Sưu tầm: Trần Văn Toản THCS Cẩm Vũ – Cẩm Giàng – Hải Dương tranvantoancv.violet.vn
| PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO CẨM GIÀNG | ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2018 - 2019 MÔN: TOÁN 9 Thời gian làm bài: 150 phút Đề thi gồm 01 trang |
Câu 1. [2,0 điểm]
a] Tính giá trị biểu thức:
b] Rút gọn biểu thức:
Câu 2. [2,0 điểm]
Giải các phương trình sau:
a]
b]
Câu 3. [2,0 điểm]
a] Tìm số tự nhiên n để n4 + 4 là số nguyên tố
b] Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn:
Câu 4. [3,0 điểm]
1] Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, vẽ đường cao AD và BE. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.
a] Chứng minh:
b] Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC.
Chứng minh rằng:
2] Trên hai cạnh AC, BC của tam giác đều ABC, lấy tương ứng hai điểm M, N sao cho MA = CN. Tìm vị trí của M để MN có độ dài nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó khi cạnh của tam giác đều là 2,018 cm.
Câu 5. [1,0 điểm]
Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn: x + y + z = 2018. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
---------------Hết---------------
Họ và tên học sinh:...................................................... Số báo danh:..............................
Họ và tên giám thị giao đề........................................... Chữ ký:.......................................
Sưu tầm: Trần Văn Toản THCS Cẩm Vũ – Cẩm Giàng – Hải Dương tranvantoancv.violet.vn
| PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO CẨM GIÀNG | HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2018 - 2019 MÔN: TOÁN LỚP 9 Hướng dẫn chấm gồm 04 trang |
| Câu | Đáp án | Điểm |
| Câu 1a [1 điểm] |
| 0,25 |
|
| 0,25 | |
| = | 0,25 | |
|
| 0,25 | |
| Câu 1b [1 điểm] |
| 0,25 |
|
| 0,25 | |
|
| 0,25 | |
| Vì Dấu “=” xảy ra khi x=0[thỏa mãn điều kiện] Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 2 khi x =0 | 0,25 | |
| Câu 2a [1 điểm] | ĐKXĐ: | 0,25 |
| Ta có:
| 0,25 | |
| Nếu
| 0,25 | |
| Nếu
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=1 | 0,25 | |
| Câu 2b [1 điểm] |
Đặt:
Phương trình đã cho trở thành:
| 0,25 |
Sưu tầm: Trần Văn Toản THCS Cẩm Vũ – Cẩm Giàng – Hải Dương tranvantoancv.violet.vn
|
| 0,25 | |
|
| 0,25 | |
| Với t =2 ta có: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x = 1 | 0,25 | |
| Câu 3a [1 điểm] | Ta có n4 + 4 = n4 + 4 + 4n2 – 4n2 = [ n2 + 2]2 – [2n]2 = [ n2 – 2n + 2].[ n2 + 2n+ 2] | 0,25 |
| Vì n là số tự nhiên nên n2 + 2n+ 2 là số tự nhiên lớn hơn 2. | 0,25 | |
| Mà n2 – 2n + 2 < n2 + 2n+ 2 nên để n4 + 4 là số nguyên tố thì n2 – 2n + 2 =1 Từ đó giải được n = 1. | 0,25 | |
| Với n = 1 ta có n4 + 4 = 5 là số nguyên tố Vậy n = 1 là giá trị cần tìm | 0,25 | |
| Câu 3b [1 điểm] |
| 0,25 |
| Vì x, y là số nguyên nên x+2; y+2 là số nguyên. Do đó: y + 2 là ước của 5 | 0,25 | |
|
| 0,25 | |
| Từ đó tìm được các giá trị tương ứng của Vậy phương trình có 4 nghiệm là: [-1;3];[-3;-7];[3:-1];[-7;-3] | 0,25 | |
| Câu 4.1 [2điểm] |
| |
| a] Xét 2 tam giác vuông ADC và BDH có | 0,5 | |
| Ta có tanB = | 0,25 | |
| Từ [*] Từ [1] và [2] | 0,25 |
Sưu tầm: Trần Văn Toản THCS Cẩm Vũ – Cẩm Giàng – Hải Dương tranvantoancv.violet.vn
| b] Gọi AF là tia phân giác góc A; kẻ BM, CN lần lượt vuông góc với AF Ta có: Tương tự | 0,25 | |
| Mặt khác ta luôn có: | 0,25 | |
| Nên | 0,25 | |
| Dấu “=” xảy ra khi: BM=CN hay tam giác ABC cân tại A. Vậy: | 0,25 | |
| Câu 4.2 [1,0 điểm] |
| |
| Kẻ Tứ giác MGHK là hình chữ nhật Mà | 0,25 | |
| Các tam giác AKM, BHN là các tam giác vuông có một góc nhọn bằng 60o nên | 0,25 | |
| Do đó:
| 0,25 | |
| Dấu “=” xảy ra khi: MN là đường trung bình của tam giác ABC hay M là trung điểm của cạnh AC. Vậy | 0,25 | |
| Câu 5 [1,0 điểm] | Từ Ta có: | 0,25 |
| Suy ra: | 0,25 |
Sưu tầm: Trần Văn Toản THCS Cẩm Vũ – Cẩm Giàng – Hải Dương tranvantoancv.violet.vn
|
| ||
| Tương tự ta có:
Từ [1],[2],[3] ta có: | 0,25 | |
| Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = Vậy giá trị lớn nhất của A là 1 khi x=y=z= | 0,25 |
* Lưu ý: HS làm cách khác đáp án mà đúng vẫn cho điểm tối đa.