Trên đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên

Gọi $M\left[ {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right]$ là điểm cố định mà đồ thị hàm số $y=f\left[ x \right]$ luôn đi qua.

Khi đó ${{y}_{0}}=f\left[ {{x}_{0}} \right]$ biến đổi phương trình về dạng $m.\left[ g\left[ {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right] \right]+h\left[ {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right]=0$

Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   g\left[ {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right]=0  \\   h\left[ {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right]=0  \\\end{array} \right.\Rightarrow $ Tọa độ điểm M.

þ Tìm điểm có tọa độ nguyên:

Điểm $M\left[ x;y \right]\in \left[ C \right]:y=f\left[ x \right]$ có tọa độ nguyên nếu tọa độ điểm $M\left[ x;y \right]$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   y=f\left[ x \right]  \\   x\in \mathbb{Z}  \\   y\in \mathbb{Z}  \\\end{array} \right.$

Bài tập Tìm điểm cố định và điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số có đáp án

Lời giải chi tiết

Gọi $M\left[ {{x}_{0}};y{{ {} }_{0}} \right]$ là tọa độ điểm cố định của $\left[ C \right]$ ta có: ${{y}_{0}}=x_{0}^{4}+mx_{0}^{2}-m-1\,\,\left[ \forall m\in \mathbb{R} \right]$

$\Leftrightarrow m\left[ x_{0}^{2}-1 \right]+x_{0}^{4}-y_{0}^{2}-1=0\,\,\left[ \forall m\in \mathbb{R} \right]\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x_{0}^{2}-1=0  \\   x_{0}^{4}-y_{0}^{2}-1=0  \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   {{x}_{0}}=\pm 1  \\   y_{0}^{2}=0  \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   {{x}_{0}}=-1;{{y}_{0}}=0  \\   {{x}_{0}}=1;{{y}_{0}}=0  \\\end{array} \right.$ Vậy tọa độ các điểm cố định thuộc đồ thị $\left[ C \right]$ là $\left[ -1;0 \right]$ và $\left[ 1;0 \right]$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Gọi $M\left[ {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right]$ là tọa độ điểm cố định thuộc $\left[ C \right]$ ta có: ${{y}_{0}}=x_{0}^{3}-3mx_{0}^{2}+3m{{x}_{0}}-1\,\left[ \forall m\in \mathbb{R} \right]$

$\Leftrightarrow 3m\left[ x_{0}^{2}-{{x}_{0}} \right]+{{y}_{0}}+1-x_{0}^{3}=0\,\,\left[ \forall m\in \mathbb{R} \right]\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x_{0}^{2}-{{x}_{0}}=0  \\   {{y}_{0}}+1=x_{0}^{3}  \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   {{x}_{0}}=1;{{y}_{0}}=0  \\   {{x}_{0}}=0;{{y}_{0}}=-1  \\\end{array} \right.$ 

Vậy $M\left[ 1;0 \right],N\left[ 0;-1 \right]\Rightarrow MN=\sqrt{2}$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Gọi $M\left[ {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right]$ là tọa độ điểm cố định thuộc $\left[ C \right]$ ta có: ${{y}_{0}}=mx_{0}^{3}-3mx_{0}^{2}+2\left[ m-1 \right]{{x}_{0}}+2\left[ \forall m\in \mathbb{R} \right]$

$\Leftrightarrow m\left[ x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}+2{{x}_{0}} \right]-2{{x}_{0}}+2-{{y}_{0}}=0\,\,\left[ \forall m\in \mathbb{R} \right]\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}+2{{x}_{0}}=0  \\   {{y}_{0}}=-2{{x}_{0}}+2  \\\end{array} \right.\left[ * \right]$ 

Như vậy đồ thị hàm số luôn đi qua 3 điểm cố định là nghiệm của hệ phương trình [*] và 3 điểm này đều thuộc đường thẳng $y=-2x+2$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Gọi $M\left[ {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right]$ là tọa độ điểm cố định thuộc $\left[ C \right]$ ta có: ${{y}_{0}}=x_{0}^{4}+mx_{0}^{2}-m-1\,\,\left[ \forall m\in \mathbb{R} \right]$ 

$\Leftrightarrow m\left[ x_{0}^{2}-1 \right]+x_{0}^{4}-1-{{y}_{0}}=0\,\,\left[ \forall m\in \mathbb{R} \right]\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x_{0}^{2}-1=0  \\   x_{0}^{4}-1-{{y}_{0}}=0  \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   {{x}_{0}}=1,{{y}_{0}}=0  \\   {{x}_{0}}=-1,{{y}_{0}}=0  \\\end{array} \right.$ 

Khi đó $A\left[ 1;0 \right],B\left[ -1;0 \right]\Rightarrow AB=2$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y=\frac{2x-2}{x+1}=\frac{2\left[ x+1 \right]-4}{x+1}=2-\frac{4}{x+1}$

Điểm có tọa độ nguyên khi $x\in \mathbb{Z}$ và $x+1=$Ư$\left[ 4 \right]=\left\{ \pm 1;\pm 2;\pm 4 \right\}$ 

Khi đó có 6 điểm có tọa độ nguyên thuộc $\left[ C \right]:y=\frac{2x-2}{x+1}$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y=\frac{3x+2}{x+1}=\frac{3\left[ x+1 \right]-1}{x+1}=3-\frac{1}{x+1}$

Điểm có tọa độ nguyên khi $x\in \mathbb{Z}$ và $x+1=$Ư$\left[ 1 \right]=\left\{ \pm 1 \right\}\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   x+1=-1  \\   x+1=1  \\\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   x=-2  \\   x=0  \\\end{array} \right.$

Khi đó có 2 điểm có tọa độ nguyên thuộc $\left[ C \right]:y=\frac{2x-2}{x+1}$ là $M\left[ -2;4 \right],N\left[ 0;2 \right]$

Khi đó $MN=2\sqrt{2}$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y=\frac{{{x}^{2}}+5x+15}{x+3}=\frac{{{x}^{2}}+3x+2x+6+9}{x+3}=x+2+\frac{9}{x+3}$

Điểm có tọa độ nguyên khi $x\in \mathbb{Z}$ và $x+3=$Ư$\left[ 9 \right]=\left\{ \pm 1;\pm 3;\pm 9 \right\}\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   x=-4  \\   x=-6  \\   x=-2  \\   x=0  \\   x=-12  \\   x=6  \\\end{array} \right.$ 

Từ đó suy ra có 6 điểm có tọa độ là số nguyên thuộc $\left[ C \right]$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y=\frac{3x+7}{2x-1}\Rightarrow 2y=\frac{6x+14}{2x-1}=\frac{3\left[ 2x-1 \right]+17}{2x-1}=3+\frac{17}{2x-1}$

Điểm có tọa độ nguyên khi $x\in \mathbb{Z}$ và $2x-1=$Ư$\left[ 17 \right]=\left\{ \pm 1;\pm 17 \right\}$ Suy ra $\left[ \begin{array}{*{35}{l}}   2x-1=-17  \\   2x-1=-1  \\   2x-1=1  \\   2x-1=17  \\\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   x=-8\Rightarrow y=1  \\   x=0\Rightarrow y=-7  \\   x=1\Rightarrow y=10  \\   x=9\Rightarrow y=2  \\\end{array} \right.\Rightarrow $ Có 4 điểm có tọa độ là số nguyên. Chọn D.