Tài liệu Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản hay, chi tiết nhất Toán lớp 11 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về Phương trình lượng giác cơ bản từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vứng kiến thức môn Toán lớp 11.
1. Phương trình sin x = a [1]
- Trường hợp |a| > 1: Phương trình [1] vô nghiệm
- Trường hợp |a| ≤ 1: Phương trình [1] có các nghiệm là
+ Nếu số thực α thoả mãn điều kiện
- Lưu ý:
+ Phương trình sin x = sin α, với α là một số cho trước, có các nghiệm là:
x = α + k2π k ∈ Z và x = π – α + k2π k ∈ Z
Tổng quát: sin f[x] = sin g[x]
+ sin x = sin β°
+ Các trường hợp đặc biệt:
a = 1: Phương trình sin x = 1 có các nghiệm là: x = π/2 + k2π k ∈ Z.
a = –1: Phương trình sin x = –1 có các nghiệm là: x = -π/2 + k2π k ∈ Z.
a = 0: Phương trình sin x = 0 có các nghiệm là: x = x = kπ k ∈ Z.
2. Phương trình cos x = a [2]
- Trường hợp |a| > 1: Phương trình [2] vô nghiệm
- Trường hợp |a| ≤ 1: Phương trình [2] có các nghiệm là
x = ±α + k2π, k ∈ Z.
+ Nếu số thực α thoả mãn điều kiện:
- Lưu ý:
+ Phương trình cos x = cosα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là:
x = ±α + k2π, k ∈ Z.
Tổng quát: cos f[x] = cos g[x] ⇔ f[x] = x = ±g[x] + k2π, k ∈ Z.
+ cos x = cos β° ⇔ x = ±β° + 360°, k ∈ Z.
+ Các trường hợp đặc biệt:
a = 1: Phương trình cos x = 1 có các nghiệm là: x = k2π, k ∈ Z
a = –1: Phương trình cos x = –1 có các nghiệm là: x = π + k2π, k ∈ Z
a = 0: Phương trình cos x = 0 có các nghiệm là: x = π/2 + kπ, k ∈ Z.
3. Phương trình tan x = a [3]
- Điều kiện của phương trình là x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z.
- Nghiệm của phương trình tan x = a là:
x = arctan α + kπ, k ∈ Z.
- Lưu ý:
+ Phương trình tan x = tan α, với α là một số cho trước, có các nghiệm là:
x = α + kπ, k ∈ Z.
Tổng quát: tan f[x] = tan g[x] ⇒ f[x] = g[x] + kπ, k ∈ Z.
+ tan x = tan β° ⇔ x = β° + k180°, k ∈ Z.
4. Phương trình cot x = a [4]
- Điều kiện của phương trình là x ≠ kπ, k ∈ Z.
- Nghiệm của phương trình cot x = a là:
x = arccot α + kπ, k ∈ Z.
- Lưu ý:
+ Phương trình cot x = cot α, với α là một số cho trước, có các nghiệm là:
x = α + kπ, k ∈ Z.
Tổng quát: cot f[x] = cot g[x] ⇒ f[x] = g[x] + kπ, k ∈ Z.
+ Phương trình cot x = cot β° có các nghiệm là x = β° + k180° , k ∈ Z.
1. Phương trình lượng giác cơ bản
a] Phương trình \[\sin x = m\].
+] Nếu \[\left| m \right| > 1\] thì phương trình vô nghiệm.
+] Nếu \[\left| m \right| \le 1\] thì phương trình \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arcsin m + k2\pi \\x = \pi - \arcsin m + k2\pi \end{array} \right.\]
Đặc biệt: \[\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left[ {k \in Z} \right]\]
b] Phương trình \[\cos x = m\].
+] Nếu \[\left| m \right| > 1\] thì phương trình vô nghiệm.
+] Nếu \[\left| m \right| \le 1\] thì phương trình \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arccos m + k2\pi \\x = - \arccos m + k2\pi \end{array} \right.\]
Đặc biệt: \[\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left[ {k \in Z} \right]\]
c] Phương trình \[\tan x = m\].
Phương trình luôn có nghiệm \[x = \arctan m + k\pi \].
Đặc biệt: \[\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \left[ {k \in Z} \right]\]
d] Phương trình \[\cot x = m\].
Phương trình luôn có nghiệm \[x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} m + k\pi \].
Đặc biệt: \[\cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \left[ {k \in Z} \right]\]
e] Các trường hợp đặc biệt
\[ + ]\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ;\] \[\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \]
\[ + ]\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;\] \[\cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \]
\[ + ]\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;\] \[\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \]
2. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
- Phương trình \[at + b = 0\left[ {a,b \in R,a \ne 0} \right]\] với \[t = \sin x\left[ {\cos x,\tan x,\cot x} \right]\] là phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác \[\sin ,\cos ,\tan ,\cot \].
- Cách giải: Biến đổi \[at + b = 0 \Leftrightarrow t = - \dfrac{b}{a}\] và giải phương trình lượng giác cơ bản.
3. Một số chú ý khi giải phương trình
- Khi giải phương trình lượng giác có chứa \[\tan ,\cot \], chứa ẩn ở mẫu, căn bậc chẵn,…thì cần đặt điều kiện cho ẩn.
- Khi giải xong phương trình thì cần chú ý thử lại đáp án, kiểm tra điều kiện.
Phương trình lượng giác là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán học phổ thông. Phương trình lượng giác có rất nhiều dạng bài và cách giải khác nhau. Vậy cụ thể phương trình lượng giác là gì? Phương pháp giải phương trình lượng giác có khó không? Team Marathon Education sẽ trình bày kỹ hơn về định nghĩa này và một số phương trình lượng giác thường gặp qua bài viết này.
>>> Xem thêm: Lý Thuyết Và Cách Giải Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
>>> Xem thêm: Học Online Toán 11 Bứt Phá Điểm Số Với Marathon Education
Để có cái nhìn toàn diện hơn về phương trình lượng giác bậc nhất, các em có thể tham khảo định nghĩa và các ví dụ cụ thể dưới đây:
Định nghĩa
Phương trình lượng giác bậc nhất là phương trình có dạng at + b = 0.
Trong đó:
- a và b là các hằng số [a ≠ 0]
- t là một trong các hàm số lượng giác
Phương pháp giải phương trình lượng giác bậc nhất
Các bước giải phương trình lượng giác bậc nhất:
- Bước 1: Thực hiện chuyển vế
- Bước 2: Chia hai vế phương trình cho a
- Bước 3: Giải phương trình lượng giác cơ bản
Ví dụ
Giải phương trình:
Ta có:
\begin{aligned} &2sinx\ –\ \sqrt3 = 0\\ ⇔ &\ 2sinx = \sqrt3\\ ⇔ &\ sinx =\frac{\sqrt3}{2}\\ ⇔ &\left[\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c} x=\frac{\pi}{3}+k2\pi\\x=\frac{2\pi}{3}+k2\pi \end{array}\right.[k\in\Z] \end{aligned}
>>> Xem thêm: Công Thức Đạo Hàm Lượng Giác Đầy Đủ Và Bài Tập Đạo Hàm Lượng Giác
Toán 12 Nguyên Hàm – Lý Thuyết, Công Thức Và Các Dạng Bài Tập
Phương trình lượng giác bậc hai
Phương trình lượng giác bậc hai là một trong những phương trình lượng giác thường gặp nhất. Đây là dạng phương trình đòi hỏi sự linh hoạt trong cách xử lý bài toán của các em từ khâu đặt ẩn, đưa ra điều kiện cho ẩn và thực hiện phân tích giải bài toán.
Định nghĩa
Phương trình lượng giác bậc hai là phương trình có dạng: at2 + bt + c = 0. Trong đó:
- a, b và c là các hằng số [a ≠ 0].
- t là một trong các hàm số lượng giác.
Phương pháp giải phương trình lượng giác bậc hai
Phương pháp giải phương trình lượng giác bậc hai bao gồm các bước như sau:
- Bước 1: Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ [nếu có]
- Bước 2: Thực hiện giải phương trình bậc hai theo ẩn phụ đã đặt
- Bước 3: Đưa về dạng bài giải các phương trình lượng giác cơ bản
Ví dụ
Giải phương trình: 3cos2x – 2cos x – 1 = 0
Hướng dẫn giải:
Đặt cos x = t với điều kiện –1 ≤ t ≤ 1 [*]
Khi đó, ta có phương trình như sau:
\begin{aligned} &3t^2\ –\ 2t\ –\ 1 = 0\\ ⇔&\left[ \begin{array}{cc}\ t_1 =1\\t_2=-\frac{1}{3}\\ \end{array}\right.\\ ⇔&\left[ \begin{array}{cc}\ cos x = 1\\cos x =-\frac{1}{3}\\ \end{array}\right.\\ ⇔&x = k2π \text{ hoặc }x = ±arccos \left[-\frac{1}{3}\right] + k2π\ [k ∈ Z] \end{aligned}
>>> Xem thêm: Công Thức Đạo Hàm Lượng Giác Đầy Đủ Và Bài Tập Đạo Hàm Lượng Giác
Phương trình lượng giác bậc nhất đối với sinx và cosx
Ngoài một số phương trình lượng giác thường gặp nêu trên, có một loại phương trình nữa mà các em cũng nên đặc biệt lưu tâm đó là phương trình lượng giác bậc nhất đối với sinx và cosx.
Dạng tổng quát: asinx + bcosx = c [1]
Trong đó: a và b là các số thực khác 0 [a2 + b2 ≠ 0]
Học Online Toán 11 Bứt Phá Điểm Số Với Marathon Education
Cách giải phương trình này sẽ được thực hiện như sau:
- Bước 1: Kiểm tra
- Nếu a² + b² < c² ⇒ Phương trình vô nghiệm
- Nếu a² + b² ≥ c² ⇒ Phương trình được thực hiện tiếp theo bước 2:
- Bước 2: Giải phương trình:
\begin{aligned} &\text{Chia cả hai vế cho }\sqrt{a^2+b^2} \text{ ta được:}\\ &\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sinx+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}cosx=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\ [1]\\ &\text{Ta chọn α sao cho:}\\ &cosα=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}; sinα=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ &[1]⇔sin[x+α]=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{aligned}
Từ đây ta đưa về dạng phương trình cơ bản của sin.
Học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại Marathon Education
Marathon Education là nền tảng học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn uy tín và chất lượng hàng đầu Việt Nam dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình giảng dạy bám sát chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, Marathon Education sẽ giúp các em lấy lại căn bản, bứt phá điểm số và nâng cao thành tích học tập.
Tại Marathon, các em sẽ được giảng dạy bởi các thầy cô thuộc TOP 1% giáo viên dạy giỏi toàn quốc. Các thầy cô đều có học vị từ Thạc Sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong giáo dục. Bằng phương pháp dạy sáng tạo, gần gũi, các thầy cô sẽ giúp các em tiếp thu kiến thức một cách nhanh chóng và dễ dàng.
Marathon Education còn có đội ngũ cố vấn học tập chuyên môn luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học tập và cá nhân hóa lộ trình học tập của mình.
Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu cùng nền tảng công nghệ, mỗi lớp học của Marathon Education luôn đảm bảo đường truyền ổn định chống giật/lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.
Công Thức Tính Nguyên Hàm e Mũ u Và Các Hàm Số Đơn Giản
Nhờ nền tảng học livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, các em có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường.
Khi trở thành học viên tại Marathon Education, các em còn nhận được các sổ tay Toán – Lý – Hóa “siêu xịn” tổng hợp toàn bộ công thức và nội dung môn học được biên soạn chi tiết, kỹ lưỡng và chỉn chu giúp các em học tập và ghi nhớ kiến thức dễ dàng hơn.
Marathon Education cam kết đầu ra 7+ hoặc ít nhất tăng 3 điểm cho học viên. Nếu không đạt điểm số như cam kết, Marathon sẽ hoàn trả các em 100% học phí. Các em hãy nhanh tay đăng ký học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – lớp 12 năm học 2022 – 2023 tại Marathon Education ngay hôm nay để được hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39% giảm từ 699K chỉ còn 399K.
Các khóa học online tại Marathon Education
Trên đây là những chia sẻ liên quan đến phương trình lượng giác và một số phương trình lượng giác thường gặp trong chương trình Toán học phổ thông. Hy vọng những kiến thức tổng hợp này giúp ích nhiều hơn cho các em trong quá trình ôn luyện và làm bài. Đừng quên đăng ký khóa học trực tuyến tại Marathon Education ngay hôm nay để được trải nghiệm lớp học trực tuyến sinh động, giúp các em nâng cao hiệu quả học tập mọi lúc mọi nơi.