I. Con lắc lò xo
- Con lắc lò xo gồm một vật nặng m gắn vào một đầu của lò xo có độ cứng k và có khối lượng không đáng kể.
- Con lắc có một vị trí cân bằng mà khi ta thả vật ra, vật sẽ đứng yên mãi. Nếu kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng buông ra vật sẽ dao động quanh vị trí cân bằng giữa hai biên.
Video mô phỏng chuyển động của con lắc lò xo
II. Khảo sát dao động của con lắc lò xo về mặt động lực học
- Xét vật ở li độ x, lò xo giãn một đoạn \[\Delta l = x\], lực đàn hồi của lò xo \[F = - k\Delta l\]
Phương trình dao động của con lắc lò xo về mặt động lực học là:
\[F = ma = - k{\rm{x}}\] hay \[a = - \frac{k}{m}x\]
Trong đó:
F: là lực tác dụng lên m [N]
x: là li độ của vật [m]
k: độ cứng của lò xo [N/m]
dấu [-] chỉ ra rằng lực \[\overrightarrow F \] luôn hướng về vị trí cân bằng.
- Đặt \[{\omega ^2} = \frac{k}{m} \Rightarrow a + {\omega ^2}x = 0\]
- Dao động của con lắc lò xo là dao động điều hòa:
+ Tần số góc: \[\omega = \sqrt {\frac{k}{m}} \]
+ Chu kì: \[T = 2\pi \sqrt {\frac{m}{k}} \]
- Lực luôn hướng về vị trí cân bằng gọi là lực kéo về. Nó có độ lớn tỉ lệ với li độ và là lực gây ra gia tốc cho vật dao động điều hòa.
* Tổng hợp các dạng con lắc lò xo
III. Khảo sát dao động của con lắc lò xo về mặt năng lượng
1. Động năng của con lắc lò xo
- Động năng của con lắc lò xo là động năng của vật m:
\[{W_d} = \frac{1}{2}m{v^2}\left[ J \right]\]\[ = \frac{1}{4}K{A^2} - \frac{1}{4}K{A^2}\cos [2\omega t + 2\varphi ]\]
2. Thế năng của con lắc lò xo
\[{{\rm{W}}_t} = \frac{1}{2}k{{\rm{x}}^2}\left[ J \right]\]\[ = \frac{1}{4}K{A^2} + \frac{1}{4}K{A^2}\cos [2\omega t + 2\varphi ]\]
3. Cơ năng của con lắc lò xo. Sự bảo toàn cơ năng
- Cơ năng của con lắc:
\[{\rm{W}} = \frac{1}{2}m{v^2} + \frac{1}{2}k{{\rm{x}}^2}\left[ J \right]\]
- Khi không có ma sát thì cơ năng của con lắc được bảo toàn. Nó chỉ biến đổi từ thế năng sang động năng và ngược lại.
\[{\rm{W}} = \frac{1}{2}k{A^2} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} = const\]
*Nhận xét:
- Động năng và thế năng của con lắc lò xo biến thiên điều hòa cùng tần số góc \[2\omega \], tần số \[2f\], chu kì \[\frac{T}{2}\].
- Thời gian liên tiếp giữa hai lần động năng bằng thế năng là \[\frac{T}{4}\]
- Cơ năng của con lắc lò xo luôn được bảo toàn và tỉ lệ với bình phương biên độ dao động.
Sơ đồ tư duy về con lắc lò xo
Bài 11: Bài toán về chiều dài của lò xo
Bài 10: Viết phương trình li độ của con lắc lò xo
Bài 9: Bài toán năng lượng của con lắc lò xo
Bài 8: Đại cương về con lắc lò xo
Bài 7: Vận tốc trung bình và tốc độ trung bình trong dao động điều hòa
Bài 6: Xác định số lần vật qua li độ x trong một khoảng thời gian
Bài 4: Quãng đường đi được trong dao động điều hòa
Bài 3: Xác định thời gian vật đi từ li độ x1 đến li độ x2
Bài 2: Viết phương trình dao động điều hòa của vật
Bài 1: Toàn bộ lý thuyết về dao động cơ học
Bài giảng Viết phương trình dao động điều hòa của con lắc lò xo trình bày cho các em các kiến thức cơ bản về phương trình dao động con lắc lò xo, các công thức biến đổi tìm các đại lượng ⍵, φ cách xác định biên độ A. Qua đó nắm được nhưng lưu lý khi viết phương trình dạo động con lắc lò xo, xác định biên độ.
Chúng ta tiếp tục tìm hiểu dạng số 3 của con lắc lò xo là Viết phương trình dao động của con lắc lò xo. Thực ra bài viết phương trình dao động các em đã được học ở bài dao động điều hòa.
Riêng bài viết phương trình dao động của con lắc lò xo, cũng có cách viết phương trình dao động như những cách cũ nhưng có thêm những cái mới mà đề bài sẽ làm khó các em, đôi khi không để ý, các em sẽ làm không được.
PTDĐ: \[x = A.\cos[\omega t + \varphi ]\]
+ Tìm A: \[\cdot \ A = \frac{\ell _{max} - \ell _{min}}{2} = \frac{\ell}{2}\]
Với ℓ:
chiều dài quỹ đạo • Các công thức đã biết ở bài dao động điều hòa
+ Tìm \[\omega\]:
\[\cdot \ \omega = 2\pi f = \frac{2 \pi }{T}\] \[\cdot \ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{g}{\Delta l}}\]+ Tìm \[\varphi\]: [Tương tự bài DĐĐH]
* Chú ý: Các xác đinh biên độ A + Đưa vật về vị trí lò xo không biến dạng rồi buông \[\rightarrow A = \Delta \ell\]
+ Đưa vật về vị trí lò xo không biến dạng rồi buông và truyền cho vận tốc v0 \[\Rightarrow A = \sqrt{\Delta \ell ^2 + \left [ \frac{v_0}{\omega } \right ]^2}\]
+ Từ VTCB đưa vật về vị trí lò xo bị dãn 1 đoạn x0 rồi buông ⇒ A = ?
• Con lắc lò xo nằm ngang ⇒ A = |x0|
• Con lắc lò xo treo thẳng đứng
+ Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng 1 đoạn x0 rồi truyền cho vận tốc v0 để vật DĐĐH \[\Rightarrow A = \sqrt{x_{0}^{2} + \left [ \frac{v_0}{\omega } \right ]^2}\]
VD1: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm 1 lò xo nhẹ có độ cứng k = 40 N/m, vật năng m = 100g. Từ VTCB kéo vật xuống 1 đoạn để lò xo giãn 7,5 cm rồi buông cho vật DĐĐH. Lấy g = 10 m/s2. Chọn trục tọa độ Ox trùng với trục lò xo, gốc tọa độ O tại VTCB, chiều dương hướng xuống, gốc thời gian là lúc vật qua VTCB lần đầu tiên. Viết phương trình dao động của vật?
Giải: m = 100g = 0,1kg \[\cdot \ \omega \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{40}{0,1}} = 20 \ rad/s\] \[\cdot \ \Delta \ell = \frac{mg}{k} = \frac{0,1.10}{40} = 0,025\ m\] \[\rightarrow \Delta \ell = 2,5\ cm\]
Vậy \[x = 5\cos [20t + \frac{\pi}{2}]\ [cm]\]
VD2: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm 1 lò xo có k = 100 N/m, vật nặng m = 100g. Từ VTCB kéo vật xuống 1 đoạn 5 cm rồi truyền cho vật vận tốc \[50 \pi\] cm/s để vật dao động điều hòa. Chọn gốc tọa độ O tại VTCB, trục Ox trùng với trục lò xo. Lấy g = 10 m/s2; \[\pi ^2 = 10\]. Chọn gốc thời gian là lúc vật bắt đầu dao động. Viết phương trình dao động của vật?
Giải: m = 100g = 0,1kg \[\cdot \ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{100}{0,1}} = 10 \pi \ [rad/s]\] \[\cdot \ \left\{\begin{matrix} |x| = 5 \ cm \ \ \ \ \ \\ v = 50 pi \ cm/s \end{matrix}\right. \Rightarrow A = \sqrt{x^2 + \left [ \frac{v}{\omega } \right ]^2}\] \[\Rightarrow A = \sqrt{5^2 + \left [ \frac{50 \pi} {10 \pi } \right ]^2} = 5\sqrt{2} \ cm\]
TH1:
\[t = 0: \left\{\begin{matrix} x = 5 \ \ [Ox \downarrow]\\ v > 0 \hspace{1,5cm}\end{matrix}\right.\] \[\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \varphi = \pm \frac{\pi }{4}\\ \sin \varphi < 0 \Rightarrow \varphi = -\frac{\pi}{4} \ \ \end{matrix}\right.\] Vậy \[x = 5\sqrt{2} \cos [10 \pi t - \frac{\pi }{4}]\ [cm]\]TH2:
\[t = 0: \left\{\begin{matrix} x = -5 \ \ [Ox \uparrow]\\ v > 0 \hspace{1,7cm}\end{matrix}\right.\] \[\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \cos \varphi = -\frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \varphi = \pm \frac{3 \pi }{4}\\ \sin \varphi < 0 \Rightarrow \varphi = -\frac{3 \pi}{4} \ \ \ \ \end{matrix}\right.\]Vậy \[x = 5\sqrt{2} \cos [10 \pi t - \frac{3\pi }{4}]\ [cm]\]
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Viết phương trình dao động của con lắc lò xo, nhằm giúp các em học tốt chương trình Vật lý 12.
Nội dung bài viết Viết phương trình dao động của con lắc lò xo: Phương pháp: Sử dụng một số phương pháp giải giống như dao động điều hòa của vật ở phần trên. Tìm ω. Một số kết luận chung để giải nhanh các bài tập trắc nghiệm dạng viết phương trình dao động điều hòa: Nếu kéo vật ra khỏi VTCB một khoảng nào đó rồi thả nhẹ thì khoảng cách đó chính là biên độ dao động. Nếu chọn gốc thời gian là lúc thả vật thì: Nếu kéo vật ra theo chiều dương thì ϕ = 0. Nếu kéo vật ra theo chiều âm thì ϕ=π. Nếu từ VTCB truyền cho vật một vận tốc nào đó dao động điều hòa thì vận tốc đó chính là vận tốc cực đại, khi đó maxA = ω . Chọn gốc thời gian là lúc truyền cho vật vận tốc thì 2π = ϕ nếu chiều truyền vận tốc cùng chiều với chiều dương, 2π = ϕ nếu chiều truyền vận tốc ngược chiều dương. Ví dụ 5: Con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm một vật có khối lượng 100 g và lò xo có khối lượng không đáng kể, có độ cứng 40 N/m. Kéo vật nặng thẳng đứng xuống phía dưới cách vị trí cân bằng 5 cm và thả nhẹ cho vật dao động điều hòa. Chọn trục Ox thẳng đứng, gốc O trùng với vị trí cân bằng, chiều dương là chiều vật bắt đầu chuyển động, gốc thời gian là lúc thả vật. Lấy g = 10 m/s2. Viết phương trình dao động của vật.
Ví dụ 6: Một con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng 400 g, lò xo có khối lượng không đáng kể, có độ cứng 40 N/m. Kéo vật nặng ra khỏi vị trí cân bằng 4 cm và thả nhẹ. Chọn chiều dương cùng chiều với chiều kéo vật, gốc thời gian là lúc thả vật. Viết phương trình dao động của vật.