BÀI 3ỨNG DỤNG CỰC TRỊ HÀM 1 BIẾNTRONG KINH TẾTS. Vương Thị Thảo BìnhV1.00181122051Tình huống dẫn nhậpMột hãng sản xuất, kinh doanh một mặt hàng có hàmchi phí biên:TC[Q] 12Q Q 0,1Q 1023trong đó Q là sản lượng.Xác định Q sao cho chi phí trung bình của hãng lànhỏ nhất;Tìm lượng cung sao cho lợi nhuận cực đại nếu giáhàng hóa là p = 50.V1.00181122052MỤC TIÊU BÀI HỌC• Nắm được một số hàm 1 biến trong kinh tế thông dụng.• Nắm được cách tìm cực trị hàm 1 biến và Áp dụng được vào bài tập.V1.00181122053CẤU TRÚC NỘI DUNGV1.00181122053.1Khái niệm hàm 1 biến trong kinh tế3.2Giới thiệu một số hàm số 1 biến trong kinh tế3.3Cực trị của hàm 1 biến43.1. GIỚI THIỆU HÀM MỘT BIẾN TRONG KINH TẾV1.00181122053.1.1Biến, hằng số và tham số3.1.2Các loại phương trình53.1.1. BIẾN, HẰNG SỐ VÀ THAM SỐ••••••P: giá cả [price],: lợi nhuận [profit],R: doanh thu [revenue],C: chi phí [cost],Y: thu nhập [income],…V1.001811220563.1.2. CÁC LOẠI PHƯƠNG TRÌNH• Phương trình định nghĩa [definition equation]: là một đẳng thức mà hai biểu thức thay thế ở cả hai vế củanó có cùng một ý nghĩa.Ví dụ 1. Lợi nhuận được định nghĩa thông qua phương trình định nghĩa sau: 𝜋 = R – C, tức là lợi nhuận thuđược chính là phần dôi ra của doanh thu sau khi đã trừ đi chi phí.• Phương trình hành vi [behavioral equation]: Phương trình hành vi phản ánh cách thức một biến thay đổiphụ thuộc vào sự thay đổi giá trị của các biến khác.Ví dụ 2. Chi phí C = 75 + 10QChi phí C = 110 + Q2• Phương trình cân bằng [equilibrium equation]: mô tả điều kiện cân bằngVí dụ 3. Qd=Qs : Lượng cầu phải bằng lượng cungS = I : Tổng tiết kiệm phải bằng tổng đầu tưV1.001811220573.2. GIỚI THIỆU MỘT SỐ HÀM SỐ MỘT BIẾN TRONG KINH TẾV1.00181122053.2.1Hàm cung và hàm cầu3.2.2Hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm lợi nhuận3.2.3Hàm tiêu dùng và hàm tiết kiệm83.2.1. HÀM CUNG VÀ HÀM CẦU• Hàm cung: Qs = S[p]• Hàm cầu: Qd = D[p]Khi xét xem các mô hình hàm cung và hàm cầu ở dạng nêu trên, người ta giả thiết rằng các yếu tố khác khôngthay đổi. Quy luật của thị trường trong kinh tế học nói rằng, đối với các hàng hóa thông thường, hàm cung làhàm đơn điệu tăng, hàm cầu là hàm đơn điệu giảm. Điều này có nghĩa là: với các yếu tố khác giữ nguyên, khigiá hàng hóa tăng lên thì người bán sẽ muốn bán nhiều hơn và người mua sẽ mua ít đi.V1.001811220593.2.2. HÀM DOANH THU, HÀM CHI PHÍ VÀ HÀM LỢI NHUẬN•••••Hàm doanh thu: TR = TR[Q]Hàm chi phí: TC = TC[Q]Chi phí cố định [FC]: FC = TC[Q=0]Hàm chi phí biến đổi [VC]: VC = TC – FCHàm lợi nhuận: [Q] = TR[Q] – TC[Q]V1.0018112205103.2.3. HÀM TIÊU DÙNG VÀ HÀM TIẾT KIỆM• Hàm tiêu dùng để biểu diễn sự phụ thuộc của biến tiêu dùng C [consumption] vào biến thu nhậpY [Income]:C = C[Y]Khi thu nhập tăng người ta thường có xu hướng tiêu dùng nhiều hơn, do đó hàm tiêu dùng làhàm đồng biến.• Hàm tiết kiệm là hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của biến tiết kiệm S và biến thu nhập Y:S = S[Y]V1.0018112205113.3. CỰC TRỊ CỦA HÀM MỘT BIẾNCho hàm số y = f[x]f[x] < f[x0] thì x0 là điểm cực đạif[x] > f[x0] thì x0 là điểm cực tiểuBài toán: Cho hàm số y = f[x] xác định, liên tục có đạo hàm trong khoảng [a, b]. Tìm điểm cực trị của f[x].Điều kiện cần: f'[x] = 0 x = x0 điểm dừng.Điều kiện đủ:• Cách 1: Xét sự biến thiên dấu của f'[x].• Cách 2: Tại x0, ta có:f"[x0] < 0 thì x0 là điểm cực đại;f"[x0] > 0 thì x0 là điểm cực tiểu.V1.0018112205123.3. CỰC TRỊ CỦA HÀM MỘT BIẾN [tiếp theo]Bài toán 1: Chọn mức sản lượng tối ưuGiả sử doanh nghiệp có hàm tổng chi phí TC[Q] và hàm tổng doanh thu TR[Q]. Hãy chọn mức sản lượng Q0để thu lợi nhuận tối đa.GiảiHàm tổng lợi nhuận của doanh nghiệp: = TR[Q] - TC[Q]Điều kiện cần: ' TR '[Q] TC '[Q] 0 TR '[Q] TC '[Q] MR MCĐiều kiện đủ: '' TR ''[Q] TC ''[Q] 0 TR ''[Q ] TC ''[Q ] V1.0018112205MR '[Q ] MC '[Q ]133.3. CỰC TRỊ CỦA HÀM MỘT BIẾN [tiếp theo]Bài toán 2: Chọn sử dụng yếu tố đầu vào tối ưu để có lợi nhuận cao nhấtCho một doanh nghiệp cạnh tranh tiến hành sản xuất với hàm sản xuất ngắn hạn Q = f[L], trong điều kiện giásản phẩm trên thị trường là p và giá lao động [tiền công] là w. Hãy tìm mức sử dụng lao động để đạt lợi nhuậntối đa?Giải:Hàm tổng lợi nhuận: pf [ L ] wL C 0 [C0 là chi phí cố định]Điều kiện cần: ' pf '[ L ] w C0 p MPPL w[Điều kiện cần để đạt lợi nhuận tối đa là giá trị bằng tiềncủa sản phẩm hiện vật cận biên của lao động bằng giá lao động].Điều kiện đủ:V1.0018112205 '' pf ''[ L ] 0 f ''[ L ] 000143.3. CỰC TRỊ CỦA HÀM MỘT BIẾN [tiếp theo]Bài toán 3: Cực trị của hàm hàm bình quânCho hàm số y = f[x] với x, y là các biến số kinh tế.y[ x 0] được gọi là hàm bình quân.xyy'yy'x yx My Ay [ x 0]Ta có: Ay' xxxxHàm số Ay '2Giả sử x0 là điểm thỏa mãn My = Ay, tức là Ay’ = 0. Khi đó ta có nhận xét:• Hàm bình quân tăng khi My > Ay [Tức là đường cận biên nằm trên đường bình quân].• Hàm bình quân giảm khi My < Ay [Tức là đường cận biên nằm dưới đường bình quân].• Hàm bình quân đạt cực trị khi My = Ay [đường cận biên giao nhau với đường bình quân].V1.0018112205153.3. CỰC TRỊ CỦA HÀM MỘT BIẾN [tiếp theo]Ví dụMột doanh nghiệp có hàm chi phí TC[Q] = 0,3Q3 – 3Q2 + 19Q + 30, với Q là sản lượng.Hãy xác định hàm chi phí biến đổi bình quân AVC[Q] và mức sản lượng cực tiểu hóa hàm này.Giải:FC = TC[0] = 30VC 0, 3Q 3Q 19QHàm chi phí biến đổi trung bình là: AVC 0, 3Q 3Q 19QQ322Điều kiện cần:Điều kiện đủ:AVC ' 0, 6Q 3 AVC ' 0 0, 6Q 3 0 Q 5AVC " 0, 6 0Vậy Q = 5 thì chi phí biến đổi trung bình đạt cực tiểu, và Qmin = 11,5.V1.001811220516Giải quyết tình huống dẫn nhậpC[Q] 12Q Q 0,1QAC 0,1Q Q 12QQ2• Chi phí trung bình của hãng là:32• Điều kiện cần: AC ' 0, 2Q 1AC ' 0 0, 2Q 1 0 Q 5• Điều kiện đủ:AC " 0, 2 0• Vậy với Q = 5 thì chi phí trung bình của hãng là nhỏ nhất.V1.001811220517Giải quyết tình huống dẫn nhập• Hàm lợi nhuận: TR TC pQ 12Q Q 2 0,1Q 3 50Q 12Q Q 2 0,1Q 3 0,1Q Q 38Q3• Điều kiện cần:2 ' 0, 3Q 2Q 38262 10 1 5 15, 07 ' 0 0, 3Q 2Q 38 0 Q 32• Điều kiện đủ: " 0, 6Q 2 " 15, 07 0, 6 15, 07 2 7, 042 0• Vậy với Q = 15,07 thì lợi nhuận đạt cực đại.V1.001811220518TỔNG KẾT BÀI HỌC• Giới thiệu một số biến trong kinh tế• Một số hàm số 1 biến trong kinh tế• Cực trị của hàm 1 biếnV1.001811220519
5. Cực trị ràng buộc của hàm số thực theo hai biến số thức
Xét bài toán tìm cực trị hàm \[f[x,y]\] với ràng buộc \[g[x,y]=g_0\]
Trước tiên, ta lập hàm Lagrange:
\[L[x,y;\lambda ] = f[x,y] + \lambda \left[ {{g_0} - g[x,y]} \right]\]
[\[\lambda\] gọi là nhân tử Lagrange]
Ta thấy cực trị của hàm f với ràng buộc \[g[x,y] = g_0\] cũng chính là cực trị của hàm Lagrange L.
Ta có điều kiện cấp 1 tương tự trường hợp cực trị không ràng buộc
Điều kiện cần: Nếu L đạt cực trị địa phương tại \[[{x_0},{y_0},{\lambda _0}]\] thì \[L'_x=0, L'_y=0\] và \[L{'_\lambda } = 0\] tại \[[{x_0},{y_0},{\lambda _0}]\]
Điều kiện đủ:
Ta định nghĩa Hessian bao như sau:
\[\overline H = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {L'{'_{xx}}}&{L'{'_{xy}}}&{L'{'_{x\lambda }}}\\ {L'{'_{yx}}}&{L'{'_{yy}}}&{L'{'_{y\lambda }}}\\ {L'{'_{\lambda x}}}&{L'{'_{\lambda y}}}&{L'{'_{\lambda \lambda }}} \end{array}} \right] \]
Đặt \[\overline {{H_1}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {L'{'_{xx}}}&{L'{'_{x\lambda }}}\\ {L'{'_{\lambda x}}}&{L'{'_{\lambda \lambda }}} \end{array}} \right|,\overline {{H_2}} = \left| {\overline H } \right|\]
Ta có các định lý sau:
- Nếu \[{\rm{L}}{{\rm{'}}_{\rm{x}}}{\rm{ = 0, L}}{{\rm{'}}_{\rm{y}}}{\rm{ = 0,L}}{{\rm{'}}_\lambda } = 0\] tại \[[{x_0},{y_0},{\lambda _0}]\] và \[\overline {{H_1}} < 0,{\rm{ }}\overline {{H_2}} > {\rm{ }}0\] tại \[[{x_0},{y_0},{\lambda _0}]\] thì L đạt cực đại địa phương tại \[[{x_0},{y_0},{\lambda _0}]\]
- Nếu \[{\rm{L}}{{\rm{'}}_{\rm{x}}}{\rm{ = 0, L}}{{\rm{'}}_{\rm{y}}}{\rm{ = 0,L}}{{\rm{'}}_\lambda } = 0\] tại \[[{x_0},{y_0},{\lambda _0}]\] và \[\overline {{H_1}} < 0,{\rm{ }}\overline {{H_2}} < {\rm{ }}0\] tại \[[{x_0},{y_0},{\lambda _0}]\overline {{H_2}} < {\rm{ }}0\] tại \[[{x_0},{y_0},{\lambda _0}]\] thì L đạt cực tiểu địa phương tại \[[{x_0},{y_0},{\lambda _0}]\].
- Nếu \[{\rm{L}}{{\rm{'}}_{\rm{x}}}{\rm{ = 0, L}}{{\rm{'}}_{\rm{y}}}{\rm{ = 0,L}}{{\rm{'}}_\lambda } = 0\] tại \[[{x_0},{y_0},{\lambda _0}]\] và \[\overline {{H_1}} < 0,{\rm{ }}\overline {{H_2}} > {\rm{ }}0, \forall [x,y] \in D \] và với mọi \[\lambda\] nằm trong một lân cận của \[\lambda_0\] thì \[[x_0,y_0]\] là điểm cực đại toàn cục của f trên D với ràng buộc g[x,y] = g0.
Chú ý: Bài toán tìm cực trị hàm \[f[x,y]\] với ràng buộc \[g[x,y] = g_0\] có thể giải đơn giản bàng cách từ ràng buộc, rút y theo x [hay x theo y] và thế vào f. Từ đó, bài toán đưa về việc tìm cực trị của hàm một biến. Tuy nhiên, không phải lúc nào ta cũng rút được biến này theo biến kia. Hơn nữa, phương pháp Lagrange áp dụng được cho trường hợp hàm nhiều biến tổng quát với nhiều ràng buộc và nhân tử Lagrange \[\lambda\] có ý nghĩa đặc biệt trong kinh tế.
Ví dụ 1: Giả sử hàm lợi ích đối với 2 sản phẩm là \[\cup [x,y] = \ln x + \ln y\] trong đó x là lượng hàng thứ nhất, y là lượng hàng thứ hai. Giả sử người tiêu dùng có thu nhập f phải dùng hết để mua hai sản phẩm trên, Px và Py lần lượt là đơn giá của hai mạt hàng. Bài toán đạt ra là cần tìm x và y để cực đại hóa \[\cup\] với ràng buộc \[P_xx + P_y y = I\] [điều kiện của bài toán: \[I \ge 2{P_x};I \ge 2{P_y}]\]
Hàm Lagrange của bài toán:
\[L = \ln x + \ln y + \lambda [I - {P_x}x - {P_y}y]\]
Điều kiện cấp 1:
\[\left\{ \begin{array}{l} L{'_x} = 0\\ L{'_y} = 0\\ L{'_\lambda } = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{x} - \lambda {P_x} = 0\\ \frac{1}{y} - \lambda {P_y} = 0\\ I - {P_x}x - {P_y}y = 0 \end{array} \right. \]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \lambda = \frac{1}{{x{P_x}}} = \frac{1}{{y{P_y}}}\\ I = \frac{2}{\lambda } \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \lambda = \frac{2}{I}\\ x = \frac{1}{{\lambda {P_x}}} = \frac{I}{{2{P_x}}}\\ y = \frac{1}{{\lambda {P_y}}} = \frac{I}{{2{P_y}}} \end{array} \right. \]
Hessian bao:
\[\begin{array}{l} \overline H = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1/{x^2}}&0&{ - {P_x}}\\ 0&{ - 1/{y^2}}&{ - {P_y}}\\ { - {P_x}}&{ - {P_y}}&0 \end{array}} \right]\\ \\ \overline {{H_1}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1/{x^2}}&{ - {P_x}}\\ { - {P_x}}&0 \end{array}} \right| = - P_x^2 < 0\\ \\ \overline {{H_2}} = \left| {\overline H } \right| = \frac{{P_x^2}}{{{y^2}}} + \frac{{P_y^2}}{{{x^2}}} > 0,\,\forall x,y,\lambda \,[x \ge 1,\,y \ge 1] \end{array} \]
Vậy \[\cup\] đạt cực đại toàn cục với ràng buộc g[x,y] = I tại
\[x = x^* = \frac{I}{{2{P_x}}}\]và \[y = y^* = \frac{I}{{2{P_y}}}\]
Khi đó \[\cup = \ln \frac{I}{{2{P_x}}} + \ln \frac{I}{{2{P_y}}} = \ln \frac{{{I^2}}}{{4{P_x}{P_y}}}\]
Ví dụ 2: Giả sử hàm lợi ích phụ thuộc vào số tiền tiêu dùng tại cuối hai thời kỳ 1 và 2 là C1 và C2 như sau: \[\cup = {C_1}{C_2}\]
Giả sử lãi suất tại cuối thời kỳ thứ 1 là r = 0,5%, tổng thu nhập tại cuối thời kỳ thứ 1 là I. Giả sử ta có ràng buộc \[{C_1} + \frac{{{C_2}}}{{1 + r}} = I\]
[C2/[l+r] là hiện giá của C2 tại cuối thời kỳ thứ 1].
Bài toán đạt ra là tìm C1, C2 để cực đại hóa hàm lợi ích \[\cup\]. Ta có hàm Lagrange của bài toán:
\[L\left[ {{C_1},{C_2},\lambda } \right] = {C_1}{C_2} + \lambda \left[ {I - {C_1} - \frac{{{C_2}}}{{1,005}}} \right]\]
Điều kiện cấp 1:
\[\left\{ \begin{array}{l} L{'_{{C_1}}} = 0\\ L{'_{{C_2}}} = 0\\ L{'_\lambda } = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{C_2} - \lambda = 0}\\ {{C_1} - \frac{\lambda }{{1,005}} = 0}\\ {I - {C_1} - \frac{{{C_2}}}{{1,005}} = 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \lambda = {C_2}\\ \lambda = 1,005{C_1}\\ 2{C_1} = I \end{array} \right. \]
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{C_1} = \frac{I}{2}}\\ {{C_2} = 1,005\frac{I}{2}}\\ {\lambda = 1,005\frac{I}{2}} \end{array}} \right. \]
Hessian bao:
\[\overline H = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&{ - 1}\\ 1&0&{ - \frac{1}{{1,005}}}\\ { - 1}&{ - \frac{1}{{1,005}}}&0 \end{array}} \right] \]
\[\overline {{H_1}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 1}\\ { - 1}&0 \end{array}} \right| = - 1 < 0,\,\,\,\,\overline {{H_2}} = \left| {\overline H } \right| = \frac{1}{{1,005}} + \frac{1}{{1,005}} > 0,\,\,\forall {C_1},{C_2},\lambda \]
Vậy U đạt cực đại toàn cục khi \[{C_1} = {C_1}* = \frac{I}{2};\,{C_2} = {C_2}* = 1,005\frac{I}{2}\]
Ví dụ 3: Giả sử một xí nghiệp cần xác định lượng lao động L, lượng vốn K để cực tiểu hóa chi phí \[C[L,K] = wL + rK\]. Trong đó w = 400 là tiền lương cho mỗi lao động, r = 0,01 là lãi suất của vốn vay. Giả sử xí nghiệp phải sản xuất Q0 = 1000 đơn vị sản phẩm và hàm sản phẩm là: \[Q{\rm{ }} = {\rm{ }}G\left[ {L,K} \right]{\rm{ }} = {L^{1/2}}{K^{1/2}}\]
Hàm Lagrange: \[F[L,K,\lambda ] = wL + rK + \lambda [{Q_0} - {L^{1/2}}{K^{1/2}}]\]
Điều kiện cần:
\[\left\{ \begin{array}{l} F{'_L} = 0\\ F{'_K} = 0\\ F{'_\lambda } = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} w - \frac{1}{2}\lambda {L^{ - 1/2}}{K^{1/2}} = 0\\ r - \frac{1}{2}\lambda {L^{1/2}}{K^{ - 1/2}} = 0\\ {Q_0} - {L^{1/2}}{K^{1/2}} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{K}{L} = \frac{{{{[800]}^2}}}{{{\lambda ^2}}}\\ \frac{L}{K} = \frac{{{{[0,02]}^2}}}{{{\lambda ^2}}}\\ LK = {10^6} \end{array} \right. \]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \lambda = 4\\ L = 5\\ K = 200.000 \end{array} \right. \]
Hessian bao:
\[\overline H = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{4}\lambda {L^{ - 3/2}}{K^{1/2}}}&{ - \frac{1}{4}\lambda {L^{ - 1/2}}{K^{ - 1/2}}}&{ - \frac{1}{2}\lambda {L^{ - 1/2}}{K^{1/2}}}\\ { - \frac{1}{4}\lambda {L^{ - 1/2}}{K^{ - 1/2}}}&{\frac{1}{4}\lambda {L^{1/2}}{K^{ - 3/2}}}&{ - \frac{1}{2}\lambda {L^{1/2}}{K^{ - 1/2}}}\\ { - \frac{1}{2}\lambda {L^{ - 1/2}}{K^{1/2}}}&{ - \frac{1}{2}\lambda {L^{1/2}}{K^{ - 1/2}}}&0 \end{array}} \right] \]
\[\begin{array}{l} \overline {{H_1}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{4}\lambda {L^{ - 3/2}}{K^{1/2}}}&{ - \frac{1}{2}\lambda {L^{ - 1/2}}{K^{1/2}}}\\ { - \frac{1}{2}\lambda {L^{ - 1/2}}{K^{1/2}}}&0 \end{array}} \right| = - \frac{1}{4}{L^{ - 1}}K < 0\\ \\ \overline {{H_2}} = \left| {\overline H } \right| = - \frac{1}{4}\lambda {L^{ - 1/2}}{K^{ - 1/2}} < 0,\,\forall L,K,\lambda > 0 \end{array}\]
Vậy, C đạt cực tiểu toàn cục khi L = 5, K = 200.000.
Cách khác:
Ta có: \[Q = 1000 \Leftrightarrow {L^{1/2}}{K^{1/2}} = 1000 \Leftrightarrow LK = {10^6}\]
Hàm Lagrange: \[F[L,K,\lambda ] = wL + rK + \lambda [{10^6} - LK]\]
\[= {\rm{ }}400L{\rm{ }} + {\rm{ }}0,01{\rm{ }}K{\rm{ }} + {\rm{ }}\lambda {\rm{[1}}{{\rm{0}}^6}{\rm{ }} - {\rm{ }}LK]\]
\[F{'_L} = 400 - \lambda K,\,F{'_K} = 0,01 - \lambda L,\,\,F'{'_{LL}} = F'{'_{KK}} = 0,\,\,F'{'_{LK}} = - \lambda\]
\[F'{'_{\lambda \lambda }} = 0,F'{'_{L\lambda }} = - K,\,F'{'_{K\lambda }} = - L,\,F'{'_{LK}} = - \lambda\]
\[F{'_L} = F{'_K} = F{'_\lambda } = 0\left\{ \begin{array}{l} \lambda = \frac{{400}}{K} = \frac{{0,01}}{L}\\ LK = {10^6} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \lambda = \frac{{400}}{K}\\ K = {4.10^4}L\\ {4.10^4}{L^2} = {10^6} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \lambda = {2.10^{ - 3}}\\ L = 5\\ K = 200.00 \end{array} \right. \]
Hiển nhiên \[{H_1} < 0\] [vì \[{H_1} = - {[F'{'_{LL}}]^2}\]
\[{H_2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - \lambda }&{ - K}\\ { - \lambda }&0&{ - L}\\ { - K}&{ - L}&0 \end{array}} \right| = - 2\lambda LK < 0,\,\forall \lambda ,K,L > 0 \]
Vậy, hàm chi phí C đạt cực tiểu toàn cục khi
\[L = 5, K = 2.10^5\]