ^2}}}{6}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Giải phương trình hoành độ tìm nghiệm.
- Tính thể tích theo công thức \[\displaystyle V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left[ x \right] - {g^2}\left[ x \right]} \right|dx} \].
Lời giải chi tiết
Ta có: \[\displaystyle \sin x = \frac{{2x}}{\pi } \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{\pi }{2}\\x = - \frac{\pi }{2}\end{array} \right.\]
Khi đó \[\displaystyle V = \pi \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left| {{{\sin }^2}x - {{\left[ {\frac{{2x}}{\pi }} \right]}^2}} \right|dx} \]
Dễ thấy \[\displaystyle f\left[ x \right] = \left| {{{\sin }^2}x - {{\left[ {\frac{{2x}}{\pi }} \right]}^2}} \right|\] là hàm số chẵn nên:
\[\displaystyle V = 2\pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left| {{{\sin }^2}x - {{\left[ {\frac{{2x}}{\pi }} \right]}^2}} \right|dx} \]\[\displaystyle = 2\pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {{{\sin }^2}x - {{\left[ {\frac{{2x}}{\pi }} \right]}^2}} \right]dx} \] \[\displaystyle = 2\pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}xdx} - \frac{8}{\pi }\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{x^2}dx} \]
\[\displaystyle = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {1 - \cos 2x} \right]dx} - \frac{8}{\pi }\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{x^2}dx} \] \[\displaystyle = \pi \left. {\left[ {x - \frac{{\sin 2x}}{2}} \right]} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \frac{8}{\pi }.\left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\] \[\displaystyle = \pi \left[ {\frac{\pi }{2} - 0} \right] - \frac{8}{\pi }.\frac{1}{3}.{\left[ {\frac{\pi }{2}} \right]^3}\]
\[\displaystyle = \frac{{{\pi ^2}}}{2} - \frac{{{\pi ^2}}}{3} = \frac{{{\pi ^2}}}{6}\]
Chọn D.