mẹo hay Khỏe Đẹp Bài tập

Giải bài tập đại số tuyến tính chương 3 năm 2024

1. TˆA. P TO´AN CAO CˆA´P Tˆa.p 1 Da.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh v`a H`ınh ho.c gia’i t´ıch NH`A XUˆA´T BA’ N DA. I HO. C QUˆO´C GIA H`A NˆO. I H`a Nˆo.i – 2006
2. c L`o.i n´oi dˆa`u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 Sˆo´ ph´u.c 6 1.1 D- i.nh ngh˜ıa sˆo´ ph´u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Da.ng da.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Biˆe’u diˆe˜n h`ınh ho.c. Mˆodun v`a acgumen . . . . . . . . 13 1.4 Biˆe’u diˆe˜n sˆo´ ph´u.c du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac . . . . . . . . 23 2 D- a th´u.c v`a h`am h˜u.u ty’ 44 2.1 D- a th´u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.1.1 D- a th´u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c C . . . . . . . . . 45 2.1.2 D- a th´u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ thu. .c R . . . . . . . . . 46 2.2 Phˆan th´u.c h˜u.u ty’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3 Ma trˆa.n. D- i.nh th´u.c 66 3.1 Ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.1.1 D- i.nh ngh˜ıa ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.1.2 C´ac ph´ep to´an tuyˆe´n t´ınh trˆen ma trˆa.n . . . . . 69 3.1.3 Ph´ep nhˆan c´ac ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . 71 3.1.4 Ph´ep chuyˆe’n vi. ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . 72 3.2 D- i.nh th´u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.2.1 Nghi.ch thˆe´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.2.2 D- i.nh th´u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.2.3 T´ınh chˆa´t cu’a di.nh th´u.c . . . . . . . . . . . . . 88
3. LU. C 3.2.4 Phu.o.ng ph´ap t´ınh di.nh th´u.c . . . . . . . . . . . 89 3.3 Ha.ng cu’a ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.3.1 D- i.nh ngh˜ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.3.2 Phu.o.ng ph´ap t`ım ha.ng cu’a ma trˆa.n . . . . . . 109 3.4 Ma trˆa.n nghi.ch da’o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.4.1 D- i.nh ngh˜ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.4.2 Phu.o.ng ph´ap t`ım ma trˆa.n nghi.ch da’o . . . . . 119 4 Hˆe. phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh 132 4.1 Hˆe. n phu.o.ng tr`ınh v´o.i n ˆa’n c´o di.nh th´u.c kh´ac 0 . . . . 132 4.1.1 Phu.o.ng ph´ap ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . 133 4.1.2 Phu.o.ng ph´ap Cramer . . . . . . . . . . . . . . 134 4.1.3 Phu.o.ng ph´ap Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.2 Hˆe. t`uy ´y c´ac phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh . . . . . . . . . . 143 4.3 Hˆe. phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh thuˆa`n nhˆa´t . . . . . . . . . 165 5 Khˆong gian Euclide Rn 177 5.1 D- i.nh ngh˜ıa khˆong gian n-chiˆe`u v`a mˆo.t sˆo´ kh´ai niˆe.m co. ba’n vˆe` vecto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 5.2 Co. so.’ . D- ˆo’i co. so.’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 5.3 Khˆong gian vecto. Euclid. Co. so.’ tru. .c chuˆa’n . . . . . . 201 5.4 Ph´ep biˆe´n dˆo’i tuyˆe´n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 5.4.1 D- i.nh ngh˜ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 5.4.2 Ma trˆa.n cu’a ph´ep bdtt . . . . . . . . . . . . . . 213 5.4.3 C´ac ph´ep to´an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 5.4.4 Vecto. riˆeng v`a gi´a tri. riˆeng . . . . . . . . . . . . 216 6 Da.ng to`an phu.o.ng v`a ´u.ng du. ng d ˆe’ nhˆa.n da.ng du.`o.ng v`a m˘a.t bˆa.c hai 236 6.1 Da.ng to`an phu.o.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 6.1.1 Phu.o.ng ph´ap Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 237 6.1.2 Phu.o.ng ph´ap Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . 241
4. C 3 6.1.3 Phu.o.ng ph´ap biˆe´n dˆo’i tru. .c giao . . . . . . . . . 244 6.2 D- u.a phu.o.ng tr`ınh tˆo’ng qu´at cu’a du.`o.ng bˆa.c hai v`a m˘a.t bˆa.c hai vˆe` da.ng ch´ınh t˘a´c . . . . . . . . . . . . . . . . 263
5. tr`ınh B`ai tˆa. p to´an cao cˆa´p n`ay du.o. .c biˆen soa.n theo Chu.o.ng tr`ınh To´an cao cˆa´p cho sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho.c Tu. . nhiˆen cu’a Da.i ho.c Quˆo´c gia H`a Nˆo.i v`a d˜a du.o. .c Da.i ho.c Quˆo´c gia H`a Nˆo.i thˆong qua v`a ban h`anh. Mu.c d´ıch cu’a gi´ao tr`ınh l`a gi´up d˜o. sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho.c Tu. . nhiˆen n˘a´m v˜u.ng v`a vˆa.n du.ng du.o. .c c´ac phu.o.ng ph´ap gia’i to´an cao cˆa´p. Mu.c tiˆeu n`ay quyˆe´t di.nh to`an bˆo. cˆa´u tr´uc cu’a gi´ao tr`ınh. Trong mˆo˜i mu.c, dˆa`u tiˆen ch´ung tˆoi tr`ınh b`ay t´om t˘a´t nh˜u.ng co. so.’ l´y thuyˆe´t v`a liˆe.t kˆe nh˜u.ng cˆong th´u.c cˆa`n thiˆe´t. Tiˆe´p d´o, trong phˆa`n C´ac v´ı du. ch´ung tˆoi quan tˆam d˘a.c biˆe.t t´o.i viˆe.c gia’i c´ac b`ai to´an mˆa˜u b˘a`ng c´ach vˆa.n du.ng c´ac kiˆe´n th´u.c l´y thuyˆe´t d˜a tr`ınh b`ay. Sau c`ung, l`a phˆa`n B`ai tˆa. p. O .’ dˆay, c´ac b`ai tˆa.p du.o. .c gˆo.p th`anh t`u.ng nh´om theo t`u.ng chu’ dˆe` v`a du.o. .c s˘a´p xˆe´p theo th´u. tu. . t˘ang dˆa`n vˆe` dˆo. kh´o v`a mˆo˜i nh´om dˆe`u c´o nh˜u.ng chı’ dˆa˜n vˆe` phu.o.ng ph´ap gia’i. Ch´ung tˆoi hy vo.ng r˘a`ng viˆe.c l`am quen v´o.i l`o.i gia’i chi tiˆe´t trong phˆa`n C´ac v´ı du. s˜e gi´up ngu.`o.i ho.c n˘a´m du.o. .c c´ac phu.o.ng ph´ap gia’i to´an co. ba’n. Gi´ao tr`ınh B`ai tˆa. p n`ay c´o thˆe’ su.’ du.ng du.´o.i su. . hu.´o.ng dˆa˜n cu’a gi´ao viˆen ho˘a.c tu. . m`ınh nghiˆen c´u.u v`ı c´ac b`ai tˆa.p dˆe`u c´o d´ap sˆo´, mˆo.t sˆo´ c´o chı’ dˆa˜n v`a tru.´o.c khi gia’i c´ac b`ai tˆa.p n`ay d˜a c´o phˆa`n C´ac v´ı du. tr`ınh b`ay nh˜u.ng chı’ dˆa˜n vˆe` m˘a.t phu.o.ng ph´ap gia’i to´an. T´ac gia’ gi´ao tr`ınh chˆan th`anh ca’m o.n c´ac thˆa`y gi´ao: TS. Lˆe D`ınh Ph`ung v`a PGS. TS. Nguyˆe˜n Minh Tuˆa´n d˜a do.c k˜y ba’n tha’o v`a d´ong
6. thuyˆe´t h`am biˆe´n ph´u.c 5 g´op nhiˆe`u ´y kiˆe´n qu´y b´au vˆe` cˆa´u tr´uc v`a nˆo.i dung v`a d˜a g´op ´y cho t´ac gia’ vˆe` nh˜u.ng thiˆe´u s´ot cu’a ba’n tha’o gi´ao tr`ınh. M´o.i xuˆa´t ba’n lˆa`n dˆa`u, Gi´ao tr`ınh kh´o tr´anh kho’i sai s´ot. Ch´ung tˆoi rˆa´t chˆan th`anh mong du.o. .c ba.n do.c vui l`ong chı’ ba’o cho nh˜u.ng thiˆe´u s´ot cu’a cuˆo´n s´ach dˆe’ gi´ao tr`ınh ng`ay du.o. .c ho`an thiˆe.n ho.n. H`a Nˆo. i, M`ua thu 2004 T´ac gia’
7. D- i.nh ngh˜ıa sˆo´ ph´u.c . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Da.ng da.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´u.c . . . . . . . . . . . 8 1.3 Biˆe’u diˆe˜n h`ınh ho.c. Mˆodun v`a acgumen . 13 1.4 Biˆe’u diˆe˜n sˆo´ ph´u.c du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac . 23 1.1 D- i.nh ngh˜ıa sˆo´ ph´u.c Mˆo˜i c˘a.p sˆo´ thu. .c c´o th´u. tu. . [a; b] ∀ a ∈ R, ∀ b ∈ R du.o. .c go.i l`a mˆo.t sˆo´ ph´u.c nˆe´u trˆen tˆa.p ho. .p c´ac c˘a.p d´o quan hˆe. b˘a`ng nhau, ph´ep cˆo.ng v`a ph´ep nhˆan du.o. .c du.a v`ao theo c´ac di.nh ngh˜ıa sau dˆay: [I] Quan hˆe. b˘a`ng nhau [a1, b1] = [a2, b2] ⇐⇒    a1 = a2, b1 = b2. [II] Ph´ep cˆo.ng
8. ngh˜ıa sˆo´ ph´u.c 7 [a1, b1] + [a2, b2] def = [a1 + a2, b1 + b2].1 [III] Ph´ep nhˆan [a1, b1][a2, b2] def = [a1a2 − b1b2, a1b2 + a2b1]. Tˆa.p ho. .p sˆo´ ph´u.c du.o. .c k´y hiˆe.u l`a C. Ph´ep cˆo.ng [II] v`a ph´ep nhˆan [III] trong C c´o t´ınh chˆa´t giao ho´an, kˆe´t ho. .p, liˆen hˆe. v´o.i nhau bo.’ i luˆa.t phˆan bˆo´ v`a mo.i phˆa`n tu.’ = [0, 0] dˆe`u c´o phˆa`n tu.’ nghi.ch da’o. Tˆa.p ho. .p C lˆa.p th`anh mˆo.t tru.`o.ng [go.i l`a tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c] v´o.i phˆa`n tu.’ khˆong l`a c˘a.p [0; 0] v`a phˆa`n tu.’ do.n vi. l`a c˘a.p [1; 0]. ´Ap du.ng quy t˘a´c [III] ta c´o: [0; 1][0; 1] = [−1, 0]. Nˆe´u k´y hiˆe.u i = [0, 1] th`ı i2 = −1 Dˆo´i v´o.i c´ac c˘a.p da.ng d˘a.c biˆe.t [a, 0], ∀ a ∈ R theo [II] v`a [III] ta c´o [a, 0] + [b, 0] = [a + b, 0], [a, 0][b, 0] = [ab, 0]. T`u. d´o vˆe` m˘a.t da.i sˆo´ c´ac c˘a.p da.ng [a, 0], a ∈ R khˆong c´o g`ı kh´ac biˆe.t v´o.i sˆo´ thu. .c R: v`ı ch´ung du.o. .c cˆo.ng v`a nhˆan nhu. nh˜u.ng sˆo´ thu. .c. Do vˆa.y ta c´o thˆe’ dˆo`ng nhˆa´t c´ac c˘a.p da.ng [a; 0] v´o.i sˆo´ thu. .c a: [a; 0] ≡ a ∀ a ∈ R. D˘a.c biˆe.t l`a [0; 0] ≡ 0; [1; 0] ≡ 1. Dˆo´i v´o.i sˆo´ ph´u.c z = [a, b]: 1+ Sˆo´ thu. .c a du.o. .c go.i l`a phˆa`n thu. .c a = Re z, sˆo´ thu. .c b go.i l`a phˆa`n a’o v`a k´y hiˆe.u l`a b = Imz. 2+ Sˆo´ ph´u.c z = [a, −b] go.i l`a sˆo´ ph´u.c liˆen ho. .p v´o.i sˆo´ ph´u.c z 1 def. l`a c´ach viˆe´t t˘a´t cu’a t`u. tiˆe´ng Anh deﬁnition [di.nh ngh˜ıa]
9. Sˆo´ ph´u.c 1.2 Da.ng da.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´u.c Mo.i sˆo´ ph´u.c z = [a; b] ∈ C dˆe`u c´o thˆe’ viˆe´t du.´o.i da.ng z = a + ib. [1.1] Thˆa.t vˆa.y, z = [a, b] = [a, 0] + [0, b] = [a, 0] + [0, 1][b, 0] = a + ib Biˆe’u th´u.c [1.1] go.i l`a da.ng da.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´u.c z = [a, b]. T`u. [1.1] v`a di.nh ngh˜ıa sˆo´ ph´u.c liˆen ho. .p ta c´o z = a − ib. Du.´o.i da.ng da.i sˆo´ c´ac ph´ep t´ınh trˆen tˆa.p ho. .p sˆo´ ph´u.c du.o. .c thu. .c hiˆe.n theo c´ac quy t˘a´c sau. Gia’ su.’ z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2. Khi d´o [I] Ph´ep cˆo.ng: z1 ± z2 = [a1 ± a2] + i[b1 ± b2]. [II] Ph´ep nhˆan: z1z2 = [a1a2 − b1b2] + i[a1b2 + a2b1]. [III] Ph´ep chia: z2 z1 = a1a2 + b1b2 a2 1 + b2 1 + i a1b2 − a2b1 a2 1 + b2 1 · C´AC V´I DU. V´ı du. 1. 1+ T´ınh in . T`u. d´o ch´u.ng minh r˘a`ng a] in + in+1 + in+2 + in+3 = 0; b] i · i2 · · · i99 · i100 = −1. 2+ T`ım sˆo´ nguyˆen n nˆe´u: a] [1 + i]n = [1 − i]n ; b] 1 + i √ 2 n + 1 − i √ 2 n = 0. Gia’i. 1+ Ta c´o i0 = 1, i1 = i, i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1, i5 = i v`a gi´a tri. l˜uy th`u.a b˘a´t dˆa`u l˘a.p la.i. Ta kh´ai qu´at h´oa. Gia’ su.’ n ∈ Z v`a n = 4k + r, r ∈ Z, 0 r 3. Khi d´o in = i4k+r = i4k · ir = [i4 ]k ir = ir
10. sˆo´ cu’a sˆo´ ph´u.c 9 [v`ı i4 = i]. T`u. d´o, theo kˆe´t qua’ trˆen ta c´o in =    1 nˆe´u n = 4k, i nˆe´u n = 4k + 1, −1 nˆe´u n = 4k + 2, −i nˆe´u n = 4k + 3. [1.2] T`u. [1.2] dˆe˜ d`ang suy ra a] v`a b]. 2+ a] T`u. hˆe. th´u.c [1 + i]n = [1 − i]n suy ra 1 + i 1 − i n = 1. Nhu.ng 1 + i 1 − i = i nˆen 1 + i 1 − i n = in = 1 ⇒ n = 4k, k ∈ Z. b] T`u. d˘a’ng th´u.c 1 + i √ 2 n + 1 − i √ 2 n = 0 suy r˘a`ng 1 + i 1 − i n = −1 v`a do d´o in = −1 ⇒ n = 4k + 2, k ∈ Z. V´ı du. 2. Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u n l`a bˆo.i cu’a 3 th`ı −1 + i √ 3 2 n + −1 − i √ 3 2 n = 2 v`a nˆe´u n khˆong chia hˆe´t cho 3 th`ı −1 + i √ 3 2 n + −1 − i √ 3 2 n = −1. Gia’i. 1+ Nˆe´u n = 3m th`ı S = −1 + i √ 3 2 3 m + −1 − i √ 3 2 3 m = −1 + 3i √ 3 + 9 − 3i √ 3 8 m + −1 − 3i √ 3 + 9 + 3i √ 3 8 m = 1m + 1m = 2.
11. Sˆo´ ph´u.c 2+ Nˆe´u n = 3m + 1 th`ı S = −1 + i √ 3 2 3 m −1 + i √ 3 2 + −1 − i √ 3 2 3 m 1 − i √ 3 2 = −1 + i √ 3 2 + −1 − i √ 3 2 = −1. Tu.o.ng tu. . nˆe´u n = 3m + 2 ta c˜ung c´o S = −1. V´ı du. 3. T´ınh biˆe’u th´u.c σ = 1 + 1 + i 2 1 + 1 + i 2 2 1 + 1 + i 2 22 · · · 1 + 1 + i 2 2n . Gia’i. Nhˆan v`a chia biˆe’u th´u.c d˜a cho v´o.i 1 − 1 + i 2 ta c´o σ = 1 − 1 + i 2 2n 2 1 − 1 + i 2 = 1 − 1 + i 2 2n+1 1 − 1 + i 2 · Ta cˆa`n t´ınh 1 + i 2 2n+1 = 1 + i 2 2 2n = i 2 2n = i2n 22n = 1 22n · Do d´o σ = 1 − 1 22n 1 − 1 + i 2 = 2 1 − 1 22n 1 − i × 1 + i 1 + i = 1 − 1 22n [1 + i] V´ı du. 4. Biˆe’u diˆe˜n sˆo´ ph´u.c √ 4 − 3i du.´o.i da.ng da.i sˆo´. Gia’i. Theo di.nh ngh˜ıa ta cˆa`n t`ım sˆo´ ph´u.c w sao cho w2 = 4 − 3i. Nˆe´u w = a + bi, a, b ∈ R th`ı 4 − 3i = [a + bi]2 = a2 − b2 + 2abi.
12. sˆo´ cu’a sˆo´ ph´u.c 11 T`u. d´o a2 − b2 = 4, [1.3] 2ab = −3. [1.4] T`u. [1.4] ta c´o b = − 3 2a . Thˆe´ v`ao [1.3] ta thu du.o. .c 4u2 − 16u − 9 = 0, u = a2 ⇐⇒ u1 = 8 + √ 100 4 = 8 + 10 4 = 18 4 = 9 2 , u2 = 8 − √ 100 4 = 8 − 10 4 = − 1 2 · V`ı a ∈ R nˆen u 0 ⇒ u = 9 2 v`a do vˆa.y a = ± 3 √ 2 ⇒ b = 1 √ 2 · T`u. d´o ta thu du.o. .c w1,2 = ± 3 √ 2 − 1 √ 2 i V´ı du. 5. Biˆe’u diˆe˜n sˆo´ ph´u.c z = √ 5 + 12i − √ 5 − 12i √ 5 + 12i + √ 5 − 12i v´o.i diˆe`u kiˆe.n l`a c´ac phˆa`n thu. .c cu’a √ 5 + 12i v`a √ 5 − 12i dˆe`u ˆam. Gia’i. ´Ap du.ng phu.o.ng ph´ap gia’i trong v´ı du. 4 ta c´o √ 5 + 12i = x + iy ⇒ 5 + 12i = x2 − y2 − 2xyi ⇐⇒    x2 − y2 = 5, 2xy = 12.
13. Sˆo´ ph´u.c Hˆe. n`ay c´o hai nghiˆe.m l`a [3; 2] v`a [−3; −2]. Theo diˆe`u kiˆe.n, phˆa`n thu. .c cu’a √ 5 + 12i ˆam nˆen ta c´o √ 5 + 12i = −3 − 2i. Tu.o.ng tu. . ta t`ım du.o. .c √ 5 − 12i = −3 + 2i. Nhu. vˆa.y z = −3 − 2i − [−3 + 2i] −3 − 2i + [−3 + 2i] = 2 3 i V´ı du. 6. Gia’ su.’ z = a + ib, z = ±1. Ch´u.ng minh r˘a`ng w = z − 1 z + 1 l`a sˆo´ thuˆa`n a’o khi v`a chı’ khi a2 + b2 = 1. Gia’i. Ta c´o w = [a − 1] + ib [a + 1] + ib = a2 + b2 − 1 [a + 1]2 + b2 + i 2b [a + 1]2 + b2 · T`u. d´o suy r˘a`ng w thuˆa`n a’o khi v`a chı’ khi a2 + b2 − 1 [a + 1]2 + b2 = 0 ⇐⇒ a2 + b2 = 1. B`AI TˆA. P T´ınh 1. [1 + i]8 − 1 [1 − i]8 + 1 · [DS. 15 17 ] 2. [1 + 2i]3 + [1 − 2i]3 [2 − i]2 − [2 + i]2 · [DS. − 11 4 i] 3. [3 − 4i][2 − i] 2 + i − [3 + 4i][2 + i] 2 − i · [DS. − 14 5 ] 4. 1 + 1 − i √ 2 1 + 1 − i √ 2 2 1 + 1 − i √ 2 22 · · · 1 + 1 − i √ 2 2n . [DS. 0] Chı’ dˆa˜n. ´Ap du.ng c´ach gia’i v´ı du. 3. 5. Ch´u.ng minh r˘a`ng a] z1 + z2 = z1 + z2; b] z1z2 = z1 · z2; c] z1 z2 = z1 z2 ;
14. h`ınh ho.c. Mˆodun v`a acgumen 13 d] zn = [z] n ; e] z + z = 2Re z; g] z − z = 2Im z. 6. V´o.i gi´a tri. thu. .c n`ao cu’a x v`a y th`ı c´ac c˘a.p sˆo´ sau dˆay l`a c´ac c˘a.p sˆo´ ph´u.c liˆen ho. .p: 1] y2 − 2y + xy − x + y + [x + y]i v`a −y2 + 2y + 11 − 4i; 2] x + y2 + 1 + 4i v`a ixy2 + iy2 − 3 ? [DS. 1] x1 = 1, y1 = 3; x2 = 9, y2 = 5; 2] x1,2 = −5, y1,2 = ±5] 7. Ch´u.ng minh r˘a`ng z1 v`a z2 l`a nh˜u.ng sˆo´ ph´u.c liˆen ho. .p khi v`a chı’ khi z1 + z2 v`a z1z2 l`a nh˜u.ng sˆo´ thu. .c. 8. T´ınh: 1] √ −5 − 12i. [DS. ±[2 − 3i]] 2] √ 24 + 10i. [DS. ±[5 + i]] 3] √ 24 − 10i. [DS. ±[5 − i]] 4] 1 + i √ 3 + 1 − i √ 3. [DS. ± √ 6, ±i √ 2] 9. Ch´u.ng minh r˘a`ng 1] 1 − C2 8 + C4 8 − C6 8 + C8 8 = 16; 2] 1 − C2 9 + C4 9 − C6 9 + C8 9 = 16; 3] C1 9 − C3 9 + C5 9 − C7 9 + C9 9 = 16. Chı’ dˆa˜n. ´Ap du.ng cˆong th´u.c nhi. th´u.c Newton dˆo´i v´o.i [1 + i]8 v`a [1 + i]9 . 1.3 Biˆe’u diˆe˜n h`ınh ho.c. Mˆodun v`a acgu- men Mˆo˜i sˆo´ ph´u.c z = a + ib c´o thˆe’ d˘a.t tu.o.ng ´u.ng v´o.i diˆe’m M[a; b] cu’a m˘a.t ph˘a’ng to.a dˆo. v`a ngu.o. .c la.i mˆo˜i diˆe’m M[a; b] cu’a m˘a.t ph˘a’ng dˆe`u tu.o.ng ´u.ng v´o.i sˆo´ ph´u.c z = a + ib. Ph´ep tu.o.ng ´u.ng du.o. .c x´ac lˆa.p l`a do.n tri. mˆo.t - mˆo.t. Ph´ep tu.o.ng ´u.ng d´o cho ph´ep ta xem c´ac sˆo´ ph´u.c nhu. l`a c´ac diˆe’m cu’a m˘a.t ph˘a’ng to.a dˆo.. M˘a.t ph˘a’ng d´o du.o. .c go.i l`a m˘a.t ph˘a’ng ph´u.c. Tru.c ho`anh cu’a n´o du.o. .c go.i l`a Tru.c thu. .c, tru.c tung
15. Sˆo´ ph´u.c du.o. .c go.i l`a Tru. c a’o. Thˆong thu.`o.ng sˆo´ ph´u.c z = a + ib c´o thˆe’ xem nhu. vecto. −→ OM. Mˆo˜i vecto. cu’a m˘a.t ph˘a’ng v´o.i diˆe’m dˆa`u O[0, 0] v`a diˆe’m cuˆo´i ta.i diˆe’m M[a; b] dˆe`u tu.o.ng ´u.ng v´o.i sˆo´ ph´u.c z = a + ib v`a ngu.o. .c la.i. Su. . tu.o.ng ´u.ng du.o. .c x´ac lˆa.p gi˜u.a tˆa.p ho. .p sˆo´ ph´u.c C v´o.i tˆa.p ho. .p c´ac diˆe’m hay c´ac vecto. m˘a.t ph˘a’ng cho ph´ep go.i c´ac sˆo´ ph´u.c l`a diˆe’m hay vecto.. V´o.i ph´ep biˆe’u diˆe˜n h`ınh ho.c sˆo´ ph´u.c, c´ac ph´ep to´an cˆo.ng v`a tr`u. c´ac sˆo´ ph´u.c du.o. .c thu. .c hiˆe.n theo quy t˘a´c cˆo.ng v`a tr`u. c´ac vecto.. Gia’ su.’ z ∈ C. Khi d´o dˆo. d`ai cu’a vecto. tu.o.ng ´u.ng v´o.i sˆo´ ph´u.c z du.o. .c go.i l`a mˆodun cu’a n´o. Nˆe´u z = a + ib th`ı r = |z| = √ a2 + b2 = √ z z. G´oc gi˜u.a hu.´o.ng du.o.ng cu’a tru.c thu. .c v`a vecto. z [du.o. .c xem l`a g´oc du.o.ng nˆe´u n´o c´o di.nh hu.´o.ng ngu.o. .c chiˆe`u kim dˆo`ng hˆo`] du.o. .c go.i l`a acgumen cu’a sˆo´ z = 0. Dˆo´i v´o.i sˆo´ z = 0 acgumen khˆong x´ac di.nh. Kh´ac v´o.i mˆodun, acgumen cu’a sˆo´ ph´u.c x´ac di.nh khˆong do.n tri., n´o x´ac di.nh v´o.i su. . sai kh´ac mˆo.t sˆo´ ha.ng bˆo.i nguyˆen cu’a 2π v`a Arg z = arg z + 2kπ, k ∈ Z, trong d´o arg z l`a gi´a tri. ch´ınh cu’a acgumen du.o. .c x´ac di.nh bo.’ i diˆe`u kiˆe.n −π < arg z π ho˘a.c 0 arg z < 2π. Phˆa`n thu. .c v`a phˆa`n a’o cu’a sˆo´ ph´u.c z = a + ib du.o. .c biˆe’u diˆe˜n qua mˆodun v`a acgument cu’a n´o nhu. sau    a = r cos ϕ, y = r sin ϕ.
16. h`ınh ho.c. Mˆodun v`a acgumen 15 Nhu. vˆa.y, acgumen ϕ cu’a sˆo´ ph´u.c c´o thˆe’ t`ım t`u. hˆe. phu.o.ng tr`ınh    cos ϕ = a √ a2 + b2 , sin ϕ = b √ a2 + b2 · C´AC V´I DU. V´ı du. 1. T`ım mˆodun cu’a sˆo´ z = x2 − y2 + 2xyi xy √ 2 + i x4 + y4 · Gia’i. Ta c´o |z| = [x2 − y2]2 + [2xy]2 [xy √ 2]2 + [ x4 + y4]2 = x2 + y2 x2 + y2 = 1. V´ı du. 2. Ch´u.ng minh r˘a`ng ∀ z1, z2 ∈ C ta dˆe`u c´o: [i] |z1 + z2| |z1| + |z2|; [ii] |z1 − z2| |z1| + |z2|; [iii] |z1 + z2| |z1| − |z2|; [iv] z1 − z2| |z1| − |z2. Gia’i. [i] Ta c´o |z1 + z2|2 = [z1 + z2][z1 + z2] = |z1|2 + |z2|2 + 2Re[z1z2]. V`ı −|z1z2| Re[z1z2] |z1z2| nˆen |z1 + z2|2 |z1|2 + |z2|2 + 2|z1||z2| = [|z1| + |z2|]2 ⇒ |z1 + z2| |z1| + |z2|. [ii] V`ı |z2| = | − z2| nˆen |z1 − z2| = |z1 + [−z2]| ≤ |z1| + | − z2| = |z1| + |z2|. [iii] ´Ap du.ng [ii] cho z1 = [z1 + z2] − z2 v`a thu du.o. .c |z1| |z1 + z2| + |z2| → |z1 + z2| |z1| − |z2|.
17. Sˆo´ ph´u.c [iv] |z1 − z2| = |z1 + [−z2]| ≥ |z1| − | − z2| = |z1| − |z2|. Nhˆa. n x´et. C´ac bˆa´t d˘a’ng th´u.c [iii] v`a [iv] c`on c´o thˆe’ viˆe´t du.´o.i da.ng [iii]∗ . |z1 + z2| |z1| − |z2| ; [iv]∗ . |z1 − z2| |z1| − |z2| . Thˆa.t vˆa.y ta c´o |z1 + z2| |z1| − |z2| v`a |z1 + z2| |z2| − |z1|. C´ac vˆe´ pha’i kh´ac nhau vˆe` dˆa´u do d´o nˆe´u lˆa´y vˆe´ pha’i du.o.ng th`ı thu du.o. .c [iii]∗ . Bˆa´t d˘a’ng th´u.c [iv]∗ thu du.o. .c t`u. [iii]∗ b˘a`ng c´ach thay z2 bo.’ i −z2. V´ı du. 3. Ch´u.ng minh dˆo`ng nhˆa´t th´u.c |z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = 2[|z1|2 + |z2|2 ]. Gia’i th´ıch ´y ngh˜ıa h`ınh ho.c cu’a hˆe. th´u.c d˜a ch´u.ng minh. Gia’i. Gia’ su.’ z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2. Khi d´o z1 + z2 = x1 + x2 + i[y1 + y2], z1 − z2 = x1 − x2 + i[y1 − y2], |z1 + z2|2 = [x1 + x2]2 + [y1 + y2]2 , |z1 − z2|2 = [x1 − x2]2 + [y1 − y2]2 . T`u. d´o thu du.o. .c |z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = 2[x2 1 + y1]2 + 2[x2 2 + y2 2] = 2[|z1|2 + |z2|2 ]. T`u. hˆe. th´u.c d˜a ch´u.ng minh suy r˘a`ng trong mˆo˜i h`ınh b`ınh h`anh tˆo’ng c´ac b`ınh phu.o.ng dˆo. d`ai cu’a c´ac du.`o.ng ch´eo b˘a`ng tˆo’ng c´ac b`ınh phu.o.ng dˆo. d`ai cu’a c´ac ca.nh cu’a n´o. V´ı du. 4. Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u |z1| = |z2| = |z3| th`ı arg z3 − z2 z3 − z1 = 1 2 arg z2 z1 · Gia’i. Theo gia’ thiˆe´t, c´ac diˆe’m z1, z2 v`a z3 n˘a`m trˆen du.`o.ng tr`on n`ao d´o v´o.i tˆam ta.i gˆo´c to.a dˆo.. Ta x´et c´ac vecto. z3 − z2; z3 − z1, z1 v`a z2 [h˜ay v˜e h`ınh].
18. h`ınh ho.c. Mˆodun v`a acgumen 17 B˘a`ng nh˜u.ng nguyˆen do h`ınh ho.c, dˆe˜ thˆa´y r˘a`ng arg z3 − z2 z3 − z1 = arg[z3 − z2] − arg[z3 − z1] v`a g´oc n`ay nh`ın cung tr`on nˆo´i diˆe’m z1 v`a z2 v`a g´oc o.’ tˆam arg z2 z1 = argz2 − argz1 c˜ung ch˘a´n ch´ınh cung tr`on d´o. Theo di.nh l´y quen thuˆo.c cu’a h`ınh ho.c so. cˆa´p ta c´o arg z3 − z2 z3 − z1 = 1 2 arg z2 z1 · V´ı du. 5. Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u |z1| = |z2| = |z3| = 1 v`a z1+z2+z3 = 0 th`ı c´ac diˆe’m z1, z2 v`a z3 l`a c´ac dı’nh cu’a tam gi´ac dˆe`u nˆo.i tiˆe´p trong du.`o.ng tr`on do.n vi.. Gia’i. Theo gia’ thiˆe´t, ba diˆe’m z1, z2 v`a z3 n˘a`m trˆen du.`o.ng tr`on do.n vi.. Ta t`ım dˆo. d`ai cu’a c´ac ca.nh tam gi´ac. 1+ T`ım dˆo. d`ai |z1 − z2|. Ta c´o |z1 − z2|2 = [x1 − x2]2 + [y1 − y2]2 = x2 1 + y2 1 + x2 2 + y2 2 − [2x1x2 + 2y1y2] = 2[x2 1 + y2 1] + 2[x2 2 + y2 2] − [[x1 + x2]2 + [y1 + y2]2 ] = 2|z1|2 + 2|z2|2 − 2|z1 + z2|2 . Nhu.ng z1 + z2 = −z3 v`a |z1 + z2| = |z3|. Do d´o |z1 − z2|2 = 2|z1|2 + 2|z2|2 − |z3|2 = 2 · 1 + 2 · 1 − 1 = 3 v`a t`u. d´o |z1 − z2| = √ 3 . 2+ Tu.o.ng tu. . ta c´o |z2 − z3| = √ 3, |z3 − z1| = √ 3. T`u. d´o suy ra tam gi´ac v´o.i dı’nh z1, z2, z3 l`a tam gi´ac dˆe`u.
19. Sˆo´ ph´u.c V´ı du. 6. V´o.i diˆe`u kiˆe.n n`ao th`ı ba diˆe’m kh´ac nhau t`u.ng dˆoi mˆo.t z1, z2, z3 n˘a`m trˆen mˆo.t du.`o.ng th˘a’ng. Gia’i. 1+ Nˆe´u c´ac diˆe’m z1, z2, z3 n˘a`m trˆen du.`o.ng th˘a’ng cho tru.´o.c th`ı vecto. di t`u. z2 dˆe´n z1 c´o hu.´o.ng nhu. cu’a vecto. di t`u. diˆe’m z3 dˆe´n z1 ho˘a.c c´o hu.´o.ng ngu.o. .c la.i. Diˆe`u d´o c´o ngh˜ıa l`a c´ac g´oc nghiˆeng cu’a c´ac vecto. n`ay dˆo´i v´o.i tru.c thu. .c ho˘a.c nhu. nhau ho˘a.c sai kh´ac g´oc π. Nhu.ng khi d´o ta c´o arg[z1 − z2] = arg[z1 − z3] + kπ, k = 0, 1. T`u. d´o suy ra arg z1 − z2 z1 − z3 = arg[z1 − z2] − arg[z1 − z3] = kπ, k = 0, 1. Nhu. vˆa.y sˆo´ ph´u.c z1 − z2 z1 − z3 c´o acgumen b˘a`ng 0 ho˘a.c b˘a`ng π, t´u.c l`a sˆo´ z1 − z2 z1 − z3 l`a sˆo´ thu. .c. Diˆe`u kiˆe.n thu du.o. .c l`a diˆe`u kiˆe.n cˆa`n. 2+ Ta ch´u.ng minh r˘a`ng d´o c˜ung l`a diˆe`u kiˆe.n du’. Gia’ su.’ z1 − z2 z1 − z3 = α, α ∈ R. Khi d´o Im z1 − z2 z1 − z3 = 0. Hˆe. th´u.c n`ay tu.o.ng du.o.ng v´o.i hˆe. th´u.c y1 − y3 y1 − y2 = x1 − x3 x1 − x2 · [1.5] Phu.o.ng tr`ınh du.`o.ng th˘a’ng qua diˆe’m [x1, y1] v`a [x2, y2] c´o da.ng y − y1 y2 − y1 = x − x1 x2 − x1 · [1.6] T`u. [1.5] v`a [1.6] suy ra diˆe’m [x3, y3] n˘a`m trˆen du.`o.ng th˘a’ng d´o. V´ı du. 7. X´ac di.nh tˆa.p ho. .p diˆe’m trˆen m˘a.t ph˘a’ng ph´u.c tho’a m˜an c´ac diˆe`u kiˆe.n:
20. h`ınh ho.c. Mˆodun v`a acgumen 19 1] |z − 2| + |z + 2| = 5; 2] |z − 2| − |z + 2| > 3; 3] Re z c; 4] Im z < 0. Gia’i. 1] D˘a’ng th´u.c |z − 2| + |z + 2| = 5 x´ac di.nh qu˜y t´ıch nh˜u.ng diˆe’m cu’a m˘a.t ph˘a’ng m`a tˆo’ng khoa’ng c´ach t`u. d´o dˆe´n hai diˆe’m cho tru.´o.c F1 = −2 v`a F2 = +2 l`a h˘a`ng sˆo´ b˘a`ng 5. Theo di.nh ngh˜ıa trong h`ınh ho.c gia’i t´ıch d´o l`a du.`o.ng ellip v´o.i b´an tru.c l´o.n b˘a`ng 5 2 v`a tiˆeu diˆe’m ±2. 2] Qu˜y t´ıch c´ac diˆe’m cu’a m˘a.t ph˘a’ng C tho’a m˜an diˆe`u kiˆe.n |z − 2| − |z + 2| = 3 l`a du.`o.ng hypecbˆon. D˘a’ng th´u.c |z − 2| − |z + 2| = 3 x´ac di.nh nh´anh bˆen tr´ai cu’a du.`o.ng hypecbˆon v`a bˆa´t d˘a’ng th´u.c |z − 2| − |z + 2| > 3 x´ac di.nh phˆa`n trong cu’a nh´anh d´o. 3] Rez c ⇒ x c. D´o l`a nu.’ a m˘a.t ph˘a’ng bˆen pha’i du.`o.ng th˘a’ng x = c [kˆe’ ca’ du.`o.ng th˘a’ng x = c]. 4] V`ı Imz = y ⇒ Imz < c ⇒ y < c. D´o l`a nu.’ a m˘a.t ph˘a’ng du.´o.i du.`o.ng th˘a’ng y = c [khˆong kˆe’ du.`o.ng th˘a’ng d´o]. V´ı du. 8. X´ac di.nh tˆa.p ho. .p diˆe’m trˆen m˘a.t ph˘a’ng ph´u.c C du.o. .c cho bo.’ i diˆe`u kiˆe.n: 1] |z| = Rez + 1; 2] |z − 1| 2|z − i|; 3] |z − 2 + i|u2 − 2|z − 2 + i|u + 1 > 0 ∀ u ∈ R. 4] log3[2 + |z2 + i|] + log27 1 [2 + |z2 − i|]3 = 0. Gia’i. 1] Gia’ su.’ z = x + iy. Khi d´o t`u. diˆe`u kiˆe.n |z| = Rez + 1 ⇒ x2 + y2 = x + 1 ⇒ y2 = 2x + 1.
21. Sˆo´ ph´u.c D´o l`a phu.o.ng tr`ınh parabˆon v´o.i dı’nh ta.i diˆe’m − 1 2 ; 0 v´o.i tru.c dˆo´i x´u.ng l`a tia γ = [x, y] ∈ R2 : x − 1 2 , y = 0 . 2] Gia’ su.’ z = x + iy. Khi d´o t`u. diˆe`u kiˆe.n d˜a cho suy ra: |x − 1 + iy| 2|x + i[y − 1]| ⇒ [x − 1]2 + y2 ≥ 2 x2 + [y − 1]2 ⇒ x + 1 3 2 + y − 4 3 2 8 9 · T`u. d´o suy ra r˘a`ng diˆe`u kiˆe.n d˜a cho x´ac di.nh h`ınh tr`on tˆam z0 = − 1 3 +i 4 3 v`a b´an k´ınh 2 √ 2 3 . 3] V`ı tam th´u.c bˆa.c hai [dˆo´i v´o.i u] o.’ vˆe´ tr´ai cu’a diˆe`u kiˆe.n d˜a cho du.o.ng ∀ u ∈ R nˆen biˆe.t sˆo´ cu’a n´o ˆam, t´u.c l`a |z − 2 + i|2 − |z − 2 + i| < 0 ⇒|z − 2 + i| < 1. D´o l`a h`ınh tr`on v´o.i tˆam ta.i z0 = 2 − i v`a b´an k´ınh b˘a`ng 1. 4] T`u. diˆe`u kiˆe.n d˜a cho ta thu du.o. .c log3 2 + |z2 + i| 2 + |z2 − i| = 0 ⇒ 2 + |z2 + i| 2 + |z2 − i| = 1 v`a |z2 + i| = |z2 − i|. T`u. d´o suy r˘a`ng z2 l`a sˆo´ thu. .c bˆa´t k`y. Nhu.ng khi d´o z l`a sˆo´ thu. .c bˆa´t k`y ho˘a.c sˆo´ thuˆa`n a’o bˆa´t k`y. Nhu. vˆa.y chı’ c´o c´ac diˆe’m n˘a`m trˆen c´ac tru.c to.a dˆo. l`a tho’a m˜an diˆe`u kiˆe.n d˜a cho. B`AI TˆA. P
22. h`ınh ho.c. Mˆodun v`a acgumen 21 1. Ch´u.ng minh r˘a`ng 1] |z1 · z2| = |z1| · |z2|; 2] |z1 ± z2| |z1| + |z2|; 3] |z1 ± z2| |z1| − |z2| . 2. Xuˆa´t ph´at t`u. c´ac biˆe’u diˆe˜n h`ınh ho.c, ch´u.ng minh: 1] z |z| − 1 |argz|; 2] |z − 1| |z| − 1 + |z||argz|. 3. Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u gi´a tri. ch´ınh argz = arg[a + ib] tho’a m˜an diˆe`u kiˆe.n −π < argz π th`ı n´o du.o. .c t´ınh theo cˆong th´u.c arg[a + ib] =    arctg b a nˆe´u a > 0, arctg b a + π nˆe´u a < 0, b 0, arctg b a − π nˆe´u a < 0, b < 0. 4. Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u gi´a tri. ch´ınh arg[a + ib] tho’a m˜an diˆe`u kiˆe.n 0 arg[a + ib] < 2π th`ı arg[a + ib] =    arctg b a nˆe´u a > 0, b > 0, arctg b a + 2π nˆe´u a > 0, b < 0, arctg b a + π nˆe´u a < 0. Chı’ dˆa˜n. Lu.u ´y r˘a`ng gi´a tri. ch´ınh cu’a arctg b a ∈ − π 2 , π 2 . 5. Ch´u.ng minh r˘a`ng |a + b|2 + |a − b|2 = 4|a|2 nˆe´u |a| = |b|. 6. Ch´u.ng minh dˆo`ng nhˆa´t th´u.c |1 − ab|2 − |a − b|2 = [1 + |ab|]2 − [|a| + |b|]2 , a ∈ C, b ∈ C. Chı’ dˆa˜n. Su.’ du.ng hˆe. th´u.c |z|2 = zz.
23. Sˆo´ ph´u.c 7. Ch´u.ng minh dˆo`ng nhˆa´t th´u.c 1] |a + b|2 = [|a| + |b|]2 − 2 |ab| − Re[ab] . 2] |ab + 1|2 + |a − b|2 = [|a|2 + 1][|b|2 + 1]. 8. Ch´u.ng minh r˘a`ng mo.i sˆo´ ph´u.c z = −1 v`a |z| = 1 dˆe`u c´o thˆe’ biˆe’u diˆe˜n du.´o.i da.ng z = 1 + ti 1 − ti , t ∈ R. Chı’ dˆa˜n. Biˆe’u diˆe˜n t qua z v`a ch´u.ng minh t = t. 9. Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u Rea 0 th`ı |1 + a| 1 + |a| √ 2 · Chı’ dˆa˜n. C´o thˆe’ ch´u.ng minh b˘a`ng pha’n ch´u.ng. 10. Trong c´ac sˆo´ ph´u.c tho’a m˜an diˆe`u kiˆe.n |z − 25i| 15 h˜ay t`ım sˆo´ c´o acgument du.o.ng nho’ nhˆa´t. 11. T`ım acgumen cu’a c´ac sˆo´ ph´u.c sau dˆay 1] cos π 6 − i sin π 6 · [DS. − π 6 ] 2] − cos π 3 + i sin π 3 · [DS. 2π 3 ] 3] cos ϕ − i sin ϕ. [DS. −ϕ] 4] − cos ϕ − i sin ϕ. [DS. π + ϕ] 5] sin ϕ + i cos ϕ. [DS. π 2 − ϕ] 6] sin ϕ − i cos ϕ. [DS. ϕ − π 2 ] 7] − sin ϕ − i cos ϕ. [DS. − π 2 − ϕ ]
24. sˆo´ ph´u.c du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac 23 1.4 Biˆe’u diˆe˜n sˆo´ ph´u.c du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac Mo.i sˆo´ ph´u.c z = a + ib = 0 dˆe`u biˆe’u diˆe˜n du.o. .c du.´o.i da.ng z = a + ib = r[cos ϕ + i sin ϕ] [1.7] trong d´o r = |z| = √ a2 + b2, ϕ l`a mˆo.t trong c´ac acgumen cu’a n´o. Ph´ep biˆe’u diˆe˜n d´o du.o. .c go.i l`a da. ng lu.o. .ng gi´ac cu’a sˆo´ ph´u.c z. Dˆe’ chuyˆe’n t`u. da.ng da.i sˆo´ sang da.ng lu.o. .ng gi´ac ta chı’ cˆa`n t`ım mˆodun v`a mˆo.t trong c´ac acgument cu’a n´o. V`ı mˆodun v`a acgumen cu’a tˆo’ng [hiˆe.u] hai sˆo´ ph´u.c kh´o c´o thˆe’ biˆe’u diˆe˜n qua mˆodun v`a acgumen cu’a c´ac sˆo´ ha.ng nˆen ph´ep cˆo.ng v`a ph´ep tr`u. du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac l`a khˆong kha’ thi. Ngu.o. .c la.i, ph´ep nhˆan, ph´ep chia, ph´ep nˆang lˆen l˜uy th`u.a v`a khai c˘an du.o. .c thu. .c hiˆe.n rˆa´t tiˆe.n lo. .i du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac. Gia’ su.’ z1 = r1[cos ϕ1 + i sin ϕ1], z2 = r2[cos ϕ2 + i sin ϕ2], z = r[cos ϕ + i sin ϕ]. Khi d´o 1+ z1z2 = r1r2[cos[ϕ1 + ϕ2] + i sin[ϕ1 + ϕ2]] 2+ z1 z2 = r1 r2 [cos[ϕ1 − ϕ2] + i sin[ϕ1 − ϕ2]], r2 = 0. 3+ zn = rn [cos nϕ + i sin nϕ], n ∈ Z. 4+ wk = n √ r cos ϕ + 2kπ n + i sin ϕ + 2kπ n , k = 0, n − 1. T`u. 3+ suy ra [cos ϕ + i sin ϕ]n = cos nϕ + i sin nϕ. [1.8] Cˆong th´u.c [1.8] du.o. .c go.i l`a cˆong th´u.c Moivre. Ph´ep to´an nˆang sˆo´ e lˆen lu˜y th`u.a ph´u.c z = x+iy du.o. .c di.nh ngh˜ıa bo.’ i cˆong th´u.c ez = ex+iy def = ex [cos y + i sin y]. [1.9] Ch˘a’ng ha.n
25. Sˆo´ ph´u.c e1+i = e[cos 1 + i sin 1], eπi/2 = cos π 2 + i sin π 2 = i, eπi = cos π + i sin π = −1. T`u. [1.9] khi z = iϕ ta thu du.o. .c cˆong th´u.c eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ [1.10] go.i l`a cˆong th´u.c Euler. Mo.i sˆo´ ph´u.c z = 0 dˆe`u c´o thˆe’ biˆe’u diˆe˜n du.´o.i da.ng z = reiϕ , [1.11] trong d´o r = |z|, ϕ l`a mˆo.t trong c´ac acgumen cu’a n´o. Ph´ep biˆe’u diˆe˜n [1.11] du.o. .c go.i l`a da. ng m˜u cu’a sˆo´ ph´u.c. C˜ung nhu. dˆo´i v´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac ta c´o: 1/ nˆe´u z1 = r1eiϕ1 , z2 = r2eiϕ2 th`ı z1z2 = r1r2ei[ϕ1+ϕ2] , [1.12] z1/z2 = r1 r2 ei[ϕ1−ϕ2] , [1.13] 2/ nˆe´u z = reiϕ th`ı zn = rn einϕ , [1.14] n √ z = n √ rei ϕ+2kπ n , k = 0, n − 1 [1.15] C´AC V´I DU. V´ı du. 1. Biˆe’u diˆe˜n c´ac sˆo´ ph´u.c sau dˆay du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac 1] −1 + i √ 3; 2] 2 + √ 3 + i. Gia’i. 1] T`ım mˆodun v`a acgumen cu’a sˆo´ ph´u.c d˜a cho: r = [−1]2 + [ √ 3]2 = 2; tg ϕ = − √ 3 .
26. sˆo´ ph´u.c du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac 25 T`u. d´o ho˘a.c ϕ = −π/3, ho˘a.c ϕ = − π 3 + π = 2π 3 . V`ı sˆo´ ph´u.c d˜a cho thuˆo.c g´oc phˆa`n tu. II nˆen ta cho.n ϕ = 2π 3 . T`u. d´o −1 + i √ 3 = 2 cos 2π 3 i sin 2π 3 . 2] T`ım modun v`a acgumen: |2 + √ 3 + i| = [2 + √ 3]2 + 1 = 8 + 4 √ 3 = 2 2 + √ 3. Nˆe´u ϕ = arg[2 + √ 3 + i] th`ı cos ϕ = 2 + √ 3 2 2 + √ 3 = 2 + √ 3 2 = 1 + √ 3 2 2 = 1 + cos π 6 2 = cos π 12 · T`u. d´o suy r˘a`ng 2 √ 3 + i = 2 2 + √ 3 cos π 12 + i sin π 12 V´ı du. 2. Biˆe’u diˆe˜n c´ac sˆo´ ph´u.c du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac 1] 1 + cos ϕ + i sin ϕ, −π < ϕ < π. 2] 1 + cos ϕ + i sin ϕ, π < ϕ < 2π. 3] w = 1 + cos ϕ + i sin ϕ 1 + cos ϕ − i sin ϕ , 0 < ϕ < π 2 · Gia’i. 1] Ta c´o |z| = 2[1 + cos ϕ] = 2 cos ϕ 2 = 2 cos ϕ 2 v`ı −π < ϕ < π ⇒ − π 2 < ϕ 2 < π 2 ⇒ cos ϕ 2 > 0. Gia’ su.’ α = argz. Khi d´o cos α = 1 + cos ϕ 2 cos ϕ 2 = cos ϕ 2 , sin α = sin ϕ 2 cos ϕ 2 = sin ϕ 2 ·    ⇒ z = 2 cos ϕ 2 cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 .
27. Sˆo´ ph´u.c 2] Trong tru.`o.ng ho. .p n`ay ta c´o r = |z| = 2[1 + cos ϕ] = 2 cos ϕ 2 = −2 cos ϕ 2 v`ı π 2 < ϕ 2 < π. Gia’ su.’ α = argz. Khi d´o cos α = 1 + cos ϕ −2 cos ϕ 2 = − cos ϕ 2 = cos ϕ 2 − π , sin α = sin ϕ −2 cos ϕ 2 = − sin ϕ 2 = sin ϕ 2 − π . T`u. d´o suy r˘a`ng 1 + cos ϕ + i sin ϕ = −2 cos ϕ 2 cos ϕ 2 − π + i sin ϕ 2 − π . 3] Tru.´o.c hˆe´t nhˆa.n x´et r˘a`ng |w| = 1 v`ı tu.’ sˆo´ v`a mˆa˜u sˆo´ cu’a n´o c´o modun b˘a`ng nhau. Ta t`ım da.ng lu.o. .ng gi´ac cu’a tu.’ sˆo´ v`a mˆa˜u sˆo´. X´et tu.’ sˆo´: z1 = 1 + cos ϕ + i sin ϕ, ϕ ∈ 0, π 2 |z1| = 2[1 + cos ϕ] , ϕ1 = argz1 = arctg sin ϕ 1 + cos ϕ = arctg tg ϕ 2 = ϕ 2 ∈ − π 2 , π 2 . Tu.o.ng tu. ., dˆo´i v´o.i mˆa˜u sˆo´ z2 = 1 + cos ϕ − i sin ϕ ta c´o |z2| = 2[1 + cos ϕ] , ϕ2 = argz2 = arctg − sin ϕ 1 + cos ϕ = arctg − tg ϕ 2 = arctg tg − ϕ 2 = − ϕ 2 ∈ − π 2 , π 2 .
28. sˆo´ ph´u.c du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac 27 T`u. d´o thu du.o. .c z2 = 2[1 + cos ϕ] cos − ϕ 2 + i sin − ϕ 2 v`a do vˆa.y w = 2[1 + cos ϕ] 2[1 + cos ϕ] × cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 cos − ϕ 2 + i sin − ϕ 2 = cos ϕ + i sin ϕ. V´ı du. 3. 1] T´ınh [ √ 3 + i]126 2] T´ınh acgumen cu’a sˆo´ ph´u.c sau w = z4 − z2 nˆe´u argz = ϕ v`a |z| = 1. Gia’i. 1] Ta c´o √ 3 + i = 2 cos π 6 + i sin π 6 . T`u. d´o ´ap du.ng cˆong th´u.c Moivre ta thu du.o. .c: [ √ 3 + i]126 = 2126 cos 126π 6 + i sin 126π 6 = 2126 [cos π + i sin π] = −2126 . 2] Ta c´o w = z4 − z2 = cos 4ϕ + i sin 4ϕ − [cos 2ϕ − i sin 2ϕ] = cos 4ϕ − cos 2ϕ + i[sin 4ϕ + sin 2ϕ] = −2 sin 3ϕ sin ϕ + 2i sin 3ϕ cos ϕ = 2 sin 3ϕ[− sin ϕ + i cos ϕ]. [i] Nˆe´u sin 3ϕ > 0 [t´u.c l`a khi 2kπ 3 < ϕ < [2k + 1]π 3 , k ∈ Z] th`ı w = 2 sin 3ϕ cos π 2 + ϕ + i sin π 2 + ϕ . [ii] Nˆe´u sin 3ϕ < 0 [t´u.c l`a khi [2k − 1]π 3 < ϕ < 2kπ 3 , k ∈ Z] th`ı w = [−2 sin 3ϕ][sin ϕ − i cos ϕ].
29. Sˆo´ ph´u.c Ta t`ım da.ng lu.o. .ng gi´ac cu’a v = sin ϕ − i cos ϕ. Hiˆe’n nhiˆen |v| = 1. Ta t´ınh argv argv = arctg − cos ϕ sin ϕ = arctg[−cotgϕ] = arctg − tg π 2 − ϕ = arctg tg ϕ − π 2 = ϕ − π 2 · Nhu. vˆa.y nˆe´u sin 3ϕ < 0 th`ı w = [−2 sin 3ϕ] cos ϕ − π 2 + i sin ϕ − π 2 . [iii] Nˆe´u sin 3ϕ = 0 ⇒ ϕ = kπ 3 ⇒ w = 0. Nhu. vˆa.y argw =    π 2 + ϕ nˆe´u 2kπ 3 < ϕ < [2k + 1]π 3 , khˆong x´ac di.nh nˆe´u ϕ = kπ 3 , ϕ − π 2 nˆe´u [2k − 1]π 3 < ϕ < 2kπ 3 · V´ı du. 4. Ch´u.ng minh r˘a`ng 1] cos π 9 + cos 3π 9 + cos 5π 9 + cos 7π 9 = 1 2 . 2] cos ϕ + cos[ϕ + α] + cos[ϕ + 2α] + · · · + cos[ϕ + nα] = sin [n + 1]α 2 cos ϕ + nα 2 sin α 2 · Gia’i. 1] D˘a.t S = cos π 9 + cos 3π 9 + · · · + cos 7π 9 , T = sin π 9 + sin 3π 9 + · · · + sin 7π 9 , z = cos π 9 + i sin π 9 .
30. sˆo´ ph´u.c du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac 29 Khi d´o S + iT = z + z3 + z5 + z7 = z[1 − z8 ] 1 − z2 = z − z9 1 − z2 = z + 1 1 − z2 = 1 1 − z = 1 1 − cos π 9 − i sin π 9 = 1 − cos π 9 + i sin π 9 1 − cos π 9 2 + sin2 π 9 = 1 2 + sin π 9 2 1 − cos π 9 · Do d´o S = 1 2 · 2] Tu.o.ng tu. . nhu. trong 1] ta k´y hiˆe.u S = cos ϕ + cos[ϕ + α] + · · · + cos[ϕ + nα], T = sin ϕ + sin[ϕ + α] + · · · + sin[ϕ + nα], z = cos α + i sin α, c = cos ϕ + i sin ϕ. Khi d´o S + iT = c + cz + · · · + czn = c[1 − zn+1 ] 1 − z = [cos ϕ + i sin ϕ][1 − cos[n + 1]α − i sin[n + 1]α] 1 − cos α − i sin α = [cos ϕ + i sin ϕ]2 sin [n + 1]α 2 cos [n + 1]α − π 2 + i sin [n + 1]α − π 2 2 sin α 2 cos α − π 2 + i sin α − π 2 = sin [n + 1]α 2 cos ϕ + nα 2 sin α 2 + sin [n + 1]α 2 sin ϕ + nα 2 sin α 2 i. T`u. d´o so s´anh phˆa`n thu. .c v`a phˆa`n a’o ta thu du.o. .c kˆe´t qua’. B˘a`ng phu.o.ng ph´ap tu.o.ng tu. . ta c´o thˆe’ t´ınh c´ac tˆo’ng da.ng a1 sin b1 + a2 sin b2 + · · · + an sin bn, a1 cos b1 + a2 cos b2 + · · · + an cos bn
31. Sˆo´ ph´u.c nˆe´u c´ac acgumen b1, b2, . . . , bn lˆa.p nˆen cˆa´p sˆo´ cˆo.ng c`on c´ac hˆe. sˆo´ a1, a2, . . ., an lˆa.p nˆen cˆa´p sˆo´ nhˆan. V´ı du. 5. T´ınh tˆo’ng 1] Sn = 1 + a cos ϕ + a2 cos 2ϕ + · · · + an cos nϕ; 2] Tn = a sin ϕ + a2 sin 2ϕ + · · · + an sin nϕ. Gia’i. Ta lˆa.p biˆe’u th´u.c Sn + iTn v`a thu du.o. .c Σ = Sn + iTn = 1 + a[cos ϕ + i sin ϕ] + a2 [cos 2ϕ + i sin 2ϕ] + . . . + an [cos nϕ + i sin nϕ]. D˘a.t z = cos ϕ + i sin ϕ v`a ´ap du.ng cˆong th´u.c Moivre ta c´o: Σ = 1 + az + a2 z2 + · · · + an zn = an+1 zn+1 − 1 az − 1 [nhˆan tu.’ sˆo´ v`a mˆa˜u sˆo´ v´o.i a z − 1] = an+2 zn − an+1 zn+1 − a 2 + 1 a2 − a z + 1 z + 1 [do z + 1 z = 2 cos ϕ] = an+2 [cos nϕ + i sin nϕ] − an+1 [cos[n + 1]ϕ + i sin[n + 1]ϕ] a2 − 2a cos ϕ + 1 + −a cos ϕ + ai sin ϕ + 1 a2 − 2a cos ϕ + 1 = an+2 cos nϕ − an+1 cos[n + 1]ϕ − a cos ϕ + 1 a2 − 2a cos ϕ + 1 + + i an+2 sin nϕ − an+1 sin[n + 1]ϕ + a sin ϕ a2 − 2a cos ϕ + 1 · B˘a`ng c´ach so s´anh phˆa`n thu. .c v`a phˆa`n a’o ta thu du.o. .c c´ac kˆe´t qua’ cˆa`n du.o. .c t´ınh. V´ı du. 6. 1] Biˆe’u diˆe˜n tg5ϕ qua tgϕ.
32. sˆo´ ph´u.c du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac 31 2] Biˆe’u diˆe˜n tuyˆe´n t´ınh sin5 ϕ qua c´ac h`am sin cu’a g´oc bˆo.i cu’a ϕ. 3] Biˆe’u diˆe˜n cos4 ϕ v`a sin4 ϕ·cos3 ϕ qua h`am cosin cu’a c´ac g´oc bˆo.i. Gia’i. 1] V`ı tg5ϕ = sin 5ϕ cos 5ϕ nˆen ta cˆa`n biˆe’u diˆe˜n sin 5ϕ v`a cos 5ϕ qua sin ϕ v`a cos ϕ. Theo cˆong th´u.c Moivre ta c´o cos 5ϕ + i sin 5ϕ = [cos ϕ + i sin ϕ]5 = sin5 ϕ + 5i cos4 ϕ sin ϕ − 10 cos3 ϕ sin2 ϕ − 10i cos2 ϕ sin3 ϕ + 5 cos ϕ sin4 ϕ + i sin5 ϕ. T´ach phˆa`n thu. .c v`a phˆa`n a’o ta thu du.o. .c biˆe’u th´u.c dˆo´i v´o.i sin 5ϕ v`a cos 5ϕ v`a t`u. d´o tg5ϕ = 5 cos4 ϕ sin ϕ − 10 cos2 ϕ sin3 ϕ + sin5 ϕ cos5 ϕ − 10 cos3 ϕ sin2 ϕ + 5 cos ϕ sin4 ϕ [chia tu.’ sˆo´ v`a mˆa˜u sˆo´ cho cos5 ϕ] = 5tgϕ − 10tg3 ϕ + tg5 ϕ 1 − 10tg2 ϕ + 5tg4 ϕ · 2] D˘a.t z = cos ϕ + i sin ϕ. Khi d´o z−1 = cos ϕ − i sin ϕ v`a theo cˆong th´u.c Moivre: zk = cos kϕ + i sin kϕ, z−k = cos kϕ − i sin kϕ. Do d´o cos ϕ = z + z−1 2 , sin ϕ = z − z−1 2i zk + z−k = 2 cos kϕ, zk − z−k = 2i sin kϕ. ´Ap du.ng c´ac kˆe´t qua’ n`ay ta c´o sin5 ϕ = z − z−1 2i 5 = z5 − 5z3 + 10z − 10z−1 + 5z−3 − z−5 32i = [z5 − z−5 ] − 5[z3 − z−3 ] + 10[z − z−1 ] 32i = 2i sin 5ϕ − 10i sin 3ϕ + 20i sin ϕ 32i = sin 5ϕ − 5 sin 3ϕ + 10 sin ϕ 16 ·
33. Sˆo´ ph´u.c 3] Tu.o.ng tu. . nhu. trong phˆa`n 2] ho˘a.c gia’i theo c´ach sau dˆay 1+ cos4 ϕ = eiϕ + e−iϕ 2 4 = 1 16 e4iϕ + 4e2iϕ + 6 + 4e−2iϕ + e−4iϕ = 1 8 e4ϕi + e−4ϕi 2 + 1 2 e2ϕi + e−2ϕi 2 + 3 8 = 3 8 + 1 2 cos 2ϕ + 1 8 cos 4ϕ. 2+ sin4 ϕ cos3 ϕ = eϕi − e−ϕi 2i 4 eϕi + e−ϕi 2 3 = 1 128 e2ϕi − e−2ϕi 3 eϕi − e−ϕi = 1 128 e6ϕi − 3e2ϕi + 3e−2ϕi − e−6ϕi eϕi − e−ϕi = 1 128 e7ϕi − e5ϕi − 3e3ϕi + 3eϕi + 3e−ϕi − 3e−3ϕi − e−5ϕi + e−7ϕi = 3 64 cos ϕ − 3 64 cos 3ϕ − 1 64 cos 5ϕ − 1 64 cos 7ϕ. V´ı du. 7. 1] Gia’i c´ac phu.o.ng tr`ınh 1+ [x + 1]n − [x − 1]n = 0 2+ [x + i]n + [x − i]n = 0, n > 1. 2] Ch´u.ng minh r˘a`ng mo.i nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh 1 + ix 1 − ix n = 1 + ai 1 − ai , n ∈ N, a ∈ R dˆe`u l`a nghiˆe.m thu. .c kh´ac nhau. Gia’i. 1] Gia’i phu.o.ng tr`ınh 1+ Chia hai vˆe´ cu’a phu.o.ng tr`ınh cho [x − 1]n ta du.o. .c x + 1 x − 1 n = 1 ⇒ x + 1 x − 1 = n √ 1 = cos 2kπ n + i sin 2kπ n = εk, k = 0, 1, . . . , n − 1.
34. sˆo´ ph´u.c du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac 33 T`u. d´o suy r˘a`ng x + 1 = εk[x − 1] ⇒ x[εk − 1] = 1 + εk. Khi k = 0 ⇒ ε0 = 1. Do d´o v´o.i k = 0 phu.o.ng tr`ınh vˆo nghiˆe.m. V´o.i k = 1, n − 1 ta c´o x = εk + 1 εk − 1 = [εk + 1][εk − 1] εk − 1][εk − 1] = εkεk + εk − εk − 1 εkεk − εk − εk − 1 = −2i sin 2kπ n 2 − 2 cos 2kπ n = −i sin 2kπ n 1 − cos 2kπ n = icotg kπ n , k = 1, 2, . . . , n − 1. 2+ C˜ung nhu. trˆen, t`u. phu.o.ng tr`ınh d˜a cho ta c´o x + i x − i n = −1 ⇐⇒ x + i x − i = n √ −1 = cos π + 2kπ n + i sin π + 2kπ n hay l`a x + i x − i = cos [2k + 1]π n + i sin [2k + 1]π n = cos ψ + i sin ψ, ψ = [2k + 1]π n · Ta biˆe´n dˆo’i phu.o.ng tr`ınh: x + i x − i − 1 = cos ψ + i sin ψ − 1 ⇔ 2i x − i = 2i sin ψ 2 cos ψ 2 − 2 sin2 ψ 2 ⇔ 1 x − i = sin ψ 2 cos ψ 2 − 1 i sin ψ 2 = sin ψ 2 cos ψ 2 + i sin ψ 2 .
35. Sˆo´ ph´u.c T`u. d´o suy ra x − i = 1 sin ψ 2 cos ψ 2 + i sin ψ 2 = cos ψ 2 − i sin ψ 2 sin ψ 2 = cotg ψ 2 − i. Nhu. vˆa.y x − i = cotg ψ 2 − i ⇒ x = cotg ψ 2 = cotg [2k + 1]π 2n , k = 0, n − 1. 2] Ta x´et vˆe´ pha’i cu’a phu.o.ng tr`ınh d˜a cho. Ta c´o 1 + ai 1 − ai = 1 ⇒ 1 + ai 1 − ai = cos α + i sin α v`a t`u. d´o 1 + xi 1 − xi = n 1 + ai 1 − ai = cos α + 2kπ n + i sin α + 2kπ n , k = 0, n − 1. T`u. d´o nˆe´u d˘a.t ψ = α + 2kπ n th`ı x = cos ψ − 1 + i sin ψ i[cosψ + 1 + i sin ψ] = tg ψ 2 = tg α + 2kπ 2n , k = 0, n − 1. R˜o r`ang d´o l`a nh˜u.ng nghiˆe.m thu. .c kh´ac nhau. V´ı du. 8. Biˆe’u diˆe˜n c´ac sˆo´ ph´u.c sau dˆay du.´o.i da.ng m˜u: 1] z = [− √ 3 + i] cos π 12 − i sin π 12 1 − i · 2] z = √ 3 + i.
36. sˆo´ ph´u.c du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac 35 Gia’i. 1] D˘a.t z1 = − √ 3 + i, z2 = cos π 12 − i sin π 12 , z3 = 1 − i v`a biˆe’u diˆe˜n c´ac sˆo´ ph´u.c d´o du.´o.i da.ng m˜u. Ta c´o z1 = 2e 5π 6 i ; z2 = cos π 12 − i sin π 12 = cos − π 12 + i sin − π 12 = e− π 12 i ; z3 = √ 2e− π 4 i . T`u. d´o thu du.o. .c z = 2e 5π 6 i · e− π 12 i √ 2e− π 4 i = √ 2eiπ . 2] Tru.´o.c hˆe´t biˆe’u diˆe˜n sˆo´ ph´u.c z1 = √ 3 + i du.´o.i da.ng m˜u. Ta c´o |z1| = 2; ϕ = arg[ √ 3 + i] = π 6 , do d´o √ 3 + i = 2e π 6 i . T`u. d´o thu du.o. .c wk = 4 √ 3 + i = 4 √ 2ei [ π 6 +2kπ] 4 = 4 √ 2ei [12k+1]π 24 , k = 0, 3. V´ı du. 9. T´ınh c´ac gi´a tri. 1] c˘an bˆa.c 3: w = 3 √ −2 + 2i 2] c˘an bˆa.c 4: w = 4 √ −4 3] c˘an bˆa.c 5: w = 5 √ 3 − i 8 + 8i . Gia’i. Phu.o.ng ph´ap tˆo´t nhˆa´t dˆe’ t´ınh gi´a tri. c´ac c˘an th´u.c l`a biˆe’u diˆe˜n sˆo´ ph´u.c du.´o.i dˆa´u c˘an du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac [ho˘a.c da.ng m˜u] rˆo`i ´ap du.ng c´ac cˆong th´u.c tu.o.ng ´u.ng. 1] Biˆe’u diˆe˜n z = −2 + 2i du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac. Ta c´o r = |z| = √ 8 = 2 √ 2; ϕ = arg[−2 + 2i] = 3π 4 ·
37. Sˆo´ ph´u.c Do d´o wk = 3 √ 8 cos 3π 4 + 2kπ 3 + i sin 3π 4 + 2kπ 3 , k = 0, 2. T`u. d´o w0 = √ 2 cos π 4 + i sin π 4 = 1 + i, w1 = √ 2 cos 11π 12 + i sin 11π 12 , w2 = √ 2 cos 19π 12 + i sin 19π 12 . 2] Ta c´o −4 = 4[cos π + i sin π] v`a do d´o wk = 4 √ 4 cos π + 2kπ 4 + i sin π + 2kπ 4 , k = 0, 3. T`u. d´o w0 = √ 2 cos π 4 + i sin π 4 = 1 + i, w1 = √ 2 cos 3π 4 + i sin 3π 4 = −1 + i, w2 = √ 2 cos 5π 4 + i sin 5π 4 = −1 − i, w3 = √ 2 cos 7π 4 + i sin 7π 4 = 1 − i. 3] D˘a.t z = √ 3 − i 8 + 8i · Khi d´o |z| = √ 3 + 1 √ 64 + 64 = 1 4 √ 2 . Ta t´ınh argz. Ta c´o argz = arg[ √ 3 − i] − arg[8 + 8i] = − π 6 − π 4 = − 5π 12 ·
38. sˆo´ ph´u.c du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac 37 Do vˆa.y wk = 5 1 4 √ 2 cos − 5π 12 + 2kπ 5 + i sin − 5π 12 + 2kπ 5 = 1 √ 2 cos − π 12 + 2kπ 5 + i sin − π 12 + 2kπ 5 , k = 0, 4. V´ı du. 10. 1] T´ınh tˆo’ng mo.i c˘an bˆa.c n cu’a 1. 2] T´ınh tˆo’ng 1 + 2ε + 3ε2 + · · · + nεn−1 , trong d´o ε l`a c˘an bˆa.c n cu’a do.n vi.. 3] T´ınh tˆo’ng c´ac lu˜y th`u.a bˆa.c k cu’a mo.i c˘an bˆa.c n cu’a sˆo´ ph´u.c α. Gia’i. 1] Dˆa`u tiˆen ta viˆe´t c´ac c˘an bˆa.c n cu’a 1. Ta c´o εk = n √ 1 = cos 2kπ n + i sin 2kπ n , k = 0, n − 1. T`u. d´o ε0 = 1, ε1 = ε = cos 2π n + i sin 2π n , εk = cos 2kπ n + i sin 2kπ n = cos 2π n + i sin 2π n k = εk , k = 1, 2, . . . , n − 1. Nhu. vˆa.y mo.i nghiˆe.m cu’a c˘an bˆa.c n cu’a 1 c´o thˆe’ viˆe´t du.´o.i da.ng 1, ε, ε2 , . . ., εn−1 . Bˆay gi`o. ta t´ınh S = 1 + ε + ε2 + · · · + εn−1 = 1 − εn 1 − ε · Nˆe´u n > 1 th`ı εn = 1 v`a do d´o S = 1 − εn 1 − ε = 0.
39. Sˆo´ ph´u.c 2] Ta k´y hiˆe.u tˆo’ng cˆa`n t´ınh l`a S. Ta x´et biˆe’u th´u.c [1 − ε]S = S − εS = 1 + 2ε + 3ε2 + · · · + nεn−1 − ε − 2ε2 − · · · − [n − 1]εn−1 − nεn = 1 + ε + ε2 + · · · + εn−1 0[ε=1] −nεn = −n v`ı εn = 1. Nhu. vˆa.y [1 − ε]S = −n → S = −n 1 − ε nˆe´u ε = 1. Nˆe´u ε = 1 th`ı S = 1 + 2 + · · · + n = n[n + 1] 2 · 3] Gia’ su.’ β0 l`a mˆo.t trong c´ac gi´a tri. c˘an cu’a α. Khi d´o [v´o.i α = 0] mo.i c˘an bˆa.c n cu’a α c´o thˆe’ biˆe’u diˆe˜n du.´o.i da.ng t´ıch β0εk, k = 1, 2, . . . , n − 1, trong d´o εk = cos 2kπ n + i sin 2kπ n l`a c˘an bˆa.c n cu’a 1. T`u. d´o tˆo’ng cˆa`n t`ım S b˘a`ng S = βk 0 + [β0ε1]k + [β0ε2]k + · · · + [β0εn−1]k = βk 0 [1 + εk 1 + εk 2 + · · · + εk n−1] εk m = cos 2mπ n + i sin 2mπ n k = cos 2π n + i sin 2π n mk = βk 0 1 + εk 1 + ε2k 1 + · · · + ε [n−1]k 1 . Biˆe’u th´u.c trong dˆa´u ngo˘a.c vuˆong l`a cˆa´p sˆo´ nhˆan. Nˆe´u εk 1 = 1, t´u.c l`a k khˆong chia hˆe´t cho n th`ı S = βk 0 1 − εnk 1 1 − εk 1 = βk 0 1 − 1 1 − εk 1 = 0 [v`ı εn 1 = 1].
40. sˆo´ ph´u.c du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac 39 Nˆe´u εk 1 = 1 t´u.c l`a k chia hˆe´t cho n, k = nq th`ı S = βnq 0 [1 + 1 + · · · + 1] = βnq 0 n = nαq [v`ı βn 0 = α]. Nhu. vˆa.y S =    0 nˆe´u k chia hˆe´t cho n; nαq nˆe´u k = nq, q ∈ Z. B`AI TˆA. P 1. Biˆe’u diˆe˜n c´ac sˆo´ ph´u.c sau dˆay du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac 1] −1 + i √ 3 [DS. 2 cos 2π 3 + i sin 2π 3 ] 2] √ 3 − i [DS. 2 cos 11π 6 + i sin 11π 6 ] 3] − √ 3 − i [DS. 2 cos 7π 6 + i sin 7π 6 ] 4] √ 3 2 + i 2 [DS. cos π 6 + i sin π 6 ] 5] − √ 3 2 + 1 2 i [DS. cos 5π 6 + i sin 5π 6 ] 6] 1 2 − i √ 3 2 [DS. cos 5π 3 + i sin 5π 3 ] 7] − 1 2 − i √ 3 2 [DS. cos 4π 3 + i sin 4π 3 ] 8] 2 + √ 3 − i [DS. 2 2 + √ 3 cos 23π 12 + i sin 23π 12 ] 9] 2 − √ 3 − i [DS. 2 2 − √ 3 cos 19π 12 + i sin 19π 12 ] 2. Biˆe’u diˆe˜n c´ac sˆo´ ph´u.c sau dˆay du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac 1] − cos ϕ + i sin ϕ [DS. cos[π − ϕ] + i sin[π − ϕ]] 2] − sin ϕ + i cos ϕ [DS. cos π 2 + ϕ + i sin π 2 + ϕ]]
41. Sˆo´ ph´u.c 3] cos ϕ − i sin ϕ [DS. cos[−ϕ] + i sin[−ϕ]] 4] − cos ϕ − i sin ϕ [DS. cos[π + ϕ] + i sin[π + ϕ]] B˘a`ng c´ach d˘a.t α = θ + 2kπ, trong d´o 0 θ < 2π, ta c´o: 5] 1+cos α+i sin α [DS. 2 cos θ 2 cos θ 2 +i sin θ 2 v´o.i 0 θ < π; −2 cos θ 2 cos θ + 2π 2 + i sin θ + 2π 2 v´o.i π θ < 2π] 6] 1 − cos α + i sin α [DS. 2 sin θ 2 cos π − θ 2 + i sin π − θ 2 ] 7] sin α + i[1 + cos α] [DS. 2 cos θ 2 cos π − θ 2 + i sin π − θ 2 v´o.i 0 θ < π; −2 cos θ 2 cos 3π − θ 2 + i sin 3π − θ 2 v´o.i π θ < 2π] 8] − sin α + i[1 + cos α] [DS. 2 cos θ 2 cos π + θ 2 + i sin π + θ 2 v´o.i 0 θ < π; −2 cos θ 2 cos 3π + θ 2 + i sin 3π + θ 2 v´o.i π θ < 2π] 3. T´ınh: 1] cos π 6 − i sin π 6 100 [DS. − 1 2 − i √ 3 2 ] 2] 4 √ 3 + i 12 [DS. 212 ] 3] [ √ 3 + i]6 [−1 + i]8 − [1 + i]4 [DS. −3, 2] 4] [−i − √ 3]15 [1 − i]20 + [−i + √ 3]15 [1 + i]20 [DS. −64i] 5] [1 + i]100 [1 − i]96 + [1 + i]96 [DS. −2] 6] [1 + icotgϕ]5 1 − icotgϕ]5 [DS. cos[π − 10ϕ] + i sin[π − 10ϕ]] 7] [1 − i √ 3][cos ϕ + i sin ϕ] 2[1 − i][cos ϕ − i sin ϕ] [DS. √ 2 2 cos 6ϕ − π 12 + i sin 6ϕ − π 12 ]
42. sˆo´ ph´u.c du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac 41 8] [1 + i √ 3]3n [1 + i]4n [DS. 2] 4. Ch´u.ng minh r˘a`ng z + 1 z = 2 cos ϕ ⇒ zn + 1 zn = 2 cos nϕ. 5. H˜ay biˆe’u diˆe˜n c´ac h`am sau dˆay qua sin ϕ v`a cos ϕ 1] sin 3ϕ [DS. 3 cos2 ϕ sin ϕ − sin3 ϕ] 2] cos 3ϕ [DS. cos3 ϕ − 3 cos ϕ sin2 ϕ] 3] sin 4ϕ [DS. 4 cos3 ϕ sin ϕ − 4 cos ϕ sin3 ϕ] 4] cos 4ϕ [DS. cos4 ϕ − 6 cos2 ϕ sin2 ϕ + sin4 ϕ] 6. H˜ay biˆe’u diˆe˜n c´ac h`am sau qua tgx 1] tg4ϕ [DS. 4tgϕ − 4tg3 ϕ 1 − 6tg2 ϕ + tg4 ϕ ] 2] tg6ϕ [DS. 6tgϕ − 20tg3 ϕ + 6tg5 ϕ 1 − 15tg2 ϕ + 15tg4 ϕ − tg6 ϕ ] 7. Ch´u.ng minh r˘a`ng 1 − C2 n + C4 n − C6 n + . . . = 2 n 2 cos nπ 4 · C1 n − C3 n + C5 n − C7 n + . . . = 2 n 2 sin nπ 4 · Chı’ dˆa˜n. T´ınh [1 + i]n b˘a`ng c´ach su.’ du.ng cˆong th´u.c Moivre v`a su.’ du.ng cˆong th´u.c nhi. th´u.c Newton rˆo`i so s´anh phˆa`n thu. .c v`a phˆa`n a’o c´ac sˆo´ thu du.o. .c. 8. Ch´u.ng minh r˘a`ng 1] cos π 5 + cos 3π 5 = 1 2 2] cos π 7 + cos 3π 7 + cos 5π 7 = 1 2 3] cos 2π 5 + cos 4π 5 = − 1 2 4] cos 2π 7 + cos 4π 7 + cos 6π 7 = − 1 2 5] cos 2π 9 + cos 4π 9 + cos 6π 9 + cos 8π 9 = − 1 2
43. Sˆo´ ph´u.c 9. Gia’i phu.o.ng tr`ınh i − x i + x n = cotgα + i cotgα − i , n ∈ N, α ∈ R. [DS. x = tg α + kπ n , k = 0, n − 1] 10. Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u A l`a sˆo´ ph´u.c c´o modun = 1 th`ı mo.i nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh 1 + ix 1 − ix n = A dˆe`u l`a nghiˆe.m thu. .c v`a kh´ac nhau. 11. Gia’i phu.o.ng tr`ınh xn − naxn−1 − C2 na2 xn−2 − · · · − an = 0. [DS. xk = a εk √ 2 − 1 , k = 0, n − 1] Chı’ dˆa˜n. D`ung cˆong th´u.c nhi. th´u.c Newton dˆe’ du.a phu.o.ng tr`ınh vˆe` da.ng xn = [x + a]n − xn . 12. Gia’i phu.o.ng tr`ınh x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0. [DS. xk = cos kπ 3 + i sin kπ 3 , k = 1, 2, 3, 4, 5] 13. Gia’i phu.o.ng tr`ınh x5 + αx4 + α2 x3 + α3 x2 + α4 x + α5 = 0, α ∈ C, α = 0. [DS. xk = α cos kπ 3 + i sin kπ 3 , k = 1, 2, 3, 4, 5] Chı’ dˆa˜n. Vˆe´ tr´ai l`a tˆo’ng cˆa´p sˆo´ nhˆan v´o.i cˆong bˆo.i b˘a`ng α x . 14. Gia’ su.’ n ∈ N, n > 1, c = 0, c ∈ R. Gia’i c´ac phu.o.ng tr`ınh sau dˆay
44. sˆo´ ph´u.c du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac 43 1] [x + c]n − [x − c]n = 0 [DS. x = −ccotg kπ n , k = 1, n − 1] 2] [x + ci]n − [x − ci]n = 0 [DS. x = −cicotg kπ n , k = 1, n − 1] 3] [x + ci]n + i[x − ci]n = 0 [DS. x = −cicotg [3 + 4k]π 4n , k = 0, n − 1] 4] [x + ci]n − [cos α + i sin α][x − ci]n = 0, α = 2kπ. [DS. x = −cicotg α + 2kπ 2n , k = 0, n − 1] 15. T´ınh Dn[x] = 1 2π 1 2 + cos x + cos 2x + · · · + cos nx . [DS. Dn[x] = 1 2π sin 2n + 1 2 x 2 sin x 2 ] 16. 1] Biˆe’u diˆe˜n cos 5x v`a sin 5x qua cos x v`a sin x. 2] T´ınh cos 2π 5 v`a sin 2π 5 . [DS. 1] cos 5x = cos5 x − 10 cos3 x sin2 x + 5 cos x sin4 x, sin 5x = 5 cos4 x sin x − 10 cos2 x sin3 x + sin5 x. 2] sin 2π 5 = 10 + 2 √ 5 4 , cos 2π 5 = √ 5 − 1 4 ] Chı’ dˆa˜n. Dˆe’ t´ınh sin 2π 5 cˆa`n su.’ du.ng biˆe’u th´u.c cu’a sin 5x.
45. th´u.c v`a h`am h˜u.u ty’ 2.1 D- a th´u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.1.1 D- a th´u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c C . . . . . . . 45 2.1.2 D- a th´u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ thu. .c R . . . . . . . 46 2.2 Phˆan th´u.c h˜u.u ty’ . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.1 D- a th´u.c Da th´u.c mˆo.t biˆe´n v´o.i hˆe. sˆo´ thuˆo.c tru.`o.ng sˆo´ P du.o. .c biˆe’u diˆe˜n do.n tri. du.´o.i da.ng tˆo’ng h˜u.u ha.n Q[x] = a0zn + a1zn−1 + · · · + an−1z + an [2.1] trong d´o z l`a biˆe´n, a0, a1, . . ., an l`a c´ac sˆo´; v`a mˆo˜i tˆo’ng da.ng [2.1] dˆe`u l`a da th´u.c. K´y hiˆe.u: Q[z] ∈ P[z]. Nˆe´u a0, a1, . . ., an ∈ C th`ı ngu.`o.i ta n´oi r˘a`ng Q[z] l`a da th´u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c: Q[z] ∈ C[z]. Nˆe´u a0, a1, . . ., an ∈ R th`ı Q[z] l`a da th´u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ thu. .c: Q[z] ∈ R[z].
46. th´u.c 45 Nˆe´u Q[z] = 0 th`ı bˆa.c cu’a n´o [k´y hiˆe.u degQ[z]] l`a sˆo´ m˜u cao nhˆa´t cu’a mo.i lu˜y th`u.a cu’a c´ac sˆo´ ha.ng = 0 cu’a da th´u.c v`a hˆe. sˆo´ cu’a sˆo´ ha.ng c´o lu˜y th`u.a cao nhˆa´t d´o go.i l`a hˆe. sˆo´ cao nhˆa´t. Nˆe´u P[z] v`a Q[z] ∈ P[z] l`a c˘a.p da th´u.c v`a Q[z] = 0 th`ı tˆo`n ta.i c˘a.p da th´u.c h[z] v`a r[z] ∈ P[z] sao cho 1+ P = Qh + r, 2+ ho˘a.c r[z] = 0, ho˘a.c degr < degQ. D- i.nh l´y B´ezout. Phˆa`n du. cu’a ph´ep chia da th´u.c P[z] cho nhi. th´u.c z − α l`a h˘a`ng P[α] [r = P[α]]. 2.1.1 D- a th´u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c C Gia’ su.’ Q[z] ∈ C[z]. Nˆe´u thay z bo.’ i sˆo´ α th`ı ta thu du.o. .c sˆo´ ph´u.c Q[α] = a0αn + a1αn−1 + · · · + an−1α + an. D- i.nh ngh˜ıa 2.1.1. Nˆe´u Q[α] = 0 th`ı sˆo´ z = α du.o. .c go.i l`a nghiˆe.m cu’a da th´u.c Q[z] hay cu’a phu.o.ng tr`ınh da.i sˆo´ Q[z] = 0. D- i.nh l´y Descate. Da th´u.c Q[z] chia hˆe´t cho nhi. th´u.c z − α khi v`a chı’ khi α l`a nghiˆe.m cu’a da th´u.c P[z] [t´u.c l`a P[α] = 0]. D- i.nh ngh˜ıa 2.1.2. Sˆo´ ph´u.c α l`a nghiˆe.m bˆo.i m cu’a da th´u.c Q[z] nˆe´u v`a chı’ nˆe´u Q[z] chia hˆe´t cho [z − α]m nhu.ng khˆong chia hˆe´t cho [z − α]m+1 . Sˆo´ m du.o. .c go.i l`a bˆo. i cu’a nghiˆe.m α. Khi m = 1, sˆo´ α go.i l`a nghiˆe.m do.n cu’a Q[z]. Trong tiˆe´t 2.1.1 ta biˆe´t r˘a`ng tˆa.p ho. .p sˆo´ ph´u.c C du.o. .c lˆa.p nˆen b˘a`ng c´ach gh´ep thˆem v`ao cho tˆa.p ho. .p sˆo´ thu. .c R mˆo.t nghiˆe.m a’o x = i cu’a phu.o.ng tr`ınh x2 + 1 = 0 v`a mˆo.t khi d˜a gh´ep i v`ao th`ı mo.i phu.o.ng tr`ınh da th´u.c dˆe`u c´o nghiˆe.m ph´u.c thu. .c su. .. Do d´o khˆong cˆa`n pha’i s´ang ta.o thˆem c´ac sˆo´ m´o.i dˆe’ gia’i phu.o.ng tr`ınh [v`ı thˆe´ C c`on du.o. .c go.i l`a tru.`o.ng d´ong da.i sˆo´]. D- i.nh l´y Gauss [di.nh l´y co. ba’n cu’a da.i sˆo´].
47. D- a th´u.c v`a h`am h˜u.u ty’ Mo.i da th´u.c da. i sˆo´ bˆa. c n [n 1] trˆen tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c dˆe`u c´o ´ıt nhˆa´t mˆo. t nghiˆe.m ph´u.c. T`u. di.nh l´y Gauss r´ut ra c´ac hˆe. qua’ sau. 1+ Mo.i da th´u.c bˆa.c n [n 1] trˆen tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c dˆe`u c´o d´ung n nghiˆe.m nˆe´u mˆo˜i nghiˆe.m du.o. .c t´ınh mˆo.t sˆo´ lˆa`n b˘a`ng bˆo.i cu’a n´o, t´u.c l`a Q[x] = a0[z − α1]m1 [z − α2]m2 · · · [z − αk]mk , [2.2] trong d´o αi = αj ∀ i = j v`a m1 + m2 + · · · + mk = n. Da th´u.c [2.1] v´o.i hˆe. sˆo´ cao nhˆa´t a0 = 1 du.o. .c go.i l`a da th´u.c thu go. n. 2+ Nˆe´u z0 l`a nghiˆe.m bˆo.i m cu’a da th´u.c Q[z] th`ı sˆo´ ph´u.c liˆen ho. .p v´o.i n´o z0 l`a nghiˆe.m bˆo.i m cu’a da th´u.c liˆen ho. .p Q[z], trong d´o da th´u.c Q[z] du.o. .c x´ac di.nh bo.’ i Q[z] def = a0zn + a1zn−1 + · · · + an−1z + an. [2.3] 2.1.2 D- a th´u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ thu. .c R Gia’ su.’ Q[z] = zn + a1zn−1 + · · · + an−1z + an [2.4] l`a da th´u.c quy go.n v´o.i hˆe. sˆo´ thu. .c a1, a2, . . . , an. Da th´u.c n`ay c´o t´ınh chˆa´t d˘a.c biˆe.t sau dˆay. D- i.nh l´y 2.1.1. Nˆe´u sˆo´ ph´u.c α l`a nghiˆe.m bˆo. i m cu’a da th´u.c [2.4] v´o.i hˆe. sˆo´ thu. .c th`ı sˆo´ ph´u.c liˆen ho. .p v´o.i n´o α c˜ung l`a nghiˆe.m bˆo. i m cu’a da th´u.c d´o. Su.’ du.ng di.nh l´y trˆen dˆay ta c´o thˆe’ t`ım khai triˆe’n da th´u.c v´o.i hˆe. sˆo´ thu. .c Q[z] th`anh t´ıch c´ac th`u.a sˆo´. Vˆe` sau ta thu.`o.ng chı’ x´et da th´u.c v´o.i hˆe. sˆo´ thu. .c v´o.i biˆe´n chı’ nhˆa.n gi´a tri. thu. .c nˆen biˆe´n d´o ta k´y hiˆe.u l`a x thay cho z.
48. th´u.c 47 D- i.nh l´y 2.1.2. Gia’ su.’ da th´u.c Q[x] c´o c´ac nghiˆe.m thu. .c b1, b2, . . ., bm v´o.i bˆo. i tu.o.ng ´u.ng β1, β2, . . . , βm v`a c´ac c˘a. p nghiˆe.m ph´u.c liˆen ho. .p a1 v`a a1, a2 v`a a2, . . ., an v`a an v´o.i bˆo. i tu.o.ng ´u.ng λ1, λ2, . . ., λn. Khi d´o Q[x] = [x − b1]β1 [x − b2]β2 · · · [x − bm]βm [x2 + p1x + q1]λ1 × × [x2 + p2x + q2]λ2 · · · [x2 + pnx + qb]λn . [2.5] D- i.nh l´y 2.1.3. Nˆe´u da th´u.c Q[x] = xn + a1xn−1 + · · · + an−1x + an v´o.i hˆe. sˆo´ nguyˆen v`a v´o.i hˆe. sˆo´ cao nhˆa´t b˘a`ng 1 c´o nghiˆe.m h˜u.u ty’ th`ı nghiˆe.m d´o l`a sˆo´ nguyˆen. Dˆo´i v´o.i da th´u.c v´o.i hˆe. sˆo´ h˜u.u ty’ ta c´o D- i.nh l´y 2.1.4. Nˆe´u phˆan sˆo´ tˆo´i gia’n m [ , m ∈ Z, m > 0] l`a nghiˆe.m h˜u.u ty’ cu’a phu.o.ng tr`ınh v´o.i hˆe. sˆo´ h˜u.u ty’ a0xn +a1xn−1 +· · ·+an−1x+ an = 0 th`ı l`a u.´o.c cu’a sˆo´ ha. ng tu. . do an v`a m l`a u.´o.c cu’a hˆe. sˆo´ cao nhˆa´t a0. C´AC V´I DU. V´ı du. 1. Gia’ su.’ P[z] = a0zn + a1zn−1 + · · · + an−1z + an. Ch´u.ng minh r˘a`ng: 1+ Nˆe´u P[z] ∈ C[z] th`ı P[z] = P[z]. 2+ Nˆe´u P[z] ∈ R[z] th`ı P[z] = P[z]. Gia’i. 1+ ´Ap du.ng c´ac t´ınh chˆa´t cu’a ph´ep to´an lˆa´y liˆen ho. .p ta thu du.o. .c p[Z] = a0zn + a1zn−1 + · · · + an−1z + an = a0zn + a1zn−1 + · · · + an−1z + an = a0[z]n + a1[z]n−1 + · · · + an−1z + an = P[z].
49. D- a th´u.c v`a h`am h˜u.u ty’ 2+ Gia’ su.’ P[z] ∈ R[z]. Khi d´o P[z] = a0zn + a1zn−1 + · · · + an−1z + an = a0zn + a1zn−1 + · · · + an−1z + an = a0[z]n + a1[z]n−1 + · · · + an−1z + an = a0[z]n + a1[z]n−1 + · · · + an−1z + an = P[z]. T`u. d´o c˜ung thu du.o. .c P[z] = P[z] v`ı P[z] = P[z]. V´ı du. 2. Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u a l`a nghiˆe.m bˆo.i m cu’a da th´u.c P[z] = a0zn + a1zn−1 + · · · + an−1z + an, a0 = 0 th`ı sˆo´ ph´u.c liˆen ho. .p a l`a nghiˆe.m bˆo.i m cu’a da th´u.c P[z] = a0zn + a1zn−1 + · · · + an−1z + an [go.i l`a da th´u.c liˆen ho. .p ph´u.c v´o.i da th´u.c P[z]]. Gia’i. T`u. v´ı du. 1 ta c´o P[z] = P[z]. [2.6] V`ı a l`a nghiˆe.m bˆo.i m cu’a P[z] nˆen P[z] = [z − a]m Q[z], Q[a] = 0 [2.7] trong d´o Q[z] l`a da th´u.c bˆa.c n − m. T`u. [2.6] v`a [2.7] suy ra P[z] = P[z] = [z − a]mQ[z] = [z − a]m Q[z]. [2.8] Ta c`on cˆa`n ch´u.ng minh r˘a`ng Q[a] = 0. Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u Q[a] = 0 th`ı b˘a`ng c´ach lˆa´y liˆen ho. .p ph´u.c mˆo.t lˆa`n n˜u.a ta c´o Q[a] = Q[a] = 0 ⇒ Q[a] = 0. Diˆe`u n`ay vˆo l´y. B˘a`ng c´ach d˘a.t t = z, t`u. [2.8] thu du.o. .c P[t] = [t − a]m Q[t], Q[a] = 0.
50. th´u.c 49 D˘a’ng th´u.c n`ay ch´u.ng to’ r˘a`ng t = a l`a nghiˆe.m bˆo.i m cu’a da th´u.c P[t]. V´ı du. 3. Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u a l`a nghiˆe.m bˆo.i m cu’a da th´u.c v´o.i hˆe. sˆo´ thu. .c P[z] = a0zn + a1zn−1 + · · · + an [a0 = 0] th`ı sˆo´ ph´u.c liˆen ho. .p a c˜ung l`a nghiˆe.m bˆo.i m cu’a ch´ınh da th´u.c d´o. Gia’i. T`u. v´ı du. 1, 2+ ta c´o P[z] = P[z] [2.9] v`a do a l`a nghiˆe.m bˆo.i m cu’a n´o nˆen P[z] = [z − a]m Q[z] [2.10] trong d´o Q[z] l`a da th´u.c bˆa.c n − m v`a Q[a] = 0. Ta cˆa`n ch´u.ng minh r˘a`ng P[z] = [z − a]m Q[z], Q[a] = 0. [2.11] Thˆa.t vˆa.y t`u. [2.9] v`a [2.10] ta c´o P[z] = [z − a]mQ[z] = [z − a]m · Q[z] = [z − a] m Q[z] = [z − a]m Q[z] v`ı theo [2.9] Q[z] = Q[z] ⇒ Q[z] = Q[z]. Ta c`on cˆa`n ch´u.ng minh Q[a] = 0. Thˆa.t vˆa.y v`ı Q[a] = 0 nˆen Q[a] = 0 v`a do d´o Q[a] = 0 v`ı dˆo´i v´o.i da th´u.c v´o.i hˆe. sˆo´ thu. .c th`ı Q[t] = Q[t]. V´ı du. 4. Gia’i phu.o.ng tr`ınh z3 − 4z2 + 4z − 3 = 0. Gia’i. T`u. di.nh l´y 4 suy r˘a`ng c´ac nghiˆe.m nguyˆen cu’a phu.o.ng tr`ınh v´o.i hˆe. sˆo´ nguyˆen dˆe`u l`a u.´o.c cu’a sˆo´ ha.ng tu. . do a = −3. Sˆo´ ha.ng tu. . do
51. D- a th´u.c v`a h`am h˜u.u ty’ a = −3 c´o c´ac u.´o.c l`a ±1, ±3. B˘a`ng c´ach kiˆe’m tra ta thu du.o. .c z0 = 3 l`a nghiˆe.m nguyˆen. T`u. d´o z3 − 4z2 + 4z − 3 = [z − 3][z2 − z + 1] = [z − 3][z − 1 2 + i √ 3 2 z − 1 2 − i √ 3 2 hay l`a phu.o.ng tr`ınh d˜a cho c´o ba nghiˆe.m l`a z0 = 3, z1 = 1 2 − i √ 3 2 ; z2 = 1 2 + i √ 3 2 · V´ı du. 5. Biˆe’u diˆe˜n da th´u.c P6[z] = z6 − 3z4 + 4z2 − 12 du.´o.i da.ng: 1+ t´ıch c´ac th`u.a sˆo´ tuyˆe´n t´ınh; 2+ t´ıch c´ac th`u.a sˆo´ tuyˆe´n t´ınh v´o.i tam th´u.c bˆa.c hai v´o.i hˆe. sˆo´ thu. .c. Gia’i. Ta t`ım mo.i nghiˆe.m cu’a da th´u.c P[z]. V`ı z6 − 3z4 + 4z2 − 12 = [z2 − 3][z4 + 4] nˆen r˜o r`ang l`a z1 = − √ 3, z2 = √ 3, z3 = 1 + i, z4 = 1 − i, z5 = −1 + i, z6 = −1 − i. T`u. d´o 1+ P6[z] = [z− √ 3][z+ √ 3][z−1−i][z−1+i][z+1−i][z+1+i] 2+ B˘a`ng c´ach nhˆan c´ac c˘a.p nhi. th´u.c tuyˆe´n t´ınh tu.o.ng ´u.ng v´o.i c´ac nghiˆe.m ph´u.c liˆen ho. .p v´o.i nhau ta thu du.o. .c P6[z] = [z − √ 3][z + √ 3][z2 − 2z + 2][z2 + 2z + 2]. V´ı du. 6. T`ım da th´u.c hˆe. sˆo´ thu. .c c´o lu˜y th`u.a thˆa´p nhˆa´t sao cho c´ac sˆo´ z1 = 3, z2 = 2 − i l`a nghiˆe.m cu’a n´o.
52. th´u.c 51 Gia’i. V`ı da th´u.c chı’ c´o hˆe. sˆo´ thu. .c nˆen c´ac nghiˆe.m ph´u.c xuˆa´t hiˆe.n t`u.ng c˘a.p liˆen ho. .p ph´u.c, ngh˜ıa l`a nˆe´u z2 = 2 − i l`a nghiˆe.m cu’a n´o th`ı z2 = 2 + i c˜ung l`a nghiˆe.m cu’a n´o. Do d´o P[z] = [z − 3][z − 2 + i][z − 2 − i] = z3 − 7z2 + 17z − 15. V´ı du. 7. Phˆan t´ıch da th´u.c [x + 1]n − [x − 1]n th`anh c´ac th`u.a sˆo´ tuyˆe´n t´ınh. Gia’i. Ta c´o P[x] = [x + 1]n − [x − 1]n = [xn + nxn−1 + . . . ] − [xn − nxn−1 + . . . ] = 2nxn−1 + . . . Nhu. vˆa.y P[x] l`a da th´u.c bˆa.c n − 1 v´o.i hˆe. sˆo´ cao nhˆa´t b˘a`ng 2n. Dˆo´i v´o.i da th´u.c n`ay ta d˜a biˆe´t [§1] nghiˆe.m cu’a n´o: xk = icotg kπ n , k = 1, 2, . . . , n − 1. Do d´o [x + 1]n − [x − 1]n = 2n x − icotg π n x − icotg 2π n · · · x − icotg [n − 1]π n . Khi phˆan t´ıch da th´u.c trˆen tru.`o.ng P th`anh th`u.a sˆo´ ta thu.`o.ng g˘a.p nh˜u.ng da th´u.c khˆong thˆe’ phˆan t´ıch th`anh t´ıch hai da th´u.c c´o bˆa.c thˆa´p ho.n trˆen c`ung tru.`o.ng P d´o. Nh˜u.ng da th´u.c n`ay du.o. .c go.i l`a da th´u.c bˆa´t kha’ quy. Ch˘a’ng ha.n: da th´u.c x2 − 2 l`a kha’ quy trˆen tru.`o.ng sˆo´ thu. .c v`ı: x2 − 2 = [x − √ 2][x + √ 2]
53. D- a th´u.c v`a h`am h˜u.u ty’ nhu.ng bˆa´t kha’ quy trˆen tru.`o.ng sˆo´ h˜u.u ty’. Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u x2 − 2 = [ax + b][cx + d]; a, b, c, d ∈ Q th`ı b˘a`ng c´ach d˘a.t x = − b a ta c´o b2 a2 − 2 = 0 ⇒ √ 2 = ± b a v`a √ 2 l`a sˆo´ h˜u.u ty’. Vˆo l´y. V´ı du. 8. Phˆan t´ıch da th´u.c xn − 1 th`anh t´ıch c´ac da th´u.c bˆa´t kha’ quy trˆen R. Gia’i. Dˆa`u tiˆen ta khai triˆe’n da th´u.c d˜a cho th`anh t´ıch c´ac th`u.a sˆo´ tuyˆe´n t´ınh xn − 1 = [x − ε0][x − ε1] · · · [x − εn−1], εk = cos 2kπ n + i sin 2kπ n , k = 0, n − 1 v`a t´ach ra c´ac nhi. th´u.c thu. .c. Ta c´o εk ∈ R nˆe´u sin 2kπ n = 0 ⇒ 2k ... n, 0 k < n − 1. T`u. d´o 1+ Nˆe´u n l`a sˆo´ le’ th`ı diˆe`u d´o [2k ... n] chı’ xˆa’y ra khi k = 0 [v`ı k < n] v`a khi d´o ε0 = 1. 2+ Nˆe´u n l`a sˆo´ ch˘a˜n [n = 2m] th`ı nghiˆe.m εk chı’ thu. .c khi k = 0 v`a k = m. Do d´o ε0 = 1, εm = −1. Dˆo´i v´o.i c´ac gi´a tri. k c`on la.i εk khˆong l`a sˆo´ thu. .c. Dˆo´i v´o.i c´ac gi´a tri. k n`ay ta c´o sin 2[n − k]π n = sin 2π − 2kπ n = − sin 2kπ n v`a do d´o εn−k = εk ⇒ ε1 = εn−1, ε2 = εn−2, . . .
54. th´u.c 53 M˘a.t kh´ac [x − εk][x − εk] = x2 − [εk + εk]x + εkεk = x2 − x · 2 cos 2kπ n + 1. Do d´o xn − 1 =    [x − 1] n−1 2 k=1 x2 − x · 2 cos 2kπ n + 1 nˆe´u n l`a sˆo´ le’, [x − 1][x + 1] n−2 2 k=1 x2 − x · 2 cos 2kπ n + 1 nˆe´u n l`a sˆo´ ch˘a˜n. B`AI TˆA. P 1. Ch´u.ng minh r˘a`ng sˆo´ z0 = 1 + i l`a nghiˆe.m cu’a da th´u.c P4[z] = 3z4 − 5z3 + 3z2 + 4z − 2. T`ım c´ac nghiˆe.m c`on la.i. [DS. z1 = 1 − i, z2 = −1 + √ 13 6 , z3 = −1 − √ 13 6 ] 2. Ch´u.ng minh r˘a`ng sˆo´ z0 = i l`a nghiˆe.m cu’a da th´u.c P4[z] = z4 + z3 + 2z2 + z + 1. T`ım c´ac nghiˆe.m c`on la.i. [DS. z1 = −i, z2 = −1 + √ 3i 2 , z3 = −1 − i √ 3 2 ] 3. X´ac di.nh bˆo.i cu’a nghiˆe.m z0 = 1 cu’a da th´u.c P4[z] = z4 − 5z3 + 9z2 − 7z + 2. [DS. 3] 4. X´ac di.nh bˆo.i cu’a nghiˆe.m z0 = 2 cu’a da th´u.c P5[z] = z5 − 5z4 + 7z3 − 2z2 + 4z − 8. [DS. 3]
55. D- a th´u.c v`a h`am h˜u.u ty’ 5. T`ım da th´u.c hˆe. sˆo´ thu. .c c´o lu˜y th`u.a thˆa´p nhˆa´t sao cho sˆo´ z1 = i l`a nghiˆe.m k´ep v`a z2 = −1 − i l`a nghiˆe.m do.n cu’a n´o. [DS. z6 + 2z5 + 4z4 + 4z3 + 5z2 + 2z + 2] 6. Phˆan t´ıch c´ac da th´u.c d˜a cho th`anh t´ıch c´ac th`u.a sˆo´ tuyˆe´n t´ınh 1] z3 − 6z2 + 11z − 6 [DS. [z − 1][z − 2][z − 3]] 2] 6z4 − 11z3 − z2 − 4 [DS. 6[z − 2] z + 2 3 z − 1 + i √ 3 2 z − 1 − i √ 3 2 . 3] 3z4 − 23z2 − 36 [DS. 3[z − 3][z + 3] z − i 2 √ 3 z + i 2 √ 3 ] 4] zn − 1 [DS. [z − ε0][z − ε1] · · · [z − εn−1], εk = cos 2kπ n + i sin 2kπ n , k = 0, n − 1] 5] z4 + 4 [DS. [z − 1 − i][z − 1 + i][z + 1 − i][z + 1 + i]] 6] z4 + 16 [DS. [z − √ 2[1 + i]][z − √ 2[1 − i]][z + √ 2[1 + i]][z + √ 2[1 − i]]] 7] z4 + 8z3 + 8z − 1 [DS. [z − i][z + i][z + 4 − √ 17][z + 4 + √ 17]] 8] z3 + z + 2 [DS. [z + 1] z − 1 + i √ 7 2 z − 1 − i √ 7 2 ] 7. Phˆan t´ıch c´ac da th´u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ thu. .c th`anh c´ac da th´u.c bˆa´t kha’ quy trˆen c`ung tru.`o.ng d´o. 1] x3 + x + 2 [DS. [x + 1][x2 − x + 2]] 2] x4 + 16 [DS. [x2 − 2x √ 2 + 4][x2 + 2 √ 2x + 4]] 3] x4 + 8x3 + 8x − 1 [DS. [x2 + 1][x + 4 − √ 17][x + 4 + √ 17]] 4] x4 + 2x3 + 3x2 + 2x − 3 [DS. x − √ 5 − 1 2 x + √ 5 + 1 2 [x2 + x + 3]] 5] x10 − 2x5 + 2 [DS. 4 k=0 x2 − 2 10 √ 2 cos 8k + 1 20 π + 5 √ 2 ] 6] x4 + x3 + x2 + x + 1
56. h˜u.u ty’ 55 [DS. x2 − √ 5 − 1 2 x + 1 x2 + √ 5 + 1 2 x + 1 ] Chı’ dˆa˜n. D˘a.t x2 l`am th`u.a sˆo´ chung rˆo`i d`ung ph´ep dˆo’i biˆe´n y = x + 1 x 7] x2n − 1 [DS. [x2 − 1] n−1 k=1 [x2 − 2x cos kπ n + 1]] 8] x2n+1 − 1 [DS. [x − 1] n k=1 x2 − 2x cos 2kπ 2n + 1 + 1 ] 2.2 Phˆan th´u.c h˜u.u ty’ Mˆo.t h`am sˆo´ x´ac di.nh du.´o.i da.ng thu.o.ng cu’a hai da th´u.c da.i sˆo´ ta.i nh˜u.ng diˆe’m m`a mˆa˜u sˆo´ khˆong triˆe.t tiˆeu go.i l`a phˆan th´u.c h˜u.u ty’. R[x] = P[x] Q[x] , Q[x] = 0. Nˆe´u degP < degQ th`ı R[x] go.i l`a phˆan th´u.c h˜u.u ty’ thu. .c su. .. Nˆe´u degP degQ th`ı R[x] du.o. .c go.i l`a phˆan th´u.c h˜u.u ty’ khˆong thu. .c su. .. Nˆe´u degP degQ th`ı b˘a`ng c´ach thu. .c hiˆe.n ph´ep chia P[x] cho Q[x] ta thu du.o. .c P[x] Q[x] = W[x] + P1[x] Q[x] [2.12] trong d´o W[x] l`a da th´u.c, c`on P1[x] Q[x] l`a phˆan th´u.c h˜u.u ty’ thu. .c su. .. Vˆe` sau ta chı’ x´et c´ac phˆan th´u.c h˜u.u ty’ l`a thu.o.ng cu’a hai da th´u.c da.i sˆo´ v´o.i hˆe. sˆo´ thu. .c [phˆan th´u.c nhu. vˆa.y du.o. .c go.i l`a phˆan th´u.c h˜u.u ty’ v´o.i hˆe. sˆo´ thu. .c]. Phˆan th´u.c thu. .c do.n gia’n nhˆa´t [c`on go.i l`a phˆan th´u.c co. ba’n] l`a nh˜u.ng phˆan th´u.c du.o. .c biˆe’u diˆe˜n tˆo´i gia’n bo.’ i mˆo.t trong hai da.ng sau dˆay I. A [x − α]m ; II. Bx + C [x2 + px + q]m ; A, B, C, p, q ∈ R.
57. D- a th´u.c v`a h`am h˜u.u ty’ T`u. di.nh l´y Gauss v`a c´ac hˆe. qua’ cu’a n´o ta c´o D- i.nh l´y. Mo. i phˆan th´u.c h˜u.u ty’ thu. .c su. . P[x] Q[x] hˆe. sˆo´ thu. .c v´o.i mˆa˜u sˆo´ c´o da.ng Q[x] = [x − α]r [x − β]s · · · [x2 + p1x + q1]m × × [x2 + p2x + q2] · · · [x2 + psx + qs]n [2.13] dˆe`u c´o thˆe’ biˆe’u diˆe˜n du.´o.i da. ng tˆo’ng h˜u.u ha. n c´ac phˆan th´u.c co. ba’n da. ng I v`a II P[x] Q[x] = A [x − α]r + B [x − α]r−1 + · · · + C x − α + + D [x − β]s + E [x − β]s−1 + · · · + F x − β + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + Gx + H [x2 + p1x + q1]m + Ix + H [x2 + p1x + q1]m−1 + · · · + Lx + M x2 + p1x + q1 + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + Nx + P [x2 + psx + qs]n + Qx + R [x2 + psx + qs]n−1 + · · · + Sx + T x2 + psx + qs , [2.14] trong d´o A, B, . . . l`a nh˜u.ng h˘a`ng sˆo´ thu. .c. Nhu. vˆa.y c´ac phˆan th´u.c co. ba’n o.’ vˆe´ pha’i cu’a [2.14] s˘a´p xˆe´p theo t`u.ng nh´om tu.o.ng ´u.ng v´o.i c´ac th`u.a sˆo´ o.’ vˆe´ pha’i cu’a [2.13], trong d´o sˆo´ sˆo´ ha.ng cu’a mˆo˜i nh´om b˘a`ng sˆo´ m˜u cu’a lu˜y th`u.a cu’a th`u.a sˆo´ tu.o.ng ´u.ng. Cˆa`n lu.u ´y r˘a`ng khi khai triˆe’n phˆan th´u.c cu. thˆe’ theo cˆong th´u.c [2.14] mˆo.t sˆo´ hˆe. sˆo´ c´o thˆe’ b˘a`ng 0 v`a do d´o sˆo´ sˆo´ ha.ng trong mˆo˜i nh´om c´o thˆe’ b´e ho.n sˆo´ m˜u cu’a th`u.a sˆo´ tu.o.ng ´u.ng. Trong thu. .c h`anh, dˆe’ t´ınh c´ac hˆe. sˆo´ A, B, . . . ta s˜e su.’ du.ng c´ac phu.o.ng ph´ap sau.
58. h˜u.u ty’ 57 I. Gia’ su.’ da th´u.c Q[x] chı’ c´o c´ac nghiˆe.m thu. .c do.n, t´u.c l`a Q[x] = n j=1 [x − aj], ai = aj ∀ i = j. Khi d´o P[x] Q[x] = n j=1 Aj x − aj · [2.15] Dˆe’ x´ac di.nh Ak ta nhˆan hai vˆe´ cu’a [2.15] v´o.i x − ak v`a thu du.o. .c P[x] n j=1 j=k [x − aj] = Ak + A1 x − a1 + · · · + Ak−1 x − ak−1 + Ak+1 x − ak+1 + · · · + An x − an [x − ak]. [2.16] Thay x = ak v`ao [2.16] ta c´o Ak = P[ak] n j=1 j=k [ak − aj] · [2.17] Nhu. vˆa.y dˆe’ t´ınh hˆe. sˆo´ Ak cu’a phˆan th´u.c Ak x − ak ta x´oa th`u.a sˆo´ [x − ak] kho’i mˆa˜u sˆo´ cu’a P[x] Q[x] v`a tiˆe´p theo l`a thay x = ak v`ao biˆe’u th´u.c c`on la.i. V`ı vˆa.y phu.o.ng ph´ap n`ay du.o. .c go.i l`a phu.o.ng ph´ap x´oa. II. Nˆe´u Q[x] c´o nghiˆe.m bˆo.i th`ı cˆong th´u.c [2.17] khˆong c`on su.’ du.ng du.o. .c. Gia’ su.’ Q[x] = gm , trong d´o ho˘a.c g = x − α ho˘a.c g l`a t´ıch c´ac th`u.a sˆo´ l`a tam th´u.c bˆa.c hai v´o.i hai biˆe.t sˆo´ ˆam. Trong tru.`o.ng ho. .p n`ay ta cˆa`n khai triˆe’n P[x] theo c´ac lu˜y th`u.a cu’a g: P[x] = a0 + a1g + a2g2 + . . .
59. D- a th´u.c v`a h`am h˜u.u ty’ trong d´o a0, a1, . . . l`a h˘a`ng sˆo´ nˆe´u g = x − α v`a l`a da th´u.c bˆa.c khˆong vu.o. .t qu´a 1 trong tru.`o.ng ho. .p th´u. hai [trong tru.`o.ng ho. .p n`ay ta cˆa`n thu. .c hiˆe.n theo quy t˘a´c ph´ep chia c´o du.]. III. Dˆo´i v´o.i tru.`o.ng ho. .p tˆo’ng qu´at, ta nhˆan hai vˆe´ cu’a [2.14] v´o.i da th´u.c Q[z] v`a s˘a´p xˆe´p c´ac sˆo´ ha.ng o.’ vˆe´ pha’i d˘a’ng th´u.c thu du.o. .c th`anh da th´u.c v`a thu du.o. .c dˆo`ng nhˆa´t th´u.c gi˜u.a hai da th´u.c: mˆo.t da th´u.c l`a P[x], c`on da th´u.c kia l`a da th´u.c v´o.i hˆe. sˆo´ A, B, . . . chu.a du.o. .c x´ac di.nh. Cˆan b˘a`ng c´ac hˆe. sˆo´ cu’a c´ac lu˜y th`u.a c`ung bˆa.c ta thu du.o. .c hˆe. phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh v´o.i ˆa’n l`a A, B, . . .. Gia’i hˆe. d´o, ta t`ım du.o. .c c´ac hˆe. sˆo´ A, B, . . . Phu.o.ng ph´ap n`ay go.i l`a phu.o.ng ph´ap hˆe. sˆo´ bˆa´t di.nh. Ta c´o thˆe’ x´ac di.nh hˆe. sˆo´ b˘a`ng c´ach kh´ac l`a cho biˆe´n x trong dˆo`ng nhˆa´t th´u.c nh˜u.ng tri. sˆo´ t`uy ´y [ch˘a’ng ha.n c´ac gi´a tri. d´o l`a nghiˆe.m thu. .c cu’a mˆa˜u sˆo´]. C´AC V´I DU. V´ı du. 1. Khai triˆe’n c´ac phˆan th´u.c h˜u.u ty’ sau th`anh tˆo’ng c´ac phˆan th´u.c co. ba’n 1] 2x3 + 4x2 + x + 2 [x − 1]2[x2 + x + 1] , 2] x2 − 2x [x − 1]2[x2 + 1]2 · Gia’i. 1] V`ı tam th´u.c bˆa.c hai x2 +x+1 khˆong c´o nghiˆe.m thu. .c nˆen R1[x] = 2x3 + 4x2 + x + 2 [x − 1]2[x2 + x + 1] = B1 [x − 1] + B2 [x − 1]2 + Mx + N x2 + x + 1 · Quy dˆo`ng mˆa˜u sˆo´ ta c´o 2x3 + 4x2 + x + 2 [x − 1]2[x2 + x + 1] = B1[x3 − 1] + B2[x2 + x + 1] + [Mx + N][x2 − 2x + 1] [x − 1]2[x2 + x + 1] ·
60. h˜u.u ty’ 59 Cˆan b˘a`ng hˆe. sˆo´ cu’a x0 , x1 , x2 v`a x3 trong c´ac tu.’ sˆo´ ta thu du.o. .c hˆe. phu.o.ng tr`ınh x3 B1 + B2 + N = 2, x2 B2 + M − 2N = 1, x1 B2 + N − 2M = 4, x0 B1 + M = 2. Gia’i hˆe. phu.o.ng tr`ınh ta c´o B1 = 2, B2 = 3, M = 0, N = 1. T`u. d´o R1[x] = 2 x − 1 + 3 [x − 1]2 + 1 x2 + x + 1 · 2] Ta c´o R2 = x2 − 2x [x − 1]2[x2 + 1]2 = A1 x − 1 + A2 [x − 1]2 + M1x + N1 x2 + 1 + M2x + N2 [x2 + 1]2 · Quy dˆo`ng mˆa˜u sˆo´ v`a cˆan b˘a`ng c´ac tu.’ sˆo´ ta c´o x2 − 2x = A1[x − 1][x2 + 1]2 + A2[x2 + 1]2 + [M1x + N1][x − 1]2 [x2 + 1] + [M2x + N2][x − 1]2 . So s´anh c´ac hˆe. sˆo´ cu’a c´ac lu˜y th`u.a c`ung bˆa.c o.’ hai vˆe´ ta thu du.o. .c x5 A1 + M1 = 0, x4 − A1 + A2 − 2M1 + N1 = 0, x3 2A1 + 2M1 − 2N1 + M2 = 0, x2 − 2A1 + 2A2 − 2M1 + 2N1 + 2N1 − 2M2 + N2 = 1, x1 A1 + M1 − 2N1 + M2 − 2N2 = −2, x0 − A1 + A2 + N1 + N2 = 0. T`u. d´o suy ra A1 = 1 2 , A2 = − 1 4 , M1 = − 1 2 , N1 = − 1 4 , M2 = − 1 2 , N2 = 1
61. D- a th´u.c v`a h`am h˜u.u ty’ v`a do vˆa.y x2 − 2x [x − 1]2[x2 + 1]2 = 1 2 x − 1 + − 1 4 [x − 1]2 + − 1 2 x − 1 4 x2 + 1 + − 1 2 x + 1 [x2 + 1]2 · V´ı du. 2. C˜ung ho’i nhu. trˆen 1] R1[x] = x4 x4 + 5x2 + 1 ; 2] R2[x] = 1 x4 + 1 · Gia’i. 1] R1[x] l`a phˆan th´u.c h˜u.u ty’ khˆong thu. .c su. . nˆen dˆa`u tiˆen cˆa`n thu. .c hiˆe.n ph´ep chia: x4 x4 + 5x2 + 4 = 1 − 5x2 + 4 x4 + 5x2 + 4 = 1 + R3[x]. Ch´u ´y r˘a`ng x4 + 5x2 + 4 = [x2 + 1][x2 + 4], do d´o R3 = − 5x2 + 4 [x2 + 1][x2 + 4] = M1x + N1 x2 + 1 + M2x + N2 x2 + 4 · Quy dˆo`ng mˆa˜u sˆo´ v`a so s´anh hai tu.’ sˆo´ ta thu du.o. .c −5x2 − 4 = [M1x + N1][x2 + 4] + [M2x + N2][x2 + 1] v`a tiˆe´p theo l`a cˆan b˘a`ng c´ac hˆe. sˆo´ cu’a c´ac lu˜y th`u.a c`ung bˆa.c cu’a x ta thu du.o. .c hˆe. phu.o.ng tr`ınh x3 M1 + M2 = 0, x2 N1 + N2 = −5, ⇒ M1 = M2 = 0, N1 = 1 3 , N2 = − 16 3 · x1 4M1 + N − 2 = 0, x0 4N1 + N − 2 = −4 Vˆa.y R1[x] = 1 + 1 3 · 1 x2 + 1 − 16 3 · 1 x2 + 4 ·
62. h˜u.u ty’ 61 2] V`ı x4 + 1 = [x2 + 1]2 − 2x2 = [x2 + √ 2x + 1][x2 − √ 2x + 1] nˆen R2 = 1 x4 + 1 = M1x + N1 x2 + √ 2x + 1 + M2x + N2 x2 − √ 2x + 1 · T`u. dˆo`ng nhˆa´t th´u.c 1 ≡ [M1x + N1][x2 − √ 2x + 1] + [M + 2x + N2][x2 + √ 2x + 1], tiˆe´n h`anh tu.o.ng tu. . nhu. trˆen ta c´o M1 = −M2 = 1 2 √ 2 , N1 = N2 = 1 2 · Do d´o 1 x4 + 1 = 1 2 √ 2 x + √ 2 x2 + √ 2x + 1 − 1 2 √ 2 x − √ 2 x2 − √ 2x + 1 · V´ı du. 3. T`ım khai triˆe’n phˆan th´u.c 1] R1[x] = x + 1 [x − 1][x − 2]x ; 2] R2[x] = x2 + 2x + 6 [x − 1][x − 2][x − 4] · Gia’i. 1] V`ı mˆa˜u sˆo´ chı’ c´o nghiˆe.m do.n 0, 1, 2 nˆen x + 1 x[x − 1][x − 2] = A1 x + A2 x − 1 + A2 x − 2 · ´Ap du.ng cˆong th´u.c [2.17] ta du.o. .c A1 = x + 1 x=0 [x − 1][x − 2] x=0 = 1 2 ; A2 = x + 1 x[x − 2] x=1 = −2, A3 = x + 1 x[x − 1] x=2 = 3 2 · Vˆa.y R1[x] = 1 2x + −2 x − 1 + 3 2[x − 2] ·
63. D- a th´u.c v`a h`am h˜u.u ty’ 2] Tu.o.ng tu. . ta c´o R2[x] = x2 + 2x + 6 [x − 1][x − 2][x − 4] = A1 x − 1 + B x − 2 + C x − 3 V`ı mˆa˜u sˆo´ cu’a R2[x] chı’ c´o nghiˆe.m do.n nˆen A = x2 + 2x + 6 [x − 2][x − 4] x=1 = 3, B = x2 + 2x + 6 [x − 1][x − 4] x=2 = −7, C = x2 + 2x + 6 [x − 1][x − 2] x=4 = 5. Do d´o R2[x] = 3 x − 1 − 7 x − 2 + 5 x − 4 · Nhˆa. n x´et. Trong mˆo.t sˆo´ tru.`o.ng ho. .p d˘a.c biˆe.t, viˆe.c khai triˆe’n phˆan th´u.c h˜u.u ty’ c´o thˆe’ thu du.o. .c do.n gia’n ho.n v`a nhanh ho.n. Ch˘a’ng ha.n, dˆe’ khai triˆe’n phˆan th´u.c 1 x2[1 + x2]2 th`anh tˆo’ng c´ac phˆan th´u.c co. ba’n ta c´o thˆe’ thu. .c hiˆe.n nhu. sau: 1 x2[x2 + 1]2 = [1 + x2 ] − x2 x2[x2 + 1]2 = 1 x2[x2 + 1] − 1 [x2 + 1]2 = [1 + x2 ] − x2 x2[x2 + 1] − 1 [x2 + 1]2 = 1 x2 − 1 x2 + 1 − 1 [x2 + 1]2 · V´ı du. 4. Khai triˆe’n c´ac phˆan th´u.c h˜u.u ty’ sau: 1] x4 + 5x3 + 5x2 − 3x + 1 [x + 2]5 ; 2] x5 + 3x4 + x3 − 2x2 + 2x + 3 [x2 + x + 1]3 · Gia’i. 1] D˘a.t g = [x + 2]. Khi d´o b˘a`ng c´ach khai triˆe’n tu.’ sˆo´ theo c´ac lu˜y th`u.a cu’a x+2 b˘a`ng c´ach ´ap du.ng cˆong th´u.c nhi. th´u.c Newton
64. h˜u.u ty’ 63 ta thu du.o. .c x4 + 5x3 + 5x2 − 3x + 1 [x + 2]5 = = [[x + 2] − 2]4 + 5[[x + 2] − 2]3 + 5[[x + 2] − 2]2 − 3[[x + 2] − 2]] + 1 [x + 2]5 = 3 + 5g − g2 − 3g3 + g4 g5 = 3 g5 + 5 g4 − 1 g3 − 3 g2 + 1 g = 3 [x + 2]5 + 5 [x + 2]4 − 1 [x + 2]3 − 3 [x + 2]3 + 1 x + 2 · 2] D˘a.t g = x2 + x + 1. D´o l`a tam th´u.c bˆa.c hai khˆong c´o nghiˆe.m thu. .c. ´Ap du.ng thuˆa.t to´an chia c´o du. ta c´o P[x] = x5 + 3x4 + x3 − 2x2 + 2x + 3 = [x2 + x + 1][x3 + 2x2 − 2x − 2] + 6x + 5 t´u.c l`a P = g · q1 + r1, q1 = x3 + 2x2 − 2x − 2, r1 = 6x + 5. Ta la.i chia q1 cho g v`a thu du.o. .c q1 = gq2 + r2, degq2 < deg[g] q2 = x + 1, r2 = −4x − 3. Nhu. vˆa.y P = gq1 + r1 = r1 + g[r2 + gq2] = r1 + r2g + q2g2 . T`u. d´o suy ra P g3 = r1 g3 + r2 g3 + q2 · 1 g = 6x + 5 [x2 + x + 1]3 − 4x + 3 [x2 + x + 1]2 + x + 1 x2 + x + 1 ·
65. D- a th´u.c v`a h`am h˜u.u ty’ B`AI TˆA. P Trong c´ac b`ai to´an sau dˆay, h˜ay khai triˆe’n phˆan th´u.c h˜u.u ty’ d˜a cho th`anh tˆo’ng h˜u.u ha.n c´ac phˆan th´u.c co. ba’n thu. .c. 1. 2x − 3 x[x2 − 1][x2 − 4] [DS. − 3 4x + 1 6[x − 1] + 5 6[x + 1] + 1 24[x − 2] − 7 24[x + 2] ] 2. x + 1 x3 − 1 [DS. 2 3[x − 1] − 2x + 1 3[x2 + x + 1] ] 3. 1 x3[x − 1]4 [DS. 10 x + 4 x2 + 1 x3 − 10 x − 1 + 6 [x − 1]2 − 3 [x − 1]3 + 1 [x − 1]4 ] 4. 1 [x4 − 1]2 [DS. − 3 16[x − 1] + 1 16[x − 1]2 + 3 16[x + 1] + 1 16[x + 1]2 + 1 4[x2 + 1] + 1 4[x2 + 1]2 ] 5. 2x − 1 [x + 1]3[x2 + x + 1] [DS. 2 x + 1 − 1 [x + 1]2 − 3 [x + 1]3 − 2x − 1 x2 + x + 1 ] 6. 1 x[x2 + 1]3 [DS. 1 x + x [x2 + 1]3 − x [x2 + 1]2 − x x2 + 1 ] 7. x2 + 3x + 1 x4[x2 + 1] [DS. 1 x4 + 3 x3 − 3 x + 3x x2 + 1 ] 8. x5 + 3x3 − x2 + 4x − 2 [x2 + 1]3 [DS. 2x − 1 [x2 + 1]3 + x − 1 [x2 + 1]2 + x x2 + 1 ] 9. x5 + 2x3 − 6x2 − 3x − 9 [x2 + x + 2]3 [DS. 1 [x2 + x + 2]3 + x − 1 [x2 + x + 2]2 + x − 2 x2 + x + 2 ] 10. 2x − 1 x[x + 1]2[x2 + x + 1]2
66. h˜u.u ty’ 65 [DS. − 1 x + 7 x + 1 + 3 [x + 1]2 − 6x + 2 x2 + x + 1 − 3x + 2 [x2 + x + 1]2 ] 11. x2 [x2 + 1][x2 + x + 1]2 [DS. 1 x2 + 1 + 1 x2 + x + 1 − x [x2 + x + 1]2 ] 12. 1 x5 − x4 + x3 − x2 + x − 1 [DS. 1 3[x − 1] − 1 6 2x + 1 x2 + x + 1 − 1 2[x2 − x + 1] ]
67. D- i.nh th´u.c 3.1 Ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.1.1 D- i.nh ngh˜ıa ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . 67 3.1.2 C´ac ph´ep to´an tuyˆe´n t´ınh trˆen ma trˆa.n . . 69 3.1.3 Ph´ep nhˆan c´ac ma trˆa.n . . . . . . . . . . . 71 3.1.4 Ph´ep chuyˆe’n vi. ma trˆa.n . . . . . . . . . . . 72 3.2 D- i.nh th´u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.2.1 Nghi.ch thˆe´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.2.2 D- i.nh th´u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.2.3 T´ınh chˆa´t cu’a di.nh th´u.c . . . . . . . . . . . 88 3.2.4 Phu.o.ng ph´ap t´ınh di.nh th´u.c . . . . . . . . 89 3.3 Ha.ng cu’a ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.3.1 D- i.nh ngh˜ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.3.2 Phu.o.ng ph´ap t`ım ha.ng cu’a ma trˆa.n . . . . 109 3.4 Ma trˆa.n nghi.ch da’o . . . . . . . . . . . . . . 118 3.4.1 D- i.nh ngh˜ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
68. 67 3.4.2 Phu.o.ng ph´ap t`ım ma trˆa.n nghi.ch da’o . . . 119 3.1 Ma trˆa.n Gia’ su.’ P l`a tru.`o.ng sˆo´ n`ao d´o [P = R, C]. 3.1.1 D- i.nh ngh˜ıa ma trˆa.n Ta x´et ba’ng h`ınh ch˜u. nhˆa.t lˆa.p nˆen t`u. m × n sˆo´ cu’a P: a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... ... am1 am2 . . . amn Ba’ng sˆo´ n`ay du.o. .c go.i l`a ma trˆa.n [hay ch´ınh x´ac ho.n: ma trˆa.n sˆo´] k´ıch thu.´o.c m × n. C´ac sˆo´ aij, i = 1, m, j = 1, n du.o. .c go.i l`a phˆa`n tu.’ cu’a ma trˆa.n, trong d´o i chı’ sˆo´ hiˆe.u h`ang, j chı’ sˆo´ hiˆe.u cˆo.t cu’a ma trˆa.n. K´y hiˆe.u: c´o thˆe’ d`ung mˆo.t trong c´ac k´y hiˆe.u A =       a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... ... am1 am2 . . . amn       , hay       a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... ... am1 am2 . . . amn       hay a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... ... am1 am2 . . . amn
69. Ma trˆa.n. D- i.nh th´u.c hay ng˘a´n go.n ho.n A = aij m×n = aij m×n = aij m×n . Tˆa.p ho. .p mo.i [m × n]-ma trˆa.n du.o. .c k´y hiˆe.u l`a M[m × n]. Nˆe´u m = n th`ı ma trˆa.n A = aij m×n du.o. .c go.i l`a ma trˆa.n vuˆong cˆa´p n [thu.`o.ng k´y hiˆe.u: A = aij n×n = aij n 1 ]. Dˆo´i v´o.i ma trˆa.n vuˆong A = aij n 1 c´ac phˆa`n tu.’ aii, i = 1, n du.o. .c go.i l`a nh˜u.ng phˆa`n tu.’ du.`o.ng ch´eo. C´ac phˆa`n tu.’ n`ay lˆa.p th`anh du.`o.ng ch´eo ch´ınh cu’a ma trˆa.n vuˆong. Ma trˆa.n vuˆong m`a mo.i phˆa`n tu.’ khˆong n˘a`m trˆen du.`o.ng ch´eo ch´ınh dˆe`u b˘a`ng 0 [t´u.c l`a aij = 0 ∀ i = j] go.i l`a ma trˆa.n du.`o.ng ch´eo: A =          d1 d2 ... ... dn          = diag[d1 d2 . . . dn]. Nˆe´u trong ma trˆa.n du.`o.ng ch´eo A mo.i phˆa`n tu.’ d1 = d2 = · · · = dn = 1 th`ı ma trˆa.n d´o du.o. .c go.i l`a ma trˆa.n do.n vi. cˆa´p n v`a k´y hiˆe.u: En = E =          1 1 ... ... 1          . Nhu. vˆa.y En = δij n 1 , trong d´o δij =    0 nˆe´u i = j 1 nˆe´u i = j.
70. 69 Sau c`ung, [m × n]-ma trˆa.n da.ng Om×n =       0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 ... ... ... ... 0 0 . . . 0       go.i l`a ma trˆa.n - khˆong k´ıch thu.´o.c m × n. Nˆe´u m = n th`ı k´y hiˆe.u On hay On 1 . Nhˆa. n x´et. 1] Ta nhˆa´n ma.nh: ma trˆa.n A = aij m×n khˆong pha’i l`a mˆo.t sˆo´, n´o l`a mˆo.t Ba’ng c´ac sˆo´. 2] Ma trˆa.n k´ıch thu.´o.c [1 × n] go.i l`a ma trˆa.n h`ang a1, a2, . . . , an c`on ma trˆa.n [m × 1] go.i l`a ma trˆa.n cˆo.t       a1 a2 ... am       3.1.2 C´ac ph´ep to´an tuyˆe´n t´ınh trˆen ma trˆa.n Gia’ su.’ mo.i ma trˆa.n du.o. .c x´et l`a trˆen c`ung mˆo.t tru.`o.ng P [= R, C]. C´ac ph´ep to´an tuyˆe´n t´ınh trˆen tˆa.p ho. .p c´ac ma trˆa.n l`a ph´ep cˆo.ng c´ac ma trˆa.n [chı’ dˆo´i v´o.i c´ac ma trˆa. n c`ung k´ıch thu.´o.c!] v`a ph´ep nhˆan ma trˆa.n v´o.i mˆo.t sˆo´ v`a ch´ung du.o. .c di.nh ngh˜ıa nh`o. c´ac ph´ep to´an trˆen c´ac phˆa`n tu.’ cu’a ch´ung. 1. Cho A = aij m×n , B = bij m×n . Ma trˆa.n C = cij m×n du.o. .c go.i l`a tˆo’ng cu’a A v`a B nˆe´u cij = aij + bij ∀ i = 1, m, ∀ j = 1, n
71. Ma trˆa.n. D- i.nh th´u.c v`a k´y hiˆe.u C = A + B [cij] = [aij + bij], i = 1, m, j = 1, n . 2. Gia’ su.’ A = aij m×n v`a λ ∈ P. Ma trˆa.n C = cij m×n du.o. .c go.i l`a t´ıch cu’a ma trˆa.n A v´o.i sˆo´ λ nˆe´u cij = λaij ∀ i = 1, m, ∀ j = 1, n v`a k´y hiˆe.u C = λA λA = λaij m×n ]. Tru.`o.ng ho. .p d˘a.c biˆe.t khi λ = −1 ta viˆe´t [−1]A = −A v`a go.i −A l`a ma trˆa.n dˆo´i cu’a ma trˆa.n A. C´ac ph´ep to´an tuyˆe´n t´ınh trˆen tˆa.p ho. .p ma trˆa.n M[m × n] c´o c´ac t´ınh chˆa´t sau dˆay. Gia’ su.’ A, B, C ∈ M[m × n] v`a α, β ∈ P. Khi d´o I. A + B = B + A [luˆa.t giao ho´an]. II. A + [B + C] = [A + B] + C [luˆa.t kˆe´t ho. .p]. III. A + Om×n = A. IV. A + [−A] = Om×n. V. 1 · A = A. VI. α[βA] = [αβ]A - luˆa.t kˆe´t ho. .p dˆo´i v´o.i ph´ep nhˆan c´ac sˆo´. VII. α[A + B] = αA + αB - luˆa.t phˆan bˆo´ cu’a ph´ep nhˆan v´o.i mˆo.t sˆo´ dˆo´i v´o.i ph´ep cˆo.ng ma trˆa.n. VIII. [α + β]A = αA + βA - luˆa.t phˆan bˆo´ cu’a ph´ep nhˆan v´o.i ma trˆa.n dˆo´i v´o.i ph´ep cˆo.ng c´ac sˆo´. Hiˆe.u c´ac ma trˆa.n A − B c´o thˆe’ di.nh ngh˜ıa nhu. sau A − B def = A + [−B].
72. 71 3.1.3 Ph´ep nhˆan c´ac ma trˆa.n Ma trˆa.n A du.o. .c go.i l`a tu.o.ng th´ıch v´o.i ma trˆa.n B nˆe´u sˆo´ cˆo.t cu’a ma trˆa.n A b˘a`ng sˆo´ h`ang cu’a ma trˆa.n B [t`u. su. . tu.o.ng th´ıch cu’a A v´o.i B n´oi chung khˆong suy ra du.o. .c r˘a`ng ma trˆa.n B tu.o.ng th´ıch v´o.i ma trˆa.n A]. Cho ma trˆa.n A = aij m×n v`a B = bij n×p . Ma trˆa.n C = cij m×p du.o. .c go.i l`a t´ıch cu’a ma trˆa.n A v´o.i ma trˆa.n B nˆe´u cij = n s=1 aisbsj. [3.1] K´y hiˆe.u C = AB v`a n´oi r˘a`ng “nhˆan bˆen pha’i ma trˆa.n A v´o.i ma trˆa.n B” hay “nhˆan bˆen tr´ai ma trˆa.n B v´o.i ma trˆa.n A”. T`u. [3.1] suy ra quy t˘a´c t`ım c´ac sˆo´ ha.ng cu’a t´ıch c´ac ma trˆa.n: phˆa`n tu.’ cij d´u.ng o.’ vi. tr´ı giao cu’a h`ang th´u. i v`a cˆo.t th´u. j cu’a ma trˆa.n C = AB b˘a`ng tˆo’ng c´ac t´ıch cu’a c´ac phˆa`n tu.’ h`ang th´u. i cu’a ma trˆa.n A nhˆan v´o.i c´ac phˆa`n tu.’ tu.o.ng ´u.ng cu’a cˆo.t th´u. j cu’a ma trˆa.n B.         a11 a12 . . . a1n . . . . . . . . . . . . ai1 ai2 . . . ain . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . amn         ×     b11 ... bn1     bij ... bij     b1p ... bnp     =     c11 ... c1p . . . cij . . . cm1 ... cmp     Ch´u ´y. 1] N´oi chung ph´ep nhˆan ma trˆa.n khˆong c´o t´ınh chˆa´t giao ho´an. 2] T´ıch hai ma trˆa.n kh´ac 0 c´o thˆe’ b˘a`ng ma trˆa.n khˆong. 3] V´o.i diˆe`u kiˆe.n c´ac ph´ep to´an du.o. .c viˆe´t ra c´o ngh˜ıa, ph´ep nhˆan ma trˆa.n c´o c´ac t´ınh chˆa´t sau I. [AB]C = A[BC] - luˆa.t kˆe´t ho. .p. II. α[AB] = [αA]B = A[αB], α ∈ P. III. [A + B]C = AC + BC [luˆa.t phˆan bˆo´ ph´ep nhˆan bˆen pha’i
73. Ma trˆa.n. D- i.nh th´u.c dˆo´i v´o.i ph´ep cˆo.ng ma trˆa.n]. IV. C[A + B] = CA + CB [luˆa.t phˆan bˆo´ ph´ep nhˆan bˆen tr´ai dˆo´i v´o.i ph´ep cˆo.ng ma trˆa.n]. 3.1.4 Ph´ep chuyˆe’n vi. ma trˆa.n Ph´ep to´an trˆen c´ac ma trˆa.n m`a trong d´o c´ac h`ang chuyˆe’n th`anh c´ac cˆo.t c`on c´ac cˆo.t chuyˆe’n th`anh c´ac h`ang du.o. .c go.i l`a ph´ep chuyˆe’n vi. ma trˆa.n. Cho ma trˆa.n A = aij m×n . Ma trˆa.n thu du.o. .c t`u. ma trˆa.n A b˘a`ng ph´ep chuyˆe’n vi. ma trˆa.n du.o. .c go.i l`a ma trˆa. n chuyˆe’n vi. dˆo´i v´o.i ma trˆa.n A v`a du.o. .c k´y hiˆe.u l`a AT . Nhu. vˆa.y: AT l`a [n × m]-ma trˆa.n. Ma trˆa.n vuˆong du.o. .c go.i l`a ma trˆa. n dˆo´i x´u.ng nˆe´u AT = A v`a du.o. .c go.i l`a ma trˆa. n pha’n x´u.ng nˆe´u AT = −A. Nhu. vˆa.y nˆe´u A = aij n 1 l`a ma trˆa.n dˆo´i x´u.ng th`ı aij = aji ∀ i, j = 1, n v`a nˆe´u A pha’n x´u.ng th`ı aij = −aji. Do d´o c´ac phˆa`n tu.’ trˆen du.`o.ng ch´eo ch´ınh cu’a ma trˆa.n pha’n x´u.ng l`a b˘a`ng 0. C´AC V´I DU. V´ı du. 1. 1] Cˆo.ng c´ac ma trˆa.n 1 2 3 4 v`a 5 6 7 8 . 2] Nhˆan ma trˆa.n A = −1 2 −1 4 0 1 v´o.i sˆo´ λ = 3. Gia’i. 1] Hai ma trˆa.n d˜a cho c´o c`ung k´ıch thu.´o.c nˆen c´o thˆe’ cˆo.ng v´o.i nhau. Theo di.nh ngh˜ıa ph´ep cˆo.ng c´ac ma trˆa.n ta c´o 1 2 3 4 + 5 6 7 8 = 1 + 5 2 + 6 3 + 7 4 + 8 = 6 8 10 12 . 2] λA = 3 · −1 2 −1 4 0 1 = −1 · 3 2 · 3 −1 · 3 4 · 3 0 · 3 1 · 3 =
74. 73 −3 6 −3 12 0 3 . V´ı du. 2. Trong tru.`o.ng ho. .p n`ao th`ı: 1] c´o thˆe’ nhˆan bˆen pha’i mˆo.t ma trˆa.n h`ang v´o.i mˆo.t ma trˆa.n cˆo.t ? 2] c´o thˆe’ nhˆan bˆen pha’i mˆo.t ma trˆa.n cˆo.t v´o.i mˆo.t ma trˆa.n h`ang ? Gia’i. 1] Ma trˆa.n h`ang l`a ma trˆa.n k´ıch thu.´o.c [1 × n] c`on ma trˆa.n cˆo.t l`a ma trˆa.n k´ıch thu.´o.c [m × 1]. Ph´ep nhˆan ma trˆa.n h`ang [1 × n] v´o.i ma trˆa.n cˆo.t [m × 1] chı’ c´o thˆe’ nˆe´u n = m: 1 × n · n × 1 = 1 × 1 t´u.c l`a kˆe´t qua’ ph´ep nhˆan l`a mˆo.t sˆo´, cu. thˆe’ l`a a1 a2 . . . an       b1 b2 ... bn       = a1b1 + a2b2 + · · · + anbn = c. 2] Ma trˆa.n cˆo.t A A =       a1 a2 ... am       l`a ma trˆa.n k´ıch thu.´o.c [m × 1]. Ma trˆa.n n`ay tu.o.ng th´ıch v´o.i ma trˆa.n k´ıch thu.´o.c [1 × n], t´u.c l`a ma trˆa.n h`ang. Nhu. vˆa.y ph´ep nhˆan d˜a nˆeu luˆon luˆon thu. .c hiˆe.n du.o. .c, cu. thˆe’ l`a       a1 a2 ... am       b1 b2 . . . bn =       a1b1 a1b2 . . . a1bn a2b1 a2b2 . . . a2bn ... ... ... ... amb1 amb2 . . . ambn       .
75. Ma trˆa.n. D- i.nh th´u.c V´ı du. 3. T´ınh AB v`a BA nˆe´u 1] A = 3 2 1 0 1 2 , B =    1 3 3   . 2] A = 1 4 −1 2 0 1 , B =    −1 0 1 3 −1 1   . Gia’i. 1] Theo quy t˘a´c nhˆan c´ac ma trˆa.n ta c´o AB = 3 2 1 0 1 2    1 3 3    = 3 · 1 + 2 · 3 + 1 · 3 0 · 1 + 1 · 3 + 2 · 3 = 12 9 . T´ıch BA khˆong tˆo`n ta.i v`ı ma trˆa.n B khˆong tu.o.ng th´ıch v´o.i ma trˆa.n A. 2] Ta c´o ma trˆa.n A tu.o.ng th´ıch v´o.i ma trˆa.n B. Do d´o AB = 1 4 −1 2 0 1    −2 0 1 3 −1 1    = 1 · [−2] + 4 · 1 + [−1][−1] 1 · 0 + 4 · 3 + [−1] · 1 2 · [−2] + 0 · 1 + [1] · [−1] 2 · 0 + 0 · 3 + 1 · 1 = 3 11 −5 1 . Tu.o.ng tu. ., ma trˆa.n B tu.o.ng th´ıch v´o.i ma trˆa.n A v`a BA =    −2 −8 2 7 4 2 1 −4 2    . V´ı du. 4. 1] Cho ma trˆa.n A = 0 1 0 0 . T`ım mo.i ma trˆa.n X giao ho´an v´o.i A [AX = XA].
76. 75 2] T`ım mo.i ma trˆa.n giao ho´an v´o.i ma trˆa.n A = 1 2 −1 −1 . 3] T´ınh t´ıch 1 1 0 0 1 1 −1 −1 . Gia’i. 1] V`ı A l`a ma trˆa.n cˆa´p 2 nˆen dˆe’ c´ac t´ıch AX v`a XA x´ac di.nh, ma trˆa.n X c˜ung pha’i l`a ma trˆa.n cˆa´p 2. Gia’ su.’ A = α β γ δ . Khi d´o AX = 0 1 0 0 α β γ δ = γ δ 0 0 , XA = α β γ δ 0 1 0 0 = 0 α 0 γ . T`u. d´o nˆe´u AX = XA ⇒ γ = 0, α = δ. Do d´o mo.i ma trˆa.n ho´an vi. v´o.i ma trˆa.n d˜a cho dˆe`u c´o da.ng X = α β 0 α . 2] Tu.o.ng tu. . nhu. trˆen, gia’ su.’ X = x y u v l`a ma trˆa.n giao ho´an
77. Ma trˆa.n. D- i.nh th´u.c v´o.i ma trˆa.n A = 1 2 −1 −1 . Khi d´o 1 2 −1 −1 x y u v = x y u v 1 2 −1 −1 ⇒ x + 2u y + 2v −x − u −y − v = x − y 2x − y u − v 2u − v ⇒    x + 2u = x − y −x − u = u − v y + 2v = 2x − y −y − v = 2u − v ⇒    x = u − 2v y = −2u ; u, v t`uy ´y. Vˆa.y ta thu du.o. .c X = u − 2v −2u u v , u, v t`uy ´y. 3] Dˆe˜ d`ang thˆa´y r˘a`ng 1 1 0 0 1 1 −1 −1 = 0 0 0 0 . T`u. v´ı du. n`ay suy ra r˘a`ng dˆo´i v´o.i c´ac ma trˆa.n nˆe´u AB = O th`ı khˆong nhˆa´t thiˆe´t A = O ho˘a.c B = O. V´ı du. 5. Ma trˆa.n S = λEn, trong d´o En l`a ma trˆa.n do.n vi. cˆa´p n v`a λ l`a mˆo.t sˆo´ du.o. .c go.i l`a ma trˆa.n vˆo hu.´o.ng. Ch´u.ng to’ r˘a`ng ma trˆa.n vˆo hu.´o.ng ho´an vi. v´o.i mo.i ma trˆa.n vuˆong c`ung cˆa´p. Gia’i. ´Ap du.ng c´ac t´ınh chˆa´t cu’a ma trˆa.n do.n vi. ta c´o SA = [λEn]A = λ[EnA] = λA; AS = A[λEn] = λ[AEn] = λA, t´u.c l`a AS = SA dˆo´i v´o.i mo.i ma trˆa.n vuˆong A cˆa´p n. Cho A l`a ma trˆa.n vuˆong, k l`a sˆo´ tu. . nhiˆen l´o.n ho.n 1. Khi d´o t´ıch k ma trˆa.n A du.o. .c go.i l`a lu˜y th`u.a bˆa.c k cu’a A v`a k´y hiˆe.u Ak . Theo
78. 77 di.nh ngh˜ıa A0 = E. Nhu. vˆa.y Ak def = A × A × A × · · · × A k lˆa`n A◦ = E. V´ı du. 6. T`ım mo.i lu˜y th`u.a cu’a ma trˆa.n A =      0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0      . Gia’i. Ta c´o A2 =      0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0           0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0      =      0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0      , v`a dˆe˜ thˆa´y r˘a`ng A3 = A2 A =      0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0           0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0      =      0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0      , A4 =      0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0           0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0      =      0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0      . C´ac l˜uy th`u.a tiˆe´p theo cu’a ma trˆa.n A dˆe`u b˘a`ng 0. V´ı du. 7. Gia’ su.’ J = 0 1 −1 0 , E = E2×2.
79. Ma trˆa.n. D- i.nh th´u.c Ch´u.ng minh r˘a`ng 1] J2 = −E. 2] Ma trˆa.n da.ng Z = αE + βJ = α β −β α du.o. .c cˆo.ng v`a nhˆan v´o.i nhau tu.o.ng tu. . nhu. c´ac sˆo´ ph´u.c da.ng Z = α + βi. Gia’i. 1] Ta c´o J2 = 0 1 −1 0 0 1 −1 0 = −1 0 0 −1 = −E. 2] X´et Z1 = α1E + β1J, Z2 = α2E + β2J. Khi d´o theo di.nh ngh˜ıa c´ac ph´ep to´an tuyˆe´n t´ınh trˆen ma trˆa.n c`ung c´ac t´ınh chˆa´t cu’a ch´ung, mˆo.t m˘a.t ta c´o Z1 + Z2 = [α1 + α2]E + [β1 + β2]J v`a m˘a.t kh´ac Z1 + Z2 = α1 β1 −β1 α1 + α2 β2 −β2 α2 = α1 + α2 β1 + β2 −[β1 + β2] α1 + α2 = [α1 + α2]E + [β1 + β2]J. Dˆo´i v´o.i ph´ep nhˆan su. . l´y gia’i c˜ung tu.o.ng tu. .. V´ı du. 8. T´ınh An nˆe´u: 1] A = 3 1 0 3 ; 2] A = 4 1 0 3 . Gia’i. Du. .a v`ao t´ınh chˆa´t cu’a ma trˆa.n vˆo hu.´o.ng: ma trˆa.n vˆo hu.´o.ng ho´an vi. v´o.i mo.i ma trˆa.n c`ung cˆa´p, ta s˜e biˆe’u diˆe˜n ma trˆa.n d˜a cho th`anh
80. 79 tˆo’ng ma trˆa.n vˆo hu.´o.ng cˆo.ng v´o.i ma trˆa.n da.ng d˘a.c biˆe.t m`a ph´ep nˆang lˆen l˜uy th`u.a du.o. .c thu. .c hiˆe.n do.n gia’n ho.n. 1] A = 3 1 0 3 = 3 0 0 3 + 0 1 0 0 = B + ˜B, Bm = 3 0 0 3 m = 3m 0 0 3n [xem b`ai 4. 3] du.´o.i dˆay], ˜Bm = 0 0 0 0 ∀ m 2. Tiˆe´p theo do B ˜B = ˜BB nˆen ta c´o thˆe’ ´ap du.ng cˆong th´u.c [B + ˜B]n = n i=0 Ci nBi ˜Bn−i [3.2] [xem b`ai 5.3] du.´o.i dˆay]. Theo [3.2] ta c´o [B + ˜B]n = Bn + C1 nBn−1 ˜B + C2 nBn−2 ˜B2 + · · · + ˜Bn = |do ˜Bm = 0, m 2| = Bn + Cn 1 Bn−1 ˜B = Bn + nBn−1 ˜B = 3n 0 0 3n = n3n−1 0 0 n3n−1 0 1 0 0 = 3n 0 0 3n + 0 n3n−1 0 0 = 3n n3n−1 0 3n . 2] Tu.o.ng tu. . nhu. trˆen ta c´o A = 4 1 0 3 = 3 0 0 3 + 1 1 0 0 = B + ˜B. Bm = 3 0 0 3 m = 3m 0 0 3m , [3.3] ˜Bm = 1 1 0 0 m = 1 1 0 0 ∀ m 1 [3.4]
81. Ma trˆa.n. D- i.nh th´u.c Tiˆe´p theo do B ˜B = ˜BB nˆen ta c´o thˆe’ ´ap du.ng cˆong th´u.c An = [B + ˜B]n = Bn + C1 nBn−1 ˜B + C2 nBn−2 ˜B2 + · · · + ˜Bn . [3.5] Ta t´ınh Ck nBn−k ˜Bk . Theo [3.3] v`a [3.4] ta c´o Ck n 3n−k 0 0 3n−k 1 1 0 0 = Ck n 3n−k 3n−k 0 0 = Ck n3n−k Ck n3n−k 0 0 . [3.6] T`u. [3.6], [3.3] v`a [3.5] ta thu du.o. .c An = 3n 0 0 3n + n k=1 Ck n3n−k Ck n3n−k 0 0 =   3n + n k=1 Ck n3n−k 0 + n k=1 Ck n3n−k 0 3n   . V`ı 3n + n k=1 Ck n3n−k = [3 + 1]n = 4n v`a 0 + n k=1 Ck n3n−k = n k=0 Ck n3n−k − 3n = 4n − 3n , do vˆa.y An = 4n 4n − 3n 0 3n . B`AI TˆA. P 1. T´ınh A + B, AB v`a BA nˆe´u 1] A = 1 2 3 4 , B = 4 −4 0 i ; 2] A =    1 −1 0 2 1 1 3 −1 2   , B =    −2 1 2 0 4 5 2 −3 7   .
82. 81 [DS. 1] A + B = 5 −2 3 4 + i , AB = 4 −4 + 2i 12 −12 + 4i , BA = −8 −8 3 4i ; 2] A + B =    −1 0 2 2 5 6 5 −4 9   , AB =    −1 −3 −3 −2 3 16 −2 −7 15   , BA =    6 1 5 23 −1 14 −17 −12 11   ] 2. T´ınh t´ıch c´ac ma trˆa.n 1]    5 2 1 5 2 3 6 5 2       1 3 −2 −3 −4 −5 2 1 3   . [DS.    1 3 2 5 10 9 −5 0 −7   ] 2]    3 4 9 2 −1 6 5 3 5       5 6 4 8 9 7 −4 −5 −3   . [DS.    11 9 13 −22 −27 −17 29 32 26   ] 3]      1 2 −2 1 3 −1 1 −2 5 1 3 −2         1 −2 4 2 3 2 3 1 4   . [DS.      −1 2 0 4 6 6 12 −3 20 1 5 2      ] 4]      2 1 3 4 2 1 −2 1 −3 1 2 1         1 2 −1   . [DS.      1 7 3 9      ]
83. Ma trˆa.n. D- i.nh th´u.c 5] 1 −3 3 −1 1 3 −5 1      1 1 1 2 1 1 1 −2      . [DS. 0 0 0 0 ] 6]    1 2 3    3 2 1 . [DS.    3 2 1 6 4 2 9 6 3   ] 3. T´ınh c´ac t´ıch AB v`a BA nˆe´u 1] A =      −1 3 0 −2 1 1 3 0 −2 4 1 2      , B = 5 −1 3 1 2 0 −1 4 . [DS. T´ıch AB khˆong tˆo`n ta.i v`ı ma trˆa.n A khˆong tu.o.ng th´ıch v´o.i ma trˆa.n B; BA = 10 15 −5 11 10 10 ] 2] A =      2 0 1 −4 3 1 0 −1      , B = 5 1 0 −3 . [DS. T´ıch AB khˆong tˆo`n ta.i v`ı A khˆong tu.o.ng th´ıch v´o.i B; BA = 11 −1 ] 3] A = 1 2 3 4 2 1 −2 3 , B =      1 5 3 6 8 2 1 2 −1 3 0 1      . [DS. AB = 28 27 8 15 14 13 , t´ıch BA khˆong tˆo`n ta.i] 4] A = cos α − sin α cos α cos α , B = cos β − sin β sin β cos β .