Đề bài
Cho hình vuông \[ABCD\] có tâm đối xứng \[O\], cạnh \[a.\] Một góc vuông \[xOy\] có tia \[Ox\] cắt cạnh \[AB\] tại \[E\], tia \[Oy\] cắt cạnh \[BC\] tại \[F\] [h.\[161\]]
Tính diện tích tứ giác \[OEBF.\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng tính chất hình vuông, công thức tính diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc; diện tích tam giác vuông, tam giác thường.
Lời giải chi tiết
Nối \[OA, OB\].
Do \[ABCD\] là hình vuông nên \[O\] là trung điểm của \[AC,BD\] và \[\widehat{AOB}=90^0\]
Ta có: \[\widehat {AOE} + \widehat {BOE}=\widehat{AOB}=90^0\]
\[\widehat{FOB}+\widehat{EOB}=\widehat{xOy}=90^0\]
Nên\[\widehat {AOE} = \widehat {BOF}\] [cùng phụ với \[\widehat {BOE}\]]
Xét \[\Delta AOE\] và \[\Delta BOF\] có:
+] \[\widehat {AOE} = \widehat {BOF}\] [chứng minh trên]
+] \[OA = OB\] [\[O\] là tâm đối xứng của hình vuông]
+] \[\widehat {OAE} = \widehat {OBF} = {45^0}\] [tính chất hình vuông]
\[\Rightarrow AOE = BOF\, [g.c.g] \]
\[\Rightarrow{S_{AOE}} = {S_{BOF}}\]
Do đó \[{S_{OEBF}} = {S_{OEB}} + {S_{OBF}} \]\[= {S_{OEB}} + {S_{OAE}} = {S_{OAB}}\]
\[{S_{OAB}} = \dfrac{1}{2}OA.OB = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}AC.\dfrac{1}{2}BD\]\[\, = \dfrac{1}{4}.\left[ {\dfrac{1}{2}AC.BD} \right] = \dfrac{1}{4}{S_{ABCD}}\]
Vậy \[{S_{OEBF}} =\dfrac{1}{4}{S_{ABCD}}\] \[= \dfrac{1}{4}{a^2}\]