1. Lập phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước
Phương trình đường tròn có tâmI[a;b], bán kínhRlà :
[x – a]2+ [y – b]2 = R2
2. Nhận xét
Phương trình đường tròn [x – a]2+ [y – b]2 = R2 có thể được viết dưới dạng
x2 + y2 – 2ax – 2by +c =0
trong đó c = a2 + b2+ c2
Ngược lại, phương trìnhx2 + y2 – 2ax – 2by + c =0 là phương trình của đường tròn[C]khi và chỉ khi a2 + b2 –c > 0. Khi đó đường tròn[C]có tâmI[a;b]và bán kính
3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Cho điểmM0[x0; y0]nằm trên đường tròn[C]tâm I[a;b].GọiΔlà tiếp tuyến với[C]tạiM0
4. Các dạng bài tập và phương pháp giải
Dạng 1: Nhận dạng một phương trình bậc 2 là phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn.
Cách 1:
- Đưa phương trình về dạng: x2 + y2 – 2ax -2by +c = 0 [1]
- Xét dấu biểu thức: m = a2 + b2 + c2
- Nếu m>0 thì [1] là phương trình đường tròn tâm I[a;b], bán kính R
Cách 2:
- Đưa phương trình về dạng [x-a]2 + [y-b]2 = m2 [2]
- Nếu m > 0 thì [2] là phương trình đường tròn tâm I[a;b], bán kính R = √m
Dạng 2: Lập phương trình đường tròn
Cách 1:
- Tìm tọa độ tâmI[a; b] của đường tròn [C]
- Tìm bán kính R của [C]
- Viết phương trình [C] theo dạng:[x – a]2+ [y – b]2= R2[1]
Chú ý:
- [C] đi quaA, B⇔ IA2= IB2= R2.
- [C] đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng ∆ tạiA⇔ IA = d[I, ∆].
- [C] tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1và ∆2
⇔ d[I, ∆1] = d[I, ∆2] = R
Cách 2:
- Gọi phương trình đường tròn [C] làx2+ y2– 2ax – 2by + c = 0[2]
- Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình với ba ẩn số là:a, b, c
- Giải hệ phương trình tìma, b, cđể thay vào [2], ta được phương trình đường tròn [C]
Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn.
Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm Mo[xo;yo] thuộc đường tròn [C]
- Tìm tọa độ tâmI[a,b] của đường tròn [C]
- Phương trình tiếp tuyến với [C] tại Mo[xo;yo] có dạng:
[xo – a][x-x0] + [yo-b][y-yo] = 0
Loại 2: Lập phương trình tiếp tuyến của ∆ với [C] khi chưa biết tiếp điểm: dùng điều kiện tiếp xúc với đường tròn [C] tâmI, bán kínhR⇔d [I, ∆] = R
5. Bài tập có lời giải về phương trình đường tròn
Bài tập 1: Cho đường cong [Cm]: x2+ y2– 4mx – 8[m – 4]y + 18 – m = 0. Hãy tìm điều kiện của m để [Cm] là phương trình đường tròn
Lời giải
Để [Cm] là phương trình đường tròn ta có: m2+ [4[m – 4]]2– [ 18 – m] > 0
m2+ 16m2– 256m + 256 – 18 + m > 0
17m2– 255m + 238 > 0
m2– 15m + 14 > 0
m < 1ᴗ m > 2
Bài tập 2: Cho [Cα] là x2+ y2– 2xcosα – 2ysinα + cos2α = 0 [với α ≠ kπ]. Chứng minh rằng [Cα] là đường tròn
Lời giải
Để [Cα] là đường tròn ta có: cos2α + sin2α – cos2α > 0
VT = cos2α + sin2α – cos2α
= 1 – cos2α
= 2sin2α > 0 [với α ≠ kᴨ]
Chú ý: nếu α = kπ thì đường tròn là 1 điểm
Bài tập 3:lập phương trình đường tròn [C] biết tâm O[2; 4] và đi qua điểm I[0; 0]
Lời giải
Ta có R = IO , mà vecto IO = √22+ √42= √20
=> Đường tròn © có tâm O[2; 4] và bán kính R = √20 có phương trình đường tròn là: [x – 2]2+ [y – 4]2= 20
Bài tập 4.Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn ? Tìm tâm và bán kính nếu có :
a] x2 + y2 – 6x +8y +100 = 0 [1]
b] x2 + y2 + 4x – 6y -12 = 0 [2]
c] 2x2 + 2y2 – 4x + 8y – 2 = 0 [3]
Giải:
a] [1] có dạngx2 + y2 – 2ax – 2by +c =0với a = 3,b = -4, c = 100.
Ta có a2 + b2 –c = 9 +16 – 100 < 0.
Vậy [1] không phải là phương trình của đường tròn.
b] [2] có dạngx2 + y2 – 2ax – 2by +c =0, với a = – 2, b = 3, c = -12.
Ta có x2 + b3 – c = 4 + 9 +12 = 25 > 0.
Vậy [2] là phương trình của đường tròn tâm là điểm [-2 ; 3], bán kính bằng
c] Ta có : [3]
⇔
Vậy [3] là phương trình của đường tròn tâm là điểm [1 ; -2], bán kính bằng√6
Bài tập 5.Cho phương trình x2 + y2 – 2mx + 4my + 6m – 1 = 0 [1]
a] Với giá trị nào của m thì [1] là phương trình của đường tròn ?
b] Nếu [1] là phương trình của đường tròn hãy tìm toạ độ tâm và tính bán kính đường tròn đó theo m.
Giải:
a] [1] có dạngx2 + y2 – 2ax – 2by +c =0với a = m, b = – 2m, c = 6m= 1.
[1] là phương trình của đường tròn khi và chỉ khi a2 + b2 – c > 0, mà
Bài tập 6.Lập phương trình của đường tròn [℘] trong các trường hợp sau :
a] [℘] có tâm I[-1 ; 2] và tiếp xúc với đường thẳng Δ: x – 2y+7 = 0;
b] [℘] có đường kính là AB với A[ 1 ; 1], B[7 ; 5].
Giải:
Bài tập 7.Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A[1 ; 2], B[5 ; 2], C[ 1 ; – 3].
Giải:
Xét đường tròn [℘] có dạngx2 + y2 – 2ax – 2by +c =0.
[℘] đi qụa A, B, c khi và chỉ khi
Vậy phương trình đường tròn đi qua ba điểm A, B, C là :
x2 + y2 – 6x +y – 1 = 0
1. Lập phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước
Phương trình đường tròn có tâm \[I[a; b]\], bán kính \[R\] là :
$${[x - a]^2} + {[y - b]^2} = {R^2}$$
2. Nhận xét
Phương trình đường tròn \[{[x - a]^2} + {[y - b]^2} = {R^2}\] có thể được viết dưới dạng
$${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$$
trong đó \[c = {a^2} + {b^2} - {R^2}\]
\[ \Rightarrow \] Điều kiện để phương trình \[{x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\] là phương trình đường tròn \[[C]\] là: \[{a^2} + {b^2}-c>0\]. Khi đó, đường tròn \[[C]\] có tâm \[I[a; b]\] và bán kính \[R = \sqrt{a^{2}+b^{2} - c}\]
3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Cho điểm \[{M_0}[{x_0};{y_0}]\] nằm trên đường tròn \[[C]\] tâm \[I[a; b]\].Gọi \[∆\] là tiếp tuyến với \[[C]\] tại \[M_0\]
Ta có \[M_0\] thuộc \[∆\] và vectơ \[\vec{IM_{0}}=[{x_0} - a;{y_0} - b]\] là vectơ pháp tuyến cuả \[ ∆\]
Do đó \[∆\] có phương trình là:
$[{x_0} - a][x - {x_0}] + [{y_0} - b][y - {y_0}] = 0$ [1]
Phương trình [1] là phương trình tiếp tuyến của đường tròn \[{[x - a]^2} + {[y - b]^2} = {R^2}\] tại điểm \[M_0\] nằm trên đường tròn.
Loigiaihay.com