Viết phương trình đường thẳng song song và tiếp xúc với đường tròn

02:26:5928/09/2021

Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn song song với đường thẳng cho trước cũng tương tự như viết PTTT của đường tròn vuông góc với đường thẳng, là một dạng toán về phương trình đường tròn mà chúng ta thường gặp.

Khối A [KhoiA] sẽ giới thiệu với các em cách viết viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với đường thẳng cho trước qua bài này một cách ngắn gọn, chi tiết và đẩy đủ để các em tham khảo.

I. Cách viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn song song với đường thẳng

Giả sử đường tròn [C] có tâm I[a; b]; bán kính R và và đường thẳng [d] cho trước

Viết phương trình tiếp tuyến của [C] song song với đường thẳng [d]:

Để viết phương trình tiếp tuyến Δ của đường tròn [C] song song với đường thẳng [d]: Ax + By + C = 0 ta thực hiện như sau:

- Bước 1: Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn [C].

- Bước 2: Vì Δ // [d]: Ax + By + C = 0 nên Δ có vectơ pháp tuyến là vectơ pháp tuyến của [d]: 

 Khi đó phương trình tiếp tuyến Δ có dạng: Ax + By + c1 = 0 [c1 ≠ C]

- Bước 3: Vì Δ tiếp xúc với đường tròn [C] nên d[I,Δ] = R. Giải phương trình này ta tìm được c1.

II. Bài tập vận dụng viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn song song với đường thẳng

* Bài tập 1: Cho đường tròn [C] có phương trình: [x - 3]2 + [y + 1]2 = 5. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] song song với đường thẳng [d]: 2x + y + 9 = 0.

> Lời giải:

- Đường tròn [C] có tâm I[3; -1] và bán kính R = √5

- Vì tiếp tuyến Δ cần tìm song song với đường thẳng [d]: 2x + y + 9 = 0 nên 

Khi đó phương trình tiếp tuyến của ∆ có dạng: 2x + y + c = 0 với c ≠ 9.

- Vì đường thẳng Δ tiếp xúc với đường tròn [C] nên có: d[I,Δ] = R

Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến thỏa điều kiện bài toán là:

2x + y = 0  và 2x + y - 10 = 0.

* Bài tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn [C]: x2 + y2 - 2x + 6y - 6 = 0. Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng [d]: 6x - 8y - 3 = 0

> Lời giải:

- Ta có: x2 + y2 - 2x + 6y - 6 = 0

⇔ x2 - 2x + 1 + y2 + 2.3y + 9 = 16

⇔ [x - 1]2 + [y + 3]2 = 16

- Đường tròn [C] có tâm I[1; -3] bán kính R = 4.

- Vì tiếp tuyến Δ cần tìm song song với đường thẳng [d]: 6x - 8y - 3 = 0 nên

Khi đó phương trình tiếp tuyến của ∆ có dạng: 3x - 4y + c = 0 với c ≠ 3.

- Vì đường thẳng Δ tiếp xúc với đường tròn [C] nên có: d[I,Δ] = R

 

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán là:

 3x - 4y + 5 = 0 và 3x - 4y - 35 = 0.

* Bài tập 3: Cho đường tròn [C]: x2 + y2 + 2x - 6y + 5 = 0 . Viết phương trình tiếp tuyến của [C] song song với đường thẳng d: x + 2y - 7 = 0.

> Lời giải:

- Ta có: Đường tròn [ C] có tâm I[-1;3] và bán kính

 

- Vì tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng [d]: x + 2y - 7 = 0 nên  

Khi đó, tiếp tuyến ∆ có dạng: x + 2y + c = 0 [c ≠ -7].- Vì đường thẳng Δ tiếp xúc với đường tròn [C] nên có: d[I,Δ] = R

 

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

x + 2y = 0 và x + 2y - 10 = 0.

Như vậy KhoiA.Vn đã giới thiệu với các em về cách viết về cách viết phương trình tiếp tuyến của đương tròn song song với đường thẳng, hy vọng giúp các em hiểu bài hơn. Nếu có câu hỏi hay góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết nhé, chúc các em thành công.

Skip to content

Phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng là phần kiến thức vô cùng quan trọng trong chương trình Toán Phổ thông. Nắm vững phần kiến thức này, các em sẽ dễ dàng giải các bài Toán liên quan. Chính vì lẽ đó, hôm nay PUD sẽ giới thiệu cùng các bạn chi tiết hơn về chuyên đề này. Cùng chia sẻ bạn nhé !

Phương trình đường tròn tiếp xúc với 1 đường thẳng

Dạng 1: Đường tròn [C] có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng [Delta]

Khi đó bán kính [R = d [I, Delta ]]

Ví dụ 1: Lập phương trình đường tròn [C] có tâm I[-1,2] tiếp xúc với đường thẳng  [Delta] x – 2y + 7 = 0

Giải: Ta có [d[I,Delta]=frac{|-1-4-7|}{sqrt{5}}]

Phương trình đường tròn [C] có dạng [[x+1]^2+[y-2]^2=frac{4}{5}]

  • Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB
  • Tâm I của [C] thỏa mãn [left{begin{matrix} I epsilon d & d[I, Delta ] = IA & end{matrix}right.]
  • Bán kính R = IA

Ví dụ 2: Cho điểm A[-1;0], B[1;2] và đường thẳng [d]: x – y – 1 = 0. Lập phương trình đường tròn đi qua 2 điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng d.

Giải: Gọi I[x,y] là tâm của đường tròn cần tìm. Từ điều kiện đề bài ta có:

IA = IB = r [Leftrightarrow]  [[x+1]^2+y^2= [x-1]^2+[y-2]^2] [1]

IA = d[I,d] [Leftrightarrow] [sqrt{[x+1]^2+y^2}=frac{|x-1-y|}{sqrt{2}}] [2]

Giải hệ gồm 2 phương trình [1] và [2] ta được x = 0, y = 1

Vậy I[0,1] IA = r = [sqrt{2}]

Phương trình đường tròn [C] có dạng [x^2+[y-1]^2 = 2]

  • Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB
  • Viết phương trình đường thẳng [Delta ‘] đi qua B và [perp Delta]
  • Xác định tâm I là giao điểm của d và [Delta ‘]
  • Bán kính R = IA

Ví dụ 3: Viết phương trình đường tròn [C] tiếp xúc với trục hoành tại A[6,0] và đi qua điểm B[9,9]

Giải: Gọi I[a,b] là tâm đường tròn [C]

Vì [C] tiếp xúc với trục hoành tại A[6;0] nên [I epsilon d: x = 6]

Mặt khác B nằm trên đường tròn [C] nên I sẽ nằm trên trung trực của AB

Ta có phương trình trung trực AB: x + 3y – 21 = 0

Thay x = 6 => y = 5
Suy ra ta tìm được tọa độ điểm I[6;5], R = 5

Vậy phương trình đường tròn [C]: [[x-6]^{2} + [y – 5]^{2} = 25]

  • Tâm I của [C] thỏa mãn: [left{begin{matrix} d[I,Delta _{1}] = d[I,Delta _{2}]& d[I,Delta _{1}] = IA & end{matrix}right.]
  • Bán kính R = IA

Ví dụ 4: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng 7x – 7y – 5 = 0 và x + y + 13 = 0. Biết đường tròn tiếp xúc với một trong hai đường thẳng tại M [1,2].

Giải: Gọi I[x,y] là tâm đường tròn cần tìm. Ta có khoảng cách từ I đến 2 tiếp điểm bằng nhau nên [frac{|7x-7y-5|}{sqrt{5}} = frac{left | x + y + 13 right |}{sqrt{1}}] [1]

và [frac{|x+y+13|}{sqrt{2}}=sqrt{[1-x]^2+[2-y]^2}] [2]

Giải hệ gồm 2 phương trình [1] và [2] ta được

  • TH1: x = 29, y = – 2 => R = IM = [20sqrt{2}]

Phương trình đường tròn có dạng [[x-29]^2+[y+2]^2=800]

  • TH2: x = – 6, y = 3 => R = [5sqrt{2}]

Phương trình đường tròn có dạng [[x+6]^2+[y-2]^2=50]

  • Tâm I của [C] thỏa mãn [left{begin{matrix} d[I,Delta _{1}] = d[I,Delta _{2}]& Iepsilon d & end{matrix}right.]

  • Bán kính [R = d[I,Delta _{1}]]

Ví dụ 5: Viết phương trình đường tròn đi qua A[2,-1] và tiếp xúc với hai trục tọa độ

Giải: Gọi I[a,b] là tâm của đường tròn [C]

Do [C] tiếp xúc với 2 trục tọa độ nên I cách đều 2 trục tọa độ. Suy ra: |a| = |b|

Nhận xét: Do đường tròn tiếp xúc với 2 trục tọa độ nên cả hình tròn nằm trong 1 trong 4 góc của hệ trục, lại có A[2, -1] thuộc phần tư thứ IV

=> Tâm I thuộc phần tư thứ IV => a > 0, b < 0

Như vậy tọa độ tâm là I[a, -a], bán kính R = a, với a > 0

Ta có phương trình đường tròn [C] có dạng [[x-a]^2 + [y+a]^2 = a^2]

Do A [-2;1] thuộc đường tròn [C] nên thay tọa độ của A vào phương trình [C] ta được: [[2-a]^2 + [1+a]^2 = a^2]

Giải phương trình ta được a = 1 hoặc a=5

  • Với a = 1 ta có phương trình [C] [[x-1]^2 + [y+1]^2 = 1]

  • Với a = 5 ta có phương trình [C] [[x-5]^2 + [y+5]^2 = 5^2]

Bài 1. Viết phương trình đường tròn có tâm 𝐼[3;1]I[3;−1], bán kính 𝑅=2R=2.

Giải. Phương trình đường tròn tâm 𝐼[3;1]I[3;−1], bán kính 𝑅=2R=2 là [𝑥3]2+[𝑦+1]2=4[x−3]2+[y+1]2=4.

Bài 2. Viết phương trình đường tròn có tâm 𝐼[0;3]I[0;3] và đi qua 𝐴[3;2]A[3;−2].

Giải. Ta có 𝐼𝐴=[3;5]IA→=[3;−5]. Bán kính đường tròn là 𝑅=𝐼𝐴=9+25−−−−−−√=34−−−√R=IA=9+25=34. Vậy phương trình đường tròn là 𝑥2+[𝑦3]2=34x2+[y−3]2=34.

Bài 3. Viết phương trình đường tròn nhận 𝐴𝐵AB làm đường kính biết 𝐴[1;6]A[1;6] và 𝐵[4;5]B[4;5].

Giải. Gọi 𝐼I là tâm của đường tròn, ta có 𝐼I là trung điểm 𝐴𝐵AB nên 𝐼[52;112]I[52;112]. Ta có 𝐴𝐵=[3;1]AB→=[3;−1] suy ra 𝐴𝐵=9+1−−−−−√=10−−−√AB=9+1=10. Bán kính đường tròn là 𝑅=𝐴𝐵2=10−−−√2R=AB2=102. Vậy phương trình đường tròn cần tìm là:

[𝑥52]2+[𝑦112]2=52[x−52]2+[y−112]2=52

Bài 4. Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm 𝐴[4;1]A[4;1]𝐵[3;4]B[3;4]𝐶[1;0]C[1;0].

Giải. Phương trình đường tròn có dạng 𝑥2+𝑦22𝑎𝑥2𝑏𝑦+𝑐=0x2+y2−2ax−2by+c=0. Vì đường tròn này đi qua các điểm 𝐴,𝐵,𝐶A,B,C nên ta có hệ phương trình

⎧⎩⎨178𝑎2𝑏+𝑐=0256𝑎8𝑏+𝑐=012𝑎+𝑐=0⎧⎩⎨𝑎=2𝑏=2𝑐=3{17−8a−2b+c=025−6a−8b+c=01−2a+c=0⇔{a=2b=2c=3

Vậy phương trình đường tròn là 𝑥2+𝑦24𝑥4𝑦+3=0.x2+y2−4x−4y+3=0.

Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến ΔΔ của đường tròn 𝑥2+𝑦24𝑦4=0x2+y2−4y−4=0 biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng 𝑑:𝑥+7𝑦+6=0d:x+7y+6=0.

Giải. Đường tròn đã cho có tâm 𝐼[0;2]I[0;2], bán kính 𝑅=0+4+4−−−−−−−−−√=22−−√R=0+4+4=22. Vì tiếp tuyến ΔΔ song song với 𝑑d nên phương trình ΔΔ có dạng 𝑥+7𝑦+𝑚=0x+7y+m=0 [với 𝑚6m≠6]. Vì ΔΔ tiếp xúc với đường tròn nên

𝑑[𝐼,Δ]=𝑅|14+𝑚|1+49−−−−−−√=22−−√|14+𝑚|=20[𝑚+14=20𝑚+14=20[𝑚=6[loại]𝑚=34d[I,Δ]=R⇔|14+m|1+49=22⇔|14+m|=20⇔[m+14=20m+14=−20⇔[m=6[loại]m=−34

Vậy có 1 tiếp tuyến có phương trình 𝑥+7𝑦34=0.x+7y−34=0.

Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến ΔΔ của đường tròn [𝑥3]2+[𝑦+2]2=13[x−3]2+[y+2]2=13 biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng 𝑑:3𝑥2𝑦+1=0d:3x−2y+1=0.

Giải. Đường tròn đã cho có tâm 𝐼[3;2]I[3;−2], bán kính 𝑅=13−−−√R=13. Vì tiếp tuyến ΔΔ vuông góc với 𝑑d nên phương trình ΔΔ có dạng 2𝑥+3𝑦+𝑚=02x+3y+m=0. Vì ΔΔ tiếp xúc với đường tròn nên

𝑑[𝐼,Δ]=𝑅|66+𝑚|4+9−−−−−√=13−−−√|𝑚|=13𝑚=±13d[I,Δ]=R⇔|6−6+m|4+9=13⇔|m|=13⇔m=±13

Vậy có 2 tiếp tuyến có phương trình 2𝑥+3𝑦±13=0.

Với những kiến thức PUD chia sẻ trên đây, hi vọng bạn đã nắm vững phần kiến thức về phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng. Còn rất nhiều phần kiến thức hữu ích khác đang chờ bạn khám phá tại PUD. hãy luôn cập nhật để dõi theo nhé !

  • Xem thêm: Hướng dẫn phương pháp viết phương trình tiếp tuyến đầy đủ nhất

Video liên quan

Chủ Đề